一元多项式 1.一元多项式的定义：数环上一个文字的多 项式或一元多项式指的是形式表达式 a+a1x+a2x2+.+anx", 这里n是非负整数而都是中的数。 特别：零多项式是唯一没有定义次数的多项 式 2.多项式相等：若是整环R上两个一元多项 式(x)和g(x有完全相同的项，或者只差 一些系数为零的项，那么f(x)和g(x说是 相等f(x)=g(x)
一元多项式 1.一元多项式的定义：数环上一个文字的多 项式或一元多项式指的是形式表达式 这里n是非负整数而都是中的数。 特别：零多项式是唯一没有定义次数的多项 式 2.多项式相等：若是整环R上两个一元多项 式 和 有完全相同的项，或者只差 一些系数为零的项，那么 和 说是 相等： 。 , 2 0 1 2 n n a + a x + a x ++ a x f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) = g(x)
3.多项式的加法和乘法 如果f(x)=anx”+.+ax+a,g(x)=bnxm+.+b,x+b (1)加法： f(x)+8(x)=a,x"+.+amx+(am+b)x"++(a+b)x+(ao+b) (如果n>m) (2)乘法： f(x)8(x)=abx+(a,b+a b)x"(abtab)xtab
3.多项式的加法和乘法 如果 (1)加法： （如果n＞m） (2)乘法： 1 0 1 0 f (x) a x a x a ,g(x) b x b x b m m n = n ++ + = ++ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 f x g x a x a x a b x a b x a b m m m m m n n + = + + + + + + + + + + + 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b m n n m n m n m n m = + + + + + + + − − − +
性质： ①当f(x)≠0,8(x)≠0 时，f(x)+g(x)≠0 (f(x)+g(x))<max{o(f(x),8(g(x)) a(f(x)g(x))=8(f(x))+a(g(x)) ②加法交换律、乘法交换律成立： f(x)+8(x)=8(x)+f(x) (x)g(x)=g(x)(x)
性质： ①当 时， ② 加法交换律、乘法交换律成立： f (x) 0, g(x) 0 f (x) + g(x) 0 ( f (x) + g(x)) max{( f (x)),(g(x))} ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) f (x) + g(x) = g(x) + f (x) f (x)g(x) = g(x) f (x)
③加法结合律、乘法结合律成立： (f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)) ④加法消去律、乘法消去律成立： f(x)+g(x)=f(x)+h(x)g(x)=h(x) f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)≠0→g(x)=h(x) ⑤乘法对加法的分配律成立： f(x(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+(x)h(x)
③ 加法结合律、乘法结合律成立： ④ 加法消去律、乘法消去律成立： ⑤ 乘法对加法的分配律成立： ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) f (x) + g(x) = f (x) + h(x) g(x) = h(x) f (x)g(x) = f (x)h(x)且f (x) 0 g(x) = h(x) f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x)
二、带余除法： f(x),g(x)∈Rx]且g(x)≠0，则存在唯一9(x),r(x)∈R)使得 f(x)=q(x)8(x)+r(x) 其中(r(x)<(g(x)或r(x)=0 例1、设g(x)=x2-x-2除f)=x-2x2+ar+b时， 余式r(x)=2x+1,求系数a,b。 例2、设g(x)=x2-3x+1,fx)=5x2-2x2+8,求f(x) 除以8()的商和余式
二、带余除法： 使得 例1、设 除 时， 余式 ，求系数a,b。 例2、设 ， ,求 除以 的商和余式。 f (x), g(x)R[x]且g(x) 0,则存在唯一q(x),r(x)R[x] f (x) = q(x)g(x) + r(x) 其中(r(x)) (g(x))或r(x) = 0 ( ) 2 2 g x = x − x − f x = x − x + ax+b 3 2 ( ) 2 r(x) = 2x +1 ( ) 3 1 2 g x = x − x + ( ) 5 2 8 3 2 f x = x − x + f (x) g(x)