学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 倒记频率分布直方图中的问题 张钢1,张启兆 c) (无锡市第六商级中学,江苏无锡214023;2.无锡市青山高级中学,江苏无锡21036)路 与 频率分布直方图的相关问题是高考中的了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单 万 热点那么频率分布直方图到底涉及到哪些问位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数法 题,又如何求解呢? 据,得到频数分布表如下: 例1(2018年高考全国Ⅰ卷)某家庭记录 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[o0.1)[0.1,0.2)[o.2,0.3)[o.3,0.4)[o.4,0.5)[o.5,0.6)[o.6,07) 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量0.1)[0.1,0.2)[o0.3)[o.3.0.o.0.5 0.5,0.6) 频数 (1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天数据以这组数据所在区间中点的值作代表) 的日用水量数据的频率分布直方图 解(1) 频率/组距 2.8 中 0.2 00.1020.3040.506日用水量/m2 00.1020.3040.506日用水量/m2 图1 (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水 (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头 学4教学 量小于0.35m3的概率 后50天日用水量小于0.35m3的频率为 (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05 节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的=0.48 址: zxss. cbpt cnki 7· 邮箱:zxss2486@163
中学生数学２０２０年２月上第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 例说频率分布直方图中的问题 张钢１,张启兆２ (１．无锡市第六高级中学,江苏 无锡 ２１４０２３;２．无锡市青山高级中学,江苏 无锡 ２１４０３６) 频率分布直方图的相关问题是高考中的 热点．那么,频率分布直方图到底涉及到哪些问 题,又如何求解呢? 例１ (２０１８年高考全国Ⅰ卷)某家庭记录 了未使用节水龙头 ５０ 天的日用水量数据(单 位:m３)和使用了节水龙头５０天的日用水量数 据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头５０天的日用水量频数分布表 日用水量 [０,０．１) [０．１,０．２) [０．２,０．３) [０．３,０．４) [０．４,０．５) [０．５,０．６) [０．６,０．７) 频数 １ ３ ２ ４ ９ ２６ ５ 使用了节水龙头５０天的日用水量频数分布表 日用水量 [０,０．１) [０．１,０．２) [０．２,０．３) [０．３,０．４) [０．４,０．５) [０．５,０．６) 频数 １ ５ １３ １０ １６ ５ (１)在答题卡上作出使用了节水龙头５０天 的日用水量数据的频率分布直方图: 图１ (２)估计该家庭使用节水龙头后,日用水 量小于０３５m３ 的概率; (３)估计该家庭使用节水龙头后,一年能 节省多少水? (一年按３６５天计算,同一组中的 数据以这组数据所在区间中点的值作代表．) 解 (１) 图２ (２)根据以上数据,该家庭使用节水龙头 后５０天日用水量小于０３５m３ 的频率为 ０２×０１＋１×０１＋２６×０１＋２×００５ ＝０４８, ７
