利用有限次的运算法则可求得 P(x)=∑ ax lim P2(x)=lim∑a1x′=∑a(imx) i=0 n次多项式 ∑axn=P(xn) 也可求得 lin P(r) P(o) (只要Qn1(x)≠0) x-x0 2m(x)2m(xo) m次多项式
6 i n i Pn x ai x 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 Q x P x m n xx n 次多项式 m 次多项式 lim ( ) 0 Pn x x x i n i i x x a x 0 0 lim ( ) ( ) 0 0 Q x P x m n ( ( ) 0) 只要Qm x0 (lim ) 0 0 i x x n i ai x ( ) Pn x0 i n i ai x0 0 利用有限次的运算法则可求得 也可求得
例1、求伍x2-6x+8 x→4x2-5x+4 x+1-1 例2、求lim x→0
7 2 2 4 6 8 lim x 5 4 x x x x 例1、求 0 1 1 lim x x x 例2、求
2、夹逼性(定理)质 设对某r>0,当0<x-x<r时, ∫(x)≤8(x)≤h(x)且limf(x)=liml(x)=A x-ro x→>x0 则limg(x)=A 证明 f(r)=limh(x)=A x→>xo 由数列极限形式的定义: f(xn)=limh(rn) n→ 又∵∫(xn)≤g(Xn)≤h(xn)由数列的夹逼性 img(xn)=A由{xn}的任意性, 及数列极限形式的定义→limg(x)=A
8 f (x) g(x) h(x) f x h xn A n n n lim ( ) lim ( ) f x h x A x x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 g xn A n lim ( ) g x A x x lim ( ) 0 2、夹逼性（定理）质 设对某 r > 0 ， 0 当 0 x x r 时， 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x A 且 0 lim ( ) x x g x A 则 证明： 由数列极限形式的定义： ( ) ( ) ( ) n n n 又 f x g x h x 由数列的夹逼性 由 xn 的任意性， 及数列极限形式的定义
3、有界性(定理) 如果lim∫(x)存在, 则彐δ>0,30<x-x0<6时, 函数∫(x)有界(点x除外) 、保号性 设limf(x)=A,mimg(x)=B且A>B 则彐δ>0,30<x-x<δ时,f(x)>g(x)
9 3、有界性（定理） 0 lim ( ) x x f x 如果 存在 ， 0, 0 则 0 x x 时， 0 函数 x f (x) 有界（点 除外）. 4、保号性 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x A g x B A B 设 且 0, 0 则 0 x x 时， f x g x ( ) ( )
4-B 证:取E 2 limf(x)=A381>090<x-x0<8时 x→y f(x)A<8 img(x)=B彐2>030<x-x<时 g(x)-b<8 4-B 4-B A-E<∫(x)<A+E→A <f(x)<A+“ 2 4-B 4-B B-E<g(x)<B+E→B g(x)<b+ 2 2 A+B 2<f(x)<A+ 4-B 4-B B 2 <g()-+B 2 A+B f(x)> 2 >g(x)即f(x)>g(x) 10
10 f x A x x lim ( ) 0 g x B x x lim ( ) 0 A f (x) A B g(x) B 1 0 0 x x0 1 时 f (x) A 2 0 0 x x0 2 时 g(x) B 2 ( ) 2 A B f x A A B A 2 ( ) 2 A B g x B A B B 证： 0 2 A B 取 2 ( ) 2 A B f x A A B 即 2 ( ) 2 A B g x A B B ( ) 2 ( ) g x A B f x 即 f (x) g(x)