§8复系数和实系数多项式的因式分解 一、复系数多项式因式分解定理 代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一个根 利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为： 每个次数之1的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式由此可知，在复数 域上所有次数大于1的多项式都是可约的换句话说，不可约多项式只有一次多 项式于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式具有标准分解式 fx)=an(x-a)(x-2)-(x-a,) 其中a,a,.,a,是不同的复数，1，山2，.，l,是正整数标准分解式说明了每个n次 复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算） 二、实系数多项式因式分解定理 对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果α是实系数多项式f(x)的复 根，那么α的共轭数a也是f(x)的根，并且a与a有同一重数即实系数多项式的 非实的复数根两两成对 实系数多项式因式分解定理每个次数之1的实系数多项式在实数域上都可 以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积实数域上 不可约多项式除一次多项式外，只有含非实共轭复数根的二次多项式 因此，实系数多项式具有标准分解式 f(x)=a(x-ci)(x-c2)(x-c,)"(x2+px+q)(x2+px+q) 其中C,.,CP,.P,41,.,9.全是实数，1，.，k1,k,是正整数，并且 x2+p,x+g,=1,2,.,r)是不可约的，也就是适合条件p2-4q,<0,1=1,2,r 代数基本定理虽然肯定了n次方程有n个复根，但是并没有给出根的一个具 体的求法高次方程求根的问题还远远没有解决特别是应用方面，方程求根是一 个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支
§8 复系数和实系数多项式的因式分解 一、 复系数多项式因式分解定理 代数基本定理 每个次数 1 的复系数多项式在复数域中有一个根. 利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为： 每个次数 1 的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数 域上所有次数大于 1 的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多 项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理 每个次数 1 的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式具有标准分解式 s l s l l n f (x) a (x ) (x ) (x ) 1 2 = −1 − 2 − 其中 s , , , 1 2 是不同的复数， s l ,l , ,l 1 2 是正整数.标准分解式说明了每个 n 次 复系数多项式恰有 n 个复根（重根按重数计算）. 二、实系数多项式因式分解定理 对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果 是实系数多项式 f (x) 的复 根，那么 的共轭数 也是 f (x) 的根,并且 与 有同一重数.即实系数多项式的 非实的复数根两两成对. 实系数多项式因式分解定理 每个次数 1 的实系数多项式在实数域上都可 以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上 不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式. 因此，实系数多项式具有标准分解式 s r k r r l k s l l f (x) an (x c ) (x c ) (x c ) (x p x q ) (x p x q ) 2 1 1 2 1 2 1 2 1 = − − − + + + + 其中 s p pr q qr c , ,c , , , , , , 1 1 1 全是实数， s l ,l , ,l 1 2 , r k , ,k 1 是正整数，并且 ( 1,2, , ) 2 x p x q i r + i + i = 是不可约的，也就是适合条件 p q i r i i 4 0, 1,2, , 2 − = . 代数基本定理虽然肯定了 n 次方程有 n 个复根，但是并没有给出根的一个具 体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一 个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支
三、n次多项式的根与系数的关系。 今 fx)=x+a,x-+.+an (1) 是一个n0)次多项式，那么在复数域C中f(x)有n个根a,a,a,因而在 Cx]中fx)完全分解为一次因式的乘积 f(x)=(x-ax-a2).(x-an)） 展开这一等式右端的括号，合并同次项，然后比较所得出的系数与(1)式右端的系 数得到根与系数的关系 a1=-(a1+a2+.+0nb a =(aa:+aa;+.+aa) a;=-(a aa;+aaa+.+aaa) a=(-l)m(a,a2.a-1+aa.an+.+a,a,.g an=(（-l)a,a2.an, 其中第k(k=L,2,.,)个等式的右端是一切可能的k个根的乘积之和，乘以(-) 若多项式 f(x)=anx"+a,x+.+an 的首项系数a。≠l,那么应用根与系数的关系时须先用a。除所有的系数，这样做多 项式的根并无改变这时根与系数的关系取以下形式 总-a+a++a aptapt. 4444044444.444.4小404444 是=-aaa 利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式 例1求出有单根5与-2，有二重根3的四次多项式 例2.分别在复数域和实数域上分解x”-1为标准分解式
三、 n 次多项式的根与系数的关系. 令 ( ) . 1 1 n n n f x = x + a x + + a − (1) 是一个 n (>0)次多项式,那么在复数域 C 中 f (x) 有 n 个根 , , , , 1 2 n 因而在 C[x] 中 f (x) 完全分解为一次因式的乘积: ( ) ( )( ) ( ). 1 2 n f x = x − x − x − 展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系 数,得到根与系数的关系. ( 1) , ( 1) ( ), ( ), ), ( ), 1 2 1 2 1 1 3 2 3 1 1 3 1 2 3 1 2 4 2 1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a = − = − + + + = − + + + = + + + = − + + + − − − − − （ − 其中第 k(k = 1,2, ,n) 个等式的右端是一切可能的 k 个根的乘积之和,乘以 k (−1) . 若多项式 n n n f x = a x + a x + + a ( ) 0 1 −1 的首项系数 1, a0 那么应用根与系数的关系时须先用 0 a 除所有的系数,这样做多 项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式: ( 1) . , ( ), 1 2 0 1 2 1 3 1 0 2 1 2 0 1 n n n n n n a a a a a a = − = + + + = − + + + − 利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式. 例 1 求出有单根 5 与-2,有二重根 3 的四次多项式. 例 2. 分别在复数域和实数域上分解 −1 n x 为标准分解式
§9有理系数多项式 作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能 分解成不可约的有理系数多项式的乘积但是对于任何一个给定的多项式，要具 体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是 否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的. 在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的 因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决 求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的 不可约多项式。 一、有理系数多项式的有理根 f(x)=a x"+ax+.+ao 是一个有理系数多项式.选取适当的整数c乘∫(x),总可以使c(x)是一个整系数 多项式.如果cf(x)的各项系数有公因子，就可以提出来，得到 cf(x)=dg(x), 也就是 其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子 如果一个非零的整系数多项式g(x)=bx"+bnx-+.+b。的系数 b,b,.,b,没有异于士1的公因子，也就是说它们是互素的，它就称为一个本原 多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成 个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积，即 f(x)=rg(x). 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果 fx)=g(x)=r8(x)