中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小若从抽取的6人中任选2人,求这2人成绩之 图/于0.35m2的概率的估计值为0.48 和大于或等于15的概率 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量 解(D从A校样本数据的条形图可知:成 路的平均数为 绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生 分别有:6人、15人、21人、12人、3人、3人 -(0.05×1+0.15×3+0.25×2+ A校样本的平均成绩为 万 0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5) 法 4X6+5×15+6×21+7×12+8×3+9 0.48 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量=6(分) 的平均数为 A校样本的方差为 =(0.05×1+0.15×5+0.25×13+ S2=0.1×(4-6)2+0.25×(5-6)2+ 0.35×(6-6)2+0.2×(7 +0.5×(8一 0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35 6)2+0.5×(9-6)2=1.5 估计使用节水龙头后,一年可节省水 从B校样本数据统计表可知 (0.48-0.35)×365=47.45(m3) B校样本的平均成绩为 评注本题主要考查频率分布直方图的 4X9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3 绘制,利用样本估计总体,对数据的处理能力 例2某市组织高一全体学生参加计算机=6(分) 操作比赛,比赛成绩等级分为1至10分,随机 B校样本的方差为 调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩,得 SB=[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21 到样本数据如下: (6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-6)2+3×(9 6)2]=1.8. 因为xA=xB所以两校学生的计算机成绩 平均分相同;又因为S24<SB,所以A校学生的 计算机成绩比较稳定,总体得分情况比较集中. 2345678910分数 中 (Ⅱ)依题意,A校成绩为7分的学生应抽取 A校样本数据条形图 ×6=4人,设为a,b,c,d 成绩(分) 成绩为8分的学生应抽取的人数为 数(个) 00912219630 3 B校样本数据统计表 12+3+3×6=1人,设为e (I)计算两校样本数据的均值和方差,并 成绩为9分的学生应抽取的人数为 根据所得数据进行比较 Ⅱ)从A校样本数据成绩分别为7分、812+3+3×6=1人,设为f 分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人 (下转第9页) 网址: Zxsscbpt. cnki, net 邮箱:zx2486@163.com
中学生数学２０２０年２月上第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小 于０３５m３ 的概率的估计值为０４８． (３)该家庭未使用节水龙头５０天日用水量 的平均数为 x１＝ １ ５０ (００５×１＋０１５×３＋０２５×２＋ ０３５×４＋０４５×９＋０５５×２６＋０６５×５)＝ ０４８． 该家庭使用了节水龙头后５０天日用水量 的平均数为 x２＝ １ ５０ (００５×１＋０１５×５＋０２５×１３＋ ０３５×１０＋０４５×１６＋０５５×５)＝０３５． 估计 使 用 节 水 龙 头 后,一 年 可 节 省 水 (０４８－０３５)×３６５＝４７４５(m３)． 评注 本题主要考查频率分布直方图的 绘制,利用样本估计总体,对数据的处理能力． 