学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 解该地拥有3套或3套以上住房的家庭所以n=1,17,…25,共有25-16+1=10人,2 可以估计有:990050 选(C) +1000× 例5某单位共有163人,其中老年人2 c) 户,所以所占比例的合理估计是5700÷10000,中年人55人,青年人81人,为了调查他们 路 5.7% 的身体状况,需要从他们中抽取一个容量为36与 例3总体有编号为01,02,…,19,20的的样本,则应当采用的抽样方法和中年人应抽 20个个体组成利用下面的随机数表选取5个查的人数分别为() 万 个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列 去 (A)分层抽样,1 和第6列数字开始由左到右依次选取两个数 (B)分层抽样,14 字,则选出来的第5个个体的编号为() (C)简单随机抽样,12 816657208026314070243699728 (D)简单随机抽样,14 3204923449358200362348696938 解本题中由于各部分之间的身体状况 (A)08(B)07(C)02(D)01 有较大差别,所以应采用分层抽样法,样本才 解利用随机数表抽取样本,按照其规具有可行性因为三部分的人数不成比例,故应 则,首先确定第1行的第5列和第6列数字为先从中年人中随机剔除1人,得27:54:81= 65,从此数字开始读,依次为65,72(不在编号1:2:3;设三部分各抽个体数分别为x,2x 范围内,不满足);08,02(满足条件);63(不满3x,则6x=36,得x=6,故中年人应抽查12 足);14,07(满足),02(与第二个重复,去掉),人,故选(A) 13,69,97,28(不在编号范围内,不满足),01 小结以上例题分别考查了简单随机抽 (满足)此编号为第五个,所以选出来的第5个样、系统抽样、分层抽样的操作方法和简单应 个体的编号为01,因此选(D) 用.一般地,简单随机抽样适用于个体数较少的 例4采用系统抽样方法从960人中抽取总体,系统抽样适用于个体数较多的总体,分 32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的的情况;三种方法都是随机抽样,对总体中的 方法抽到的号码为9抽到的32人中,编号落入每一个个体都能抽到,并且抽到的机会是均等 区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间的这三种抽样方法各有其特点和适用范围,在 [451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷 解题中需要分清它们的区别和联系 则抽到的人中,做问卷B的人数为() 中 (A)7(B)9(C)10(D)15 抽样、系统抽样、分层抽样的本质均是随机抽学 解从960中用系统抽样抽取32人,则每样,每个个体被抽到的可能性相同同时这三种丝 0人抽取一人,因为第一组号码为9,则第二组随机抽样又有区别,在解题过程中要注意它们 教 为39,公差为30 的区别只有掌握了它们的本质和区别,才能准 所以通项为an=9+30(n-1)=30n-21,确的解决有关试题 由451≤30n-21≤750,即15 (责审马恩林) 址t: zxss cbpt.cnki.n ·17 邮箱:zxss2486@163
中学生数学２０２０年２月上第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 解 该地拥有３套或３套以上住房的家庭 可以估计有:９９０００× ５０ ９９０ ＋１０００× ７０ １００ ＝５７００ 户,所以所占比例的合理估计是５７００÷１０００００ ＝５７％． 例３ 总体有编号为０１,０２,,１９,２０的 ２０个个体组成．利用下面的随机数表选取５个 个体,选取方法是从随机数表第１行的第５列 和第６列数字开始由左到右依次选取两个数 字,则选出来的第５个个体的编号为( )． ７８１６ ６５７２ ０８０２ ６３１４ ０７０２ ４３６９ ９７２８ ０１９８ ３２０４ ９２３４ ４９３５ ８２００ ３６２３ ４８６９ ６９３８ ７４８１ (A)０８ (B)０７ (C)０２ (D)０１ 解 利 用 随 机 数 表 抽 取 样 本,按 照 其 规 则,首先确定第１行的第５列和第６列数字为 ６５,从此数字开始读,依次为６５,７２(不在编号 范围内,不满足);０８,０２(满足条件);６３(不满 足);１４,０７(满足),０２(与第二个重复,去掉), ４３,６９,９７,２８(不 在 编 号 范 围 内,不 满 足),０１ (满足),此编号为第五个,所以选出来的第５个 个体的编号为０１,因此选(D)． 例４ 采用系统抽样方法从９６０人中抽取 ３２人做问卷调查,为此将他们随机编号为１,２, ,９６０,分组后在第一组采用简单随机抽样的 方法抽到的号码为９．抽到的３２人中,编号落入 区间[１,４５０]的 人 做 问 卷 A,编 号 落 入 区 间 [４５１,７５０]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C． 则抽到的人中,做问卷B 的人数为( )． (A)７ (B)９ (C)１０ (D)１５ 解 从９６０中用系统抽样抽取３２人,则每 ３０人抽取一人,因为第一组号码为９,则第二组 为３９,公差为３０． 所以通项为an ＝９＋３０(n－１)＝３０n－２１, 由４５１≤３０n－２１≤７５０,即１５ ２２ ３０ ≤n≤２５ ２１ ３０ , 所以n＝１６,１７,２５,共有２５－１６＋１＝１０人, 选(C)． 例５ 某单位共有１６３人,其中老年人２７ 人,中年人５５人,青年人８１人,为了调查他们 的身体状况,需要从他们中抽取一个容量为３６ 的样本,则应当采用的抽样方法和中年人应抽 查的人数分别为( )． (A)分层抽样,１２ (B)分层抽样,１４ (C)简单随机抽样,１２ (D)简单随机抽样,１４ 解 本题中由于各部分之间的身体状况 有较大差别,所以应采用分层抽样法,样本才 具有可行性．因为三部分的人数不成比例,故应 先从中年人中随机剔除１人,得２７∶５４∶８１＝ １∶２∶３;设三部分各抽个体数分别为x,２x, ３x,则 ６x＝３６,得x＝６,故中年人应抽查 １２ 人,故选(A)． 小结 以上例题分别考查了简单随机抽 样、系统抽样、分层抽样的操作方法和简单应 用．一般地,简单随机抽样适用于个体数较少的 总体,系统抽样适用于个体数较多的总体,分 层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成 的情况;三种方法都是随机抽样,对总体中的 每一个个体都能抽到,并且抽到的机会是均等 的．这三种抽样方法各有其特点和适用范围,在 解题中需要分清它们的区别和联系． 因此,在学习中,一方面要掌握简单随机 抽样、系统抽样、分层抽样的本质均是随机抽 样,每个个体被抽到的可能性相同．同时这三种 随机抽样又有区别,在解题过程中要注意它们 的区别．只有掌握了它们的本质和区别,才能准 确的解决有关试题． (责审 马恩林) １７
