2 埃及的数学 所有科学，包括遵每和数学在内，都是有关时代的面 数 一所有科学连同它的理想和成就统统都是如此。 E.且，Moore 1.背景 当美索波达米亚地区的统治民族迭经更替从而接受新的文化 影响之际，埃及的文明却在不受外来势力的影响下独自发展。埃 及文明源自何处于今未知，但它肯定在公元前4000年之前就已存 在.正如希腊史学家Herodot加s所说，埃及是受尼罗河恩施的， 这条河把南方的水一年一度地泛滥到沿河两岸之后留下沃土.他 们的大多数人自古以来就一直靠耕种这片沃土谋生.这国家的其 余部分是荒漠。 在今日埃及这块地方，古代有两个王国，一个在北方，一个在 南方.在公元前3500年到3000年之际，他们的一个统治者Mcna (或Menes)统一了南、北（或上、下）埃及.嗣后埃及历史的主要时 期就按统治的朝代来命名，而以Menes为第一朝代的创建人.埃 及文化在第三朝代（公元前2500年左右）到达最高点，当时的统治 者建立了至今闻名的金字塔.一直到公元前32年Alexandez the Great征服它以前，埃及文明按着它自己的道路延续着.此后 一直到公元600年左右，埃及的历史和数学就附属于希腊文明了， 因此，除了受Hyks0s人的一次小小入侵（公元前1700到1600年） 和跟巴比伦文明的轻微接触（这从尼罗河谷发现公元前1500年左
1.背 家形字 171 右的Tell al-Amarna楔形文字泥版一事推知)之外，埃及文明是 其本地居民的创造物 古埃及人造出了他们自己的几套文字.其中有一套是象形文 字，每个文字记号是某件东西的图形.直到基督降生的年代，埃及 象形文字还用在纪念碑文和器皿上.从公元前2500年左右起，埃 及人用一种所谓僧侣文(hieratic writing)来作日常书写.这套文 字所用的人为记号起初只是象形字的简缩.僧侣文是拼音的，每 个音节由一个会意文代表，而整个文字则由一些会意文组成，整 个文字的意义并不受个别会意文的限制. 书写的方式是用墨水写在草片(papyrus))上，这是把一种木髓 紧压后切成的薄片、因草片会干裂成粉末，所以除了铭刻在石头 上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来. 现存的数学文件主要是两批草片文书：一批是保存在莫斯科 的，叫莫斯科草片文书；一批是1858年英国人Henry Rhind发现 的，现存英国博物馆，叫Rhind草片文书.Rhind草片文书又叫 Ahmes草片文书，因其作者叫Ahmes,他在这文书的开首写了如 下这句话：“获知一切秘奥的指南”.这两批草片文书都是公元前 1700年左右的东西.此外还存有写于这一时代及其后的一些草 片文书的片断.数学草片文书的作者是在古埃及政府和教会行政 机构中工作的书记。 草片文书里含有数学问题和解答一在Rhind草片文书里 有85题，在莫斯科草片文书里有25题.这些想必是书记们在工 作中所碰到的问题，而人们则指望他们求出解答.这两大批草片 文书中的问题很可能是作为一些典型问题和典型解法的示范例 子而记下来的.虽然这些草片文书的撰写年代在公元前1700年 左右，但其中所含的数学是埃及人早在公元前3500年就已经知道 的，而从那时起直到希腊人征服他们以前，他们很少增加新的知 识
118 ·第2章埃及的数学 2.算术 埃及人用的象形数字记号是：|表1，∩表10，⊙及9表 10,气表100，f表10,00，以及表示更大单位的其他记 号.介乎其间的各数则由这些记号组合而成.书写的方式是从右 往左的，故1I1∩∩表24.这套数字写法是以10为底的，但不 是进位制的. 埃及僧侣文的整数写法可用下面几个记号作为例子： 1I川-y出么=入 12345678910 他们的算术主要用迭加法.做通常加减法时，他们只是靠添 上或划掉一些记号，以求得最后结果.乘除法也是化成迭加步骤 来做的.比如说，计算12乘12时，埃及人的做法如下： 1 12 9 24 48 8 96 每行是由上一行取二倍得出的.有了412=48和8.12=96，把 48和96相加，这就得到1212.这种算法当然同分别乘以10和乘 以2然后相加的算法很不一样.乘以10的算法他们也做，这时他 们把表示1的记号改成表示10的记号，把表示10的记号改成表 示100的记号. 埃及人做一个整数除以另一整数的算法也是怪有意思的.例 如，他们做19除以8的算法如下： 1 8
2.算术 19 2 16 1/2 4 1/4 2 1/8 于是得解答为2+1/4+1/8.求解的思想无非是取8的倍数和部 分数，使之合并成19. 埃及数系中分数的记法比我们今日的复杂得多.记号○读 作0，原表示20蒲式耳（谷物容量，一蒲式耳合八加仑一译 者)，埃及人用来表示一个分数.在僧侣文中把这卵形改成一个 点.这卵形○或点通常记在整数上，表明它是个分数.例如在 象形文字写法中， 少数几个分数用特殊记号表示.如象形记号二表示1/2； 斤表示2/3，×表示子 除了几个特殊分数之外，所有分数都拆成一些所谓单位分数. 例如，Ahmes把2/5写成1/3+1/15.加法记号是没有的，但从 上下文可以看出加的意思.Rhind草片文书里有个数表，把分子 为2而分母为5到101的奇数的这类分数，表达成分子为1的分 数之和.利用这表，可把7，/29这祥一个分数（这在Ahmes看来是 整数7除以整数29)表达成单位分数之和.由于7-2+2+2+1， 他把每个2/29表达成分子为1的分数之和.把这些结果加起来， 并作进一步的变换，最后得到一些单位分数之和，其中每个分数的 分母各不相同.所得7/29的最后这种表达式是 君+好+品+成+京 这里凑巧7/29还可表达成1/5+1/29+1145，不过用了Ahes
120 第2章埃及的数学 的2/数表会得出头一个结果，所以他就用头一个表达式.把分 数α/b表达成单位分数之和是系统地按照老办法做的.埃及人利 用单位分数就可对分数进行四则运算.埃及人之所以未能把算术 和代数发展到高的水平，其分数运算之繁复也是原因之一， 埃及算术里也如巴比伦一样未能认识到无理数的性质.代 数问题中出现的简单平方根，他们是能够用整数和分数来表达 的。 3.代数与几何 草片文书中有求一个未知量问题的解法，这个问题大体上相 当于今日的一元一次方程.不过用的方法纯粹是算术的，并且在 埃及人心目中这并不成其为一门独特的学科—一解方程。问题是 用文字叙述的，仅告诉得出解的步骤，不说明为什么用这些方法， 也不说明为什么这些方法能行.例如Ahmes草片文书中的第31 题，直译出来是：“一个数量，它的2/3，它的1/2，它的1/7，它的 全部，加起来总共是33”.用我们的记号就是 是x+受+号+红-3， 这个题只要用埃及人的简单算术就可解出， 草片文书中的第63题如下：“把700块面包分发给四人，第一 人2/3，第二人1/2，第三人1/3，第四人1/4”.这对我们来说就 县 号e+日+官+g-70, Ahm9给出的解法是这样的：“把景，子子，是加起来，得1 是是以1是程路马，得号现求0的豆4这经0