例２ 某市组织高一全体学生参加计算机 操作比赛,比赛成绩等级分为１至１０分,随机 调阅了A、B 两所学校各６０名学生的成绩,得 到样本数据如下: A 校样本数据条形图 成绩(分) １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 人数(个) ０ ０ ０ ９ １２ ２１ ９ ６ ３ ０ B 校样本数据统计表 (Ⅰ)计算两校样本数据的均值和方差,并 根据所得数据进行比较． (Ⅱ)从 A 校样本数据成绩分别为７分、８ 分和９分的学生中按分层抽样方法抽取６人, 若从抽取的６人中任选２人,求这２人成绩之 和大于或等于１５的概率． 解 (Ⅰ)从A 校样本数据的条形图可知:成 绩分别为４分、５分、６分、７分、８分、９分的学生 分别有:６人、１５人、２１人、１２人、３人、３人． A 校样本的平均成绩为 xA ＝ ４×６＋５×１５＋６×２１＋７×１２＋８×３＋９×３ ６０ ＝６(分), A 校样本的方差为 S２ A ＝０．１× (４－６)２ ＋０．２５× (５－６)２ ＋ ０３５×(６－６)２ ＋０２×(７－６)２ ＋０５×(８－ ６)２＋０５×(９－６)２＝１５． 从B 校样本数据统计表可知: B 校样本的平均成绩为 xB ＝ ４×９＋５×１２＋６×２１＋７×９＋８×６＋９×３ ６０ ＝６(分), B 校样本的方差为 S２ B ＝ １ ６０ [９×(４－６)２ ＋１２×(５－６)２ ＋２１ ×(６－６)２＋９×(７－６)２＋６×(８－６)２＋３×(９ －６)２]＝１８． 因为xA ＝xB ,所以两校学生的计算机成绩 平均分相同;又因为S２ A ＜S２ B ,所以A 校学生的 计算机成绩比较稳定,总体得分情况比较集中． (Ⅱ)依题意,A 校成绩为７分的学生应抽取 的人数为: １２ １２＋３＋３ ×６＝４人,设为a,b,c,d; 成 绩 为 ８ 分 的 学 生 应 抽 取 的 人 数 为: ３ １２＋３＋３ ×６＝１人,设为e; 成 绩 为 ９ 分 的 学 生 应 抽 取 的 人 数 为: ３ １２＋３＋３ ×６＝１人,设为f; (下转第９页) ８
学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 2y 用“参数法”求轨迹方程的基本原理 黄邵华 c) (南宁市第二中学,广西南宁530029) 方程,是含有未知数的等式笛卡尔的方程的轨迹方程 路与方 思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方 求点M的轨迹方 去 程问题,也就是从实际问题的数量关系入手,程,就是求关于M点的 运用数学语言将问题中的条件转化为方程,然横纵坐标x,y的一个等 后通过解方程来使问题获解 量关系此题可用“参数 本文将从以下角度来对方程思想进行理法”来求解,根本思想是 解和应用:一般来说,一个方程(等式)可以消借助“设而不求”的理念,通过引入n个参数并寻 个元,若共有n个未知数且有n个方程,则找出与此n个参数相关的n-1个方程 可确定这n个未知数的值;若共有n个未知 解法1不妨设直线OA的斜率为k>0, 数,但只有n-1个方程,则可以得到无数组设点M的坐标为(x,y) 解,并且可以通过合适的消元最终得到其中某 则直线OA的方程为y=kx,与抛物线方 2个未知数的等量关系 程y2=4x联立后,可得点A的坐标为( 下面以一道例题的不同引参方法,来呈现 和阐述“参数法”求轨迹方程过程中,不同的引 k)又因为O4⊥OB,所以直线OB的斜率为 参方法蕴含着的相同的方程思想原理 例已知抛物线y2=4x上有异于原点O 同理可得点B的坐标为(4k2,-4k) 的两动点A,B,且OA⊥OB,求A,B中点M (下转第10页) ++-+“+“+“+ “+“++-+-+-+-+ (上接第8页) 关系是解决这类问题的关键,频率分布直方图 所以,所有基本事件有C3=15个 中常用的几个等量关系有: 其中,满足条件的基本事件有:ae,af,be, 频数 f,ce,cf,de,df,ef共9个 (1)频率二样本容量(2)各小组的频数之 中 所以从抽取的6人中任选2人,这2人成和等于总数;(3)各小组的频率之和等于1;(4) 各组距相等,即每个小长方形的宽都相等;,学 绩之和大于或等于15的概率为P=15=5 评注本题考查平均数、方差的求法,考 (2各小长方形的高一组距一释本容量X组距’当 查概率的求法,解题时要认真审题,注意频率所以,小长方形的高与频率成正比,与频数也 分布直方图的应用 成正比;(6)各小长方形的面积为各组频率; 理解频率分布直方图中常用的几个等量(7)小长方形面积之和等于频率之和,即为1.● (责审马思林)● 网址:zxs.cbpt.cnki 邮箱:zxss2486@163
