3.代数与几何 211 在解有些问题时，Ahmos用了“错位法侧则”.例如，为定出算 术数列中的五个效，需使它们的和等于100，Ahmes先取公差d 为最小那个数的5，倍。然后他把其中最小的数取为1，于是得 数列1,6号12,17子，23。但这些数相加得60面所需的和应是 100.于是他把各项乘以5/3. 草片文书中只涉及到最简单的二次方程如ax=b.即使在 出现两个未知量时，方程的类型也是 2+-10,y=星 所以消去y后，x的方程仍是前述类型.草片文书中也可看到牵 涉算术数列和几何数列的具体问题.从所有这些问题及其解法 中，我们不难推知他们所用的一般法则. 在埃及人有限的代数里实际上没有成套的记号.在Ahmes 草片文书中，加法和减法用一个人走近和走开（来和去）的腿形 和人来表示，记号「.用来表示平方根. 埃及人的几何是怎样的呢？他们并不把算术和几何分开.草 片文书中都有这两方面的问题.埃及人也象巴比伦人那样，把儿 何看作实用工具.他们只是把算术和代数用来解有关面积体积及 其他几何性质的问题.据希腊历史学家Herodotus说，埃及是因 为尼罗河每年涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的.但 巴比伦人并无这种需要却也在几何上作出同样多的贡献.埃及人 有计算矩形、三角形和梯形面积的死方法.就计算三角形面积而 论，他们虽用一数乘以另一数的一半来做，但我们不能肯定这方法 是否正确，因从题中所用的字语不能肯定相乘的两个长度代表底 和高还是只代表两条边.又由于图是画得那么不清，使人不能豌 定究竟所求的是哪块面积或哪块体积.他们对圆面积的计算好得 惊人，用的公式是A=(8d/9)其中d是直径、这就等于取π为 3.1605
【22 第2章埃及的数学 略举一例便可说明埃及人的面积公式多么“准确”.在埃特阜 (Efu)一个庙宇的墙上刻有一个捐献给庙宇的田地表.这些田 地一般有四边，今将其记之为a,b,c,d,其中a与b以及c与d是 两批相对的边.铭文给出的这些田地的面积是(a+b）.(c+d① 2 但有些田地是三角形的，这时他们认为d就没有了，面积的算法变 成《+D·受，甲使对四边形来说，这种算法也只是粗略的近 似 埃及人也有算立方体、箱体、柱体和其他图形体积的法则.有 些法则是对的，有些只是近似.草片文书中给出的一个截锥水钟 的体积，用我们的记号是 p-色（是(o+月， 这里B是高，(D+d)/2是平均周长，这个公式相当于取π为3. 埃及儿何里最了不起的一个法则是计算截棱锥体的体积公 式.锥体的底是正方形，这公式用现代的记号是 V-合(@2+ab+69, 其中乃是高，a和b是上下底的边.这公式之所以了不起，乃是因 为它正确，而且表达的形式是对称的（当然不是用我们的记法）， 它只是用具体数字写出的.不过我们并不知道棱锥体的底是否确 为正方形，因为草片文书中的图作得很马虎. 我们也不知道埃及人是否认识到Pythagoras定理.我们 知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成 长度各为3比4比5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从 未在任何文件上得到证实. 他们的法则并不用记号表示.埃及人是用语文来表述数学问 题的：他们的解题步骤基本上同我们在套公式进行计算时的做法 一样，例如，对于求截棱锥体体积这样一个儿何问题，如果大体上
4.埃及人对数学的使用 23I 逐字逐句译出来便是：“若有人告诉你说：有截棱锥，高为6，底为 4,顶为2.你就要取这4的平方，得结果为16.你要把它加倍， 得结果8.你要取2的平方，得4.你要把16、8和4加起来，得 28.你要取6的三分之一，得2.你要取28的两倍，得56.你看， 它等于56.你可以知道它是对的.” 埃及人究竟懂不懂证明，或者懂不懂他们的算法和公式需要 有根据？有一种说法认为Ahmes草片文书是按教科书格式写给当 时学生学习用的，因此虽然Ahmes在解一些类型的方程时没有叙 述-一般法则，但很可能他懂得这些法则，但想让学生自己去体会出 这些法则，或者想让教师教给他们.按照这种观点，Ahmes草片 文书是颇为高深的算术课本.别的一些人又说这是一个学生的笔 记本.不管怎样，几乎可以肯定地说，草片文书中所载的问题是当 时的商业人员和行政管理人员应该解决的那类问题，而求解的方 法则是从工作经验中得出的实用法则.