广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.2 方差

4.2方差证D(X + Y)= E([(X +Y) - E(X + Y)})= E([X - E(X)]+[Y - E(Y)I}= E[X - E(X)} +E[Y-E(Y))+ 2E([X - E(X)I[Y - E(Y)})= D(X) + D(Y)+ 2E((X - E(X)(Y - E(Y))上式右端第三项：2E((X - E(X)(Y - E(Y)=2E XY - XE(Y)-YE(X)+ E(X)E(Y))R

D(X + Y ) {[( ) ( )] } 2 = E X + Y − E X + Y 2 = E{[X − E(X)]+ [Y − E(Y )]} 证 2 2 = E[X − E(X)] + E[Y − E(Y )] + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = D(X) + D(Y ) + 2E{(X − E(X))(Y − E(Y ))}. 上式右端第三项: 2E{(X − E(X))(Y − E(Y ))} = 2E{XY − XE(Y ) −YE(X) + E(X)E(Y )}

4.2方差=2(E(XY) -E(X)E(Y)- E(Y)E(X)+ E(X)E(Y))= 2(E(XY) - E(X)E(Y))若X,Y相互独立由数学期望的性质4°知道上式右端为0，于是D(X + Y)=D(X) + D(Y)这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况

= 2{E(XY ) − E(X)E(Y ) − E(Y )E(X) + E(X)E(Y )} = 2{E(XY ) − E(X)E(Y )}. D(X) + D(Y ). 若X,Y 相互独立,由数学期望的性质4知道上 式右端为0， 于是 D(X + Y )= 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随 机变量之和的情况

4.2方差推广若 X,X,,…,X,相互独立,则有D(X ± X, ±...± X,)=D(X)+ D(X,)+...+ D(Xn)(4)D(X)=0 的充要条件是X 以概率1取常数C即P(X =C}=1

推广 ( ) D X1  X2  Xn , , , , 若 X1 X2  Xn 相互独立 (4) D(X) = 0的充要条件是X 以概率1取常数C, P{X = C} 则有 ( ) ( ) ( ). =D X1 + D X2 ++ D Xn 即 =1

4.2方差二、重要概率分布的方差1.两点分布已知随机变量X的分布律为0X1- ppp则有E(X)=1. p+0·q= p:D(X) = E(X)-[E(X))=1° . p+ 0° .(1- p)- p2 = pq

1. 两点分布 X p 1 0 p 1 − p 已知随机变量 X 的分布律为 二、重要概率分布的方差 则有 E(X) = 1 p + 0  q = p, D(X) 2 2 2 = 1  p + 0 (1 − p) − p = pq. p pq 2 2 = E(X ) − [E(X)]

4.2方差2.二项分布设随机变量 X服从参数为 n,p 二项分布，其分布律为Y(1- p)"-k, (k = 0,1,2,...,n),P[X = k} =0<p<1.则有E(X)-kk.P(X =k)k=0(1- p)"-kZRKDkk=0

2. 二项分布 P{X = k} 则有 0  p  1. E(X) k n k n k p p k n k − =  −       (1 ) 0 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其 分布律为 (1 ) , (k = 0,1,2,  ,n), k n k p p k n −  −      = { } 0 k P X k n k   = = = =