中学生数学２０２０年２月上第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 用“参数法”求轨迹方程的基本原理 黄邵华 (南宁市第二中学,广西 南宁 ５３００２９) 方程,是含有未知数的等式．笛卡尔的方程 思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方 程问题,也就是从实际问题的数量关系入手, 运用数学语言将问题中的条件转化为方程,然 后通过解方程来使问题获解． 本文将从以下角度来对方程思想进行理 解和应用:一般来说,一个方程(等式)可以消 一个元,若共有n 个未知数且有n 个方程,则 可确定这n 个 未 知 数 的 值;若 共 有n 个 未 知 数,但只有n－１ 个 方 程,则 可 以 得 到 无 数 组 解,并且可以通过合适的消元最终得到其中某 ２个未知数的等量关系． 下面以一道例题的不同引参方法,来呈现 和阐述“参数法”求轨迹方程过程中,不同的引 参方法蕴含着的相同的方程思想原理． 例 已知抛物线y ２＝４x 上有异于原点O 的两动点A,B,且OA⊥OB,求A,B 中点M 的轨迹方程． 求点 M 的轨迹方 程,就是求关于 M 点的 横纵坐标x,y 的一个等 量关系．此题可用“参数 法”来求解,根本思想是 借助“设而不求”的理念,通过引入n 个参数并寻 找出与此n个参数相关的n－１个方程． 解法１ 不妨设直线OA 的斜率为k＞０, 设点 M 的坐标为(x,y)． 则直线OA 的方程为y＝kx,与抛物线方 程y ２ ＝４x 联 立 后,可 得 点 A 的 坐 标 为 ( ４ k２, ４ k )．又因为OA⊥OB,所以直线OB 的斜率为 － １ k ,同理可得点B 的坐标为(４k２,－４k)． (下转第１０页) (上接第８页) 所以,所有基本事件有C２ ６＝１５个, 其中,满足条件的基本事件有:ae,af,be, bf,ce,cf,de,df,ef 共９个, 所以从抽取的６人中任选２人,这２人成 绩之和大于或等于１５的概率为P＝ ９ １５ ＝ ３ ５ ． 评注 本题考查平均数、方差的求法,考 查概率的求法,解题时要认真审题,注意频率 分布直方图的应用． 理解频率分布直方图中常用的几个等量 关系是解决这类问题的关键,频率分布直方图 中常用的几个等量关系有: (１)频率＝ 频数 样本容量 ;(２)各小组的频数之 和等于总数;(３)各小组的频率之和等于１;(４) 各组组距相等,即每个小长方形的宽都相等; (５)各小长方形的高＝ 频率 组距 ＝ 频数 样本容量×组距 , 所以,小长方形的高与频率成正比,与频数也 成正比;(６)各 小 长 方 形 的 面 积 为 各 组 频 率; (７)小长方形面积之和等于频率之和,即为１． (责审 马恩林) ９
中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) (上接第9页) 中点,就可以写出有关m,n,x,y这4个变量 由于M为A,B中点,因此可得 的3个等量关系,再通过一定的消元方法最终 ①得到有关x,y这2个参数的等量关系,即为动 路 点的轨迹方程 解法三设点A的坐标为(x1,y1),点B 万 的坐标为(x2,y2),点M的坐标为(x,y)则根 通过②2-①后,可消去参数k,最终得点据点A与点B在抛物线y2=4x上,点M为 云|M的轨迹方程为y2=2x-8 A,B中点以及OA⊥OB可以得出以下方程 此“参数法”的方程思想原理在于:引入3 组 个参数k,x,y后,根据中点的横纵坐标分别可 y12=4x1 用k表达,从而找到有关这3个参数的2个方 ② 程,再通过一定的消元方法最终得到有关x,y 这2个参数的等量关系,即为动点的轨迹方程 解法2设直线AB的方程为x=my+n + (n≠0),设点M的坐标为(x,y) ④ 将直线AB的方程x=my+n与抛物线 x12千y1y2 方程y2=4x联立可得y2-4my-4n=0,由韦 消参过程从略 达定理可得P1+切m 参数法”的方程思想原理在于:引入了 