中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 用回量数量积解线性规划画用题 李健1,石彩霞2,王树文2,童嘉森3 路 (1.平谷区第五中学,北京101200;2.北京市日坛中学,北京100020; 3.北京市第八十中学,北京100020) 万 实际生产与生活中有许多线性规划应用 设生产产品A、产品B的利润之和为z :云问题,其一般求解步骤是 ,则目标函数为z=2100x+900y 1)根据题意,建立数学模型,作出不等式 组所表示的可行域 v=2100x+900y=|a||p (2)设所求目标函数f(x,y)的值为z; cos(u,v),其中记f= ViCes(u,v)是向量v在 (3)将各顶点坐标代入目标函数,即可得向量u上的投影.由图1可知当向量y的终点 到z的最大值与最小值,或求直线f(x,y)=z落在M(60,100时,f最大,即在不超过600个 在y轴上截距的最大值(最小值),从而求得z工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之 的最大值与最小值 和的最大值为216000元 (4)检验最优解是否符合实际意义 本文应用平面向量数量积及其几何意义 解决线性规划的应用题,由此体现向量的工具 性与解题的优越性, 例1(2016年课标全国I卷文16)某高 科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种 新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg, t(2100,900) 乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要 甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产 5x+3y=600 件产品A的利润为2100元,生产一件产品 l0x+3y=90 B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg, 乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件 中 下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值 图1 为_元 解用x,y分别表示生产产品A、产品 例2(2017年天津文16)电视台播放甲 健的件数根据题意列出满足题目条件的数学关乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广 系式,并画出相应的平面区域 告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播 放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 0x+3y≤900 连续剧播放时长广告播放时长收视人次 即{5x+3y≤600 (万) 乙 网址: Zxsscbpt. cnki, net ·18 邮箱:zx2486@163.com
中学生数学２０２０年２月上第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 用向量数量积解决线性规划应用题 李 健１,石彩霞２,王树文２,童嘉森３ (１．平谷区第五中学,北京 １０１２００;２．北京市日坛中学,北京 １０００２０; ３．北京市第八十中学,北京 １０００２０) 实际生产与生活中有许多线性规划应用 问题,其一般求解步骤是: (１)根据题意,建立数学模型,作出不等式 组所表示的可行域; (２)设所求目标函数f(x,y)的值为z; (３)将各顶点坐标代入目标函数,即可得 到z 的最大值与最小值,或求直线f(x,y)＝z 在y 轴上截距的最大值(最小值),从而求得z 的最大值与最小值; (４)检验最优解是否符合实际意义． 本文应用平面向量数量积及其几何意义 解决线性规划的应用题,由此体现向量的工具 性与解题的优越性． 例１ (２０１６年课标全国Ⅰ卷文１６)某高 科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种 新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料１５kg, 乙材料１kg,用５个工时;生产一件产品 B需要 甲材料０５kg,乙材料０３kg,用３个工时．生产 一件产品 A 的利润为２１００元,生产一件产品 B 的利润为９００元．该企业现有甲材料１５０kg, 乙材料 ９０kg,则在不超过 ６００ 个工时 的 条 件 下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值 为 元． 解 用x,y 分别表示生产产品A、产品 B 的件数,根据题意列出满足题目条件的数学关 系式,并画出相应的平面区域． １．５x＋０．５y≤１５０, x＋０．３y≤９０, ５x＋３y≤６００, x≥０, y≥０, ì î í ï ï ï ï ï ï 即 ３x＋y≤３００, １０x＋３y≤９００, ５x＋３y≤６００, x≥０, y≥０． ì î í ï ï ï ï ï ï 设生产产 品 A、产 品 B 的 利 润 之 和 为z 元,则目标函数为z＝２１００x＋９００y, 设u＝(２１００,９００),v＝(x,y), 则z＝uv＝２１００x＋９００y＝|u||v| cos‹u,v›,其中记f＝|v|cos‹u,v›是向量v 在 向量u 上的投影．由图１可知当向量v 的终点 落在M(６０,１００)时,f 最大,即在不超过６００个 工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之 和的最大值为２１６０００元． 图１ 例２ (２０１７年天津文１６)电视台播放甲、 乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广 告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播 放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 连续剧播放时长 (分钟) 广告播放时长 (分钟) 收视人次 (万) 甲 ７０ ５ ６０ 乙 ６０ ５ ２５ １８