§9 有理系数多项式 作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1 的有理系数多项式都能 分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具 体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是 否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的. 在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的 因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决 求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的 不可约多项式. 一、有理系数多项式的有理根 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − − 是一个有理系数多项式.选取适当的整数 c 乘 f (x) ，总可以使 cf (x) 是一个整系数 多项式.如果 cf (x) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到 cf (x) = dg(x) , 也就是 ( ) g(x) c d f x = 其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1 的公因子. 如果一个非零的整系数多项式 0 1 1 g(x) b x b x b n n n = n + + + − − 的系数 1 0 bn ,bn− , ,b 没有异于±1 的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原 多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式 f (x) 都可以表示成一 个有理数 r 与一个本原多项式 g(x) 的乘积，即 f (x) = rg(x) . 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x = rg x = r g x
其中g(x,g(x)都是本原多项式，那么必有 r=,g(x)=±g1(x) 因为fx)与g(x)只差一个常数倍，所以∫(x)的因式分解问题，可以归结为本原 多项式g(x)的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个 次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项 式的乘积的问题是一致的。 定理10(Gauss引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积. 以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多 项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题。 推论设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原多项式，如果 f(x)=g(x)x),其中h(x)是有理系数多项式，那么Mx)一定是整系数多项式 这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法 定理12设 f(x)=anx”+ax+.+a 是一个整系数多项式.而二是它的一个有理根，其中r,5互素，那么 (1)sa.,ra。:特别如果f(x)的首项系数an=1,那么f(x)的有理根都是 整根，而且是a。的因子. ②）f=(x-5g 其中g(x)是一个整系数多项式. 给了一个整系数多项式f(x),设它的最高次项系数的因数是，2，”，常 数项的因数是4，山，山.那么根据定理12，欲求∫x)的有理根，只需对有限个有 理数“，用综合除法来进行试验 19
其中 ( ), ( ) 1 g x g x 都是本原多项式，那么必有 , ( ) ( ) 1 1 r = r g x = g x 因为 f (x) 与 g(x) 只差一个常数倍，所以 f (x) 的因式分解问题，可以归结为本原 多项式 g(x) 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个 次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项 式的乘积的问题是一致的. 定理 10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积. 以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多 项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题. 推 论 设 f (x) ， g(x) 是整系 数多项式 ，且 g(x) 是本原多项 式，如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x) 是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数多项式. 这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理 12 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − − 是一个整系数多项式.而 s r 是它的一个有理根,其中 r,s 互素,那么 (1) 0 s | an ,r | a ;特别如果 f (x) 的首项系数 an = 1 ，那么 f (x) 的有理根都是 整根，而且是 0 a 的因子. (2) ( ) ( )q(x), s r f x = x − 其中 q(x) 是一个整系数多项式. 给了一个整系数多项式 f (x) ,设它的最高次项系数的因数是 k v ,v , ,v 1 2 ,常 数项的因数是 , , , . 1 2 l u u u 那么根据定理 12,欲求 f (x) 的有理根,只需对有限个有 理数 j i v u 用综合除法来进行试验
当有理数“的个数很多时，对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的 讨论能够简化计算， 首先，1和-1永远在有理数中出现，而计算f0与f-)并不困难另一 方面，若有理数a(≠士)是f(x)的根，那么由定理12， f(x)=(x-a)q(x) 而g(x)也是一个整系数多项式.因此商 -0 1-a 部应该是整数。这样只需对那些使商巴与侣都是整数的台来进行试 验.（我们可以假定f④与f(-)都不等于零.否则可以用x-1或x+1除f(x)而考 虑所得的商.) 例1求多项式 fx)=3x4+5x3+x2+5x-2 的有理根。 例2证明 fx)=x3-5x+1 在有理数域上不可约， 二、有理数域上多项式的可约性 定理13（艾森斯坦(Eisenstein)判别法）设 fx）=anx"+an-xl++a 是一个整系数多项式.若有一个素数P,使得 1.pla 2.plaa2aoi 3.p2I do
当有理数 j i v u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的 讨论能够简化计算. 首先,1 和-1 永远在有理数 j i v u 中出现,而计算 f (1) 与 f (−1) 并不困难.另一 方面,若有理数 a( 1) 是 f (x) 的根,那么由定理 12, f (x) = (x −)q(x) 而 q(x) 也是一个整系数多项式.因此商 ( 1) 1 ( 1) (1), 1 (1) = − − + − = − q a f q a f 都应该是整数.这样只需对那些使商 a f a f + − − 1 ( 1) 1 (1) 与 都是整数的 j i v u 来进行试 验.(我们可以假定 f (1) 与 f (−1) 都不等于零.否则可以用 x −1 或 x +1 除 f (x) 而考 虑所得的商.) 例 1 求多项式 ( ) 3 5 5 2 4 3 2 f x = x + x + x + x − 的有理根. 例 2 证明 ( ) 5 1 3 f x = x − x + 在有理数域上不可约. 二、有理数域上多项式的可约性 定理 13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − − 是一个整系数多项式.若有一个素数 p ,使得 1. p an | ; 2. 1 2 0 p | an− ,an− , ,a ; 3. 0 2 p | a