ly1J2=-4n A,B,M三个点的坐标x1,y1,x2,y2,x,y共 由此可以计算出 6个参数,根据题意建立5个方程来求解,再通 x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n, 过一定的消元方法最终得到有关x,y这2个 参数的等量关系,即为动点的轨迹方程我们可 以发现,写出有关这6个参数的5个方程并不 由OA⊥OB以及M为A,B中点,可得 是这道题的难点,反而是如何从这5个方程中 解出点M的坐标x,y之间关系的过程较为复 杂 中 即{x=2m2+n,② 最后强调一点:虽然在此原理的指导下 解决一个问题有很多种引参方法,但我们在解 由①可解得n=4(n=0舍去),再将③中决过程当中,应当尽量采用简便的解题方法这 的m解出后代入②,从而得动点的轨迹方程 里的简便包括两方面:寻找等量关系的简便和 为:y2=2x-8 消元过程的简便.这便需要同学们通过更多的 此“参数法”的方程思想原理在于:引入了 练习和思考获取经验与灵感. 4个参数:直线方程的系数m,n以及点M的 (责审梁宇学) 两个坐标x,y而根据题中提供的条件:垂直 网址: Zxsscbpt. cnki, net 10 邮箱:zx2486@163.com
中学生数学２０２０年２月上第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 (上接第９页) 由于 M 为A,B 中点,因此可得 x＝ ２ k２＋２k２ y＝ ２ k －２k ì î í ï ï ï ï ① ② 通过②２ －①后,可消去参数k,最终得点 M 的轨迹方程为y ２＝２x－８． 此“参数法”的方程思想原理在于:引入３ 个参数k,x,y 后,根据中点的横纵坐标分别可 用k 表达,从而找到有关这３个参数的２个方 程,再通过一定的消元方法最终得到有关x,y 这２个参数的等量关系,即为动点的轨迹方程． 解法２ 设直线 AB 的方程为x＝my＋n (n≠０),设点 M 的坐标为(x,y)． 将直线AB 的方程x＝my＋n 与抛物线 方程y ２＝４x 联立可得y ２－４my－４n＝０,由韦 达定理可得 y１＋y２＝４m, {y１y２＝－４n, 由此可以计算出 x１＋x２＝m(y１＋y２)＋２n＝４m２＋２n, x１x２＝ y１ ２ ４ y１ ２ ４ ＝n２, ì î í ï ï ïï 由OA⊥OB 以及M 为A,B 中点,可得 x１x２＋y１y２＝０, x＝ x１＋x２ ２ , y＝ y１＋y２ ２ , ì î í ï ï ï ï ï ï 即 n２－４n＝０, x＝２m２＋n, y＝２m, ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 由①可解得n＝４(n＝０舍去),再将③中 的 m 解出后代入 ②,从而得动点的轨迹方程 为:y ２＝２x－８． 此“参数法”的方程思想原理在于:引入了 ４个参数:直线方程的系数 m,n 以及点 M 的 两个坐标x,y．而根据题中提供的条件:垂直、 中点,就可以写出有关 m,n,x,y 这４个变量 的３个等量关系,再通过一定的消元方法最终 得到有关x,y 这２个参数的等量关系,即为动 点的轨迹方程． 解法三 设点 A 的坐标为(x１,y１),点 B 的坐标为(x２,y２),点 M 的坐标为(x,y)．则根 据点A 与点B 在抛物线y ２ ＝４x 上,点 M 为 A,B 中点 以 及OA ⊥OB 可 以 得 出 以 下 方 程 组: y１ ２＝４x１, y２ ２＝４x２, x＝ x１＋x２ ２ , y＝ y１＋y２ ２ , x１x２＋y１y２＝０． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ① ② ③ ④ ⑤ 消参过程从略． 此“参数法”的方程思想原理在于:引入了 A,B,M 三个点的坐标x１,y１,x２,y２,x,y 共 ６个参数,根据题意建立５个方程来求解,再通 过一定的消元方法最终得到有关x,y 这２个 参数的等量关系,即为动点的轨迹方程．我们可 以发现,写出有关这６个参数的５个方程并不 是这道题的难点,反而是如何从这５个方程中 解出点 M 的坐标x,y 之间关系的过程较为复 杂． 最后强调一点:虽然在此原理的指导下, 解决一个问题有很多种引参方法,但我们在解 决过程当中,应当尽量采用简便的解题方法．这 里的简便包括两方面:寻找等量关系的简便和 消元过程的简便．这便需要同学们通过更多的 练习和思考获取经验与灵感． (责审 梁宇学) １０