谁也不会相信埃及人有-一 种依据可靠公理形成的演绎结构，来证明他们所用的法测是正确 的、 4,埃及人对数学的使用 埃及人用数学来管理国家和教会的事务，确定付给劳役者的 报酬，求谷仓的容积和田地的面积，征收按土地面积估出的地税， 从一种度量单位换算成另一种度量单位，计算修造房屋和防御工 程所需的砖数.草片文书中还有一些问题，计算酿造一定量啤酒 所需的谷物数量，以及用一种出酒率与他种谷物之比为已知的谷 物酿出与他种谷物同样的酒所需的数量、 同巴比伦人一样，埃及数学的一个主要的用途是天文，这是从 第一朝代就开始做的.尼罗河是埃及人的生命源泉，他们靠耕种 尼罗河每年泛滥的淤土所覆盖的田地谋生.但他们也得准备好应
124 第2章埃及的数学 付洪水的危害，他们得把家、农具和耕畜暂时迁至别处，并做好安 排，使洪水过后能立即播种.~因此就得预报洪水到来的日期，这就 要知道洪水到来前的天文现象 有了天文学才可能有历法.除了在商业上的需要之外，预报 宗教节日也需要历法.他们认为，为要求得天神保佑，节日必须按 时庆贺，同巴比伦人一样，历法是由教士来管的. 埃及人靠观察天狼星算得太阳年的日子数.这颗星在夏季的 某一天可在太阳快出来的时候在地平线上看到.在其后一些日子 里，在太阳升起以前可以在较长的时间里看到它.把在太阳快升 起时能看到它的那第一天，叫做天狼星的先阳升日(heliacal rising of Sirius),两个先阳升日之间大约相隔365一天；因此埃及人（一 般认为是在公元前4241年)采用以365日为一年的民历.他们之 所以集中观察天狼星，无疑是因为尼罗河水在那天开始上涨，而那 天也就被选定为一年的第一天。 他们把365天的一年分为12个月，每月30天，年末外加5 天.因埃及人没有在每四年内加插一天，他们的民历就要慢慢落 后于季节.这种民历需要经1460年之后才能又符合季节；这段时 期叫索特周期(Sothic cycle),这是因为埃及人称天狼星为索特. 但埃及人是否知道索特周期是有疑问的.他们的历法在公元前 45年为Julius Caesar所采用，但他采纳亚历山大城希腊人Sosi- gees的建议，把一年改为365子天.埃及人虽在定出一年的天数 和历法上作出了有价值的贡献，但这并不是由于他们的天文学高 明，实际上他们的天文学是粗浅的，并且远不如巴比伦人的天文 学。 埃及人把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们 的神庙，使一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。例 如他们把某些庙宇修得这样，使一年中白昼最长的那天，阳光能直 接进入庙宇，照亮祭坛上的神像.巴比伦人和希腊人，也在某种
5.总结 251 程度上按这种方式确定庙宇的方向和位置.金字塔的方位也朝向 天上特定的方向，而斯芬克斯（即狮面人身像一译者）的面则是 朝东的.虽则这些工程的修建细节对我们无关宏旨，但值得指出 的是，金字塔代表埃及人对几何的另一种用法.金字塔是帝王的 陵墓；因埃及人相信灵魂不灭，所以他们相信合适修造陵墓对死者 的阴间生活大有影响.事实上，每个金字塔里都专设一间房，供帝 王和王后死后居住.他们竭力使金字塔的底有正确的形状；底和 高的尺寸之比也是意义非常重大的.但我们不应把有关工程的复 杂性或想法的深奥性过分强调.埃及人的数学是简单粗浅的，并 不象过去经常有人宣称的那样包含着深刻的原理， 5.总 结 我们来回顾一下希腊人出场之前的数学状况，在巴比伦和埃 及文明中，我们发现有整数和分数的算术，包括进位制记数法，有 初步的代数，和几何上的一些经验公式.几乎还没有成套的记号， 几乎没有有意识的抽象思维，没有搞出一般的方法论，没有证明甚 或直观推理的想法，使人能深信他们所作的运算步骤或所用的公 式是正确的.实际上，他们没有想到需要任何理论科学. 除了巴比伦人偶然得出的少数结果外，在这两个文明里，数学 并不成其为独立的一门学科，也未曾为数学本身进行过研究.它 只是一种工具，形式上是些无联系的简单法则，用于解决人们日常 生活中所碰到的问题.他们肯定没有在数学上做出什么能改变或 影响生活方式的大事.虽然巴比伦数学比埃及数学高明些，但我 们对两者至多只能说他们表现出一些活力，虽还谈不上什么严密 性；他们的毅力超过他们的才力. 凡作评价总得有个标准.把这两种文明同其后的希腊文明相 比可能并不公允，然而却很自然。按这标准说，埃及人和巴比伦人