学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 2y 破解四面体外接球问题 冯克永 c) (霍邱县第一中学,安徽六安237400) 路 与 球和四面体是中学数学的重点内容,两者别相等,将四面体ABCD补充成如图3的长方 万 结合产生的外接球问题,具有抽象程度高求体则面对角线长分别为10,2√3,2设法 解灵活的特点,对解题者的数学技能及创新意长方体的长,宽,高分别为x,y,x,则x2+y2 识的考查具有独到之处因此,它成了高考复习 0,x2+z2=136,z2+y2=164,所以四面体 的难点和竞赛命题的热点本文通过实例介绍ABCD的外接球直径的平方为x2+y2+x2 几种常见的变通策略,供读者参考. 200.所以四面体ABCD的外接球表面积为 1补长方体(或正方体) 200π 例1某几何体的三视图如图1所示,求 该几何体外接球的表面积 正视图 俯视图 点评四面体的对棱分别相等联想到长 图2 方体面对角线,补出长方体,思路自然,过程简 解析由三视图知,该几何体是三棱锥A捷 BCD,且AB⊥平面BCD,CD⊥BD,将三棱 2建系运算 锥A一BCD补充成如图2的长方体,所以AC 例3在三棱锥S一ABC中,SA=SC= 为三棱锥A一BCD外接球的直径,在BA=BC=25,AC=4,平面SAC⊥平面 R△ADC中AC2=52+(7)=32=4R2,所以ABC,求三棱锥S-ABC外接球的表面积 该几何体外接球的表面积为32 点评由三棱锥可以补充成长方体,品味 长方体的妙用 例2在四面体ABCD中,AB=CD 中学“教受 0,AC=BD=2√34,AD=BC=2√41,求四 面体ABCD外接球的表面积 解析根据题意,四面体ABCD的对棱分 址t: zxss cbpt.cnki.n ·11· 邮箱:zxss2486@163
中学生数学２０２０年２月上第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 破解四面体外接球问题 冯克永 (霍邱县第一中学,安徽 六安 ２３７４００) 球和四面体是中学数学的重点内容,两者 结合产生的外接球问题,具有抽象程度高、求 解灵活的特点,对解题者的数学技能及创新意 识的考查具有独到之处．因此,它成了高考复习 的难点和竞赛命题的热点．本文通过实例介绍 几种常见的变通策略,供读者参考． １ 补长方体(或正方体) 例１ 某几何体的三视图如图１所示,求 该几何体外接球的表面积． 图１ 图２ 解析 由三视图知,该几何体是三棱锥 A －BCD,且AB⊥平面BCD,CD⊥BD,将三棱 锥A－BCD 补充成如图２的长方体,所以 AC 为 三 棱 锥 A － BCD 外 接 球 的 直 径,在 Rt△ADC中AC２＝５２＋(７) ２＝３２＝４R２,所以 该几何体外接球的表面积为３２π． 点评 由三棱锥可以补充成长方体,品味 长方体的妙用． 例２ 在 四 面 体 ABCD 中,AB ＝CD ＝ １０,AC＝BD＝２ ３４,AD＝BC＝２ ４１,求四 面体ABCD 外接球的表面积． 解析 根据题意,四面体ABCD 的对棱分 别相等,将四面体ABCD 补充成如图３的长方 体,则面对角线长分别为 １０,２ ３４,２ ４１．设 长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则x２＋y ２＝ １００,x２ ＋z２ ＝１３６,z２ ＋y ２ ＝１６４,所以四面体 ABCD 的外接球直径的平方为x２＋y ２＋z２＝ ２００．所 以 四 面 体 ABCD 的 外 接 球 表 面 积 为 ２００π． 图３ 点评 四面体的对棱分别相等联想到长 方体面对角线,补出长方体,思路自然,过程简 捷． ２ 建系运算 例３ 在三棱锥S－ABC 中,SA＝SC＝ BA＝BC ＝２ ５,AC ＝４,平 面 SAC ⊥ 平 面 ABC,求三棱锥S－ABC 外接球的表面积． 图４ １１