第1章美索波达米亚的数学 在写法简化以后，【的外形减小了但仍放在代表60的那个位置 上，因而所在的位置就变成代表60的倍数记号.另一种可能的 解释来自币制.他们可能把1 talent(古币单位)和10mana写作 《,这里【表示1 talent,,它等于60mana.正如我们所写 $1.20中的1代表100分那样.于是记钱数的写法就采用到一般 算术上来了 4。算术运算 在巴比伦记数制中，代表1和10的记号是基本记号.从1到 59这些数都是用几个或者更多一些基本记号结合而成的.因此 这种数的加减法就不过是加上或去掉这种记号就是了，巴比伦人 把数字合在一起用来表示相加，例如《济表示16.减法用记号 广表示.如父m即40一3.在较晚期的天文文件中则出现 ab这个字，它表示加法. 他们也做整数的乘法.比方说，乘以37，他们的做法是乘以 0,另外再乘以7，然后把结果相加.乘法记号是竹，读作 @-r6,意思是“去” 巴比伦人也做整数除以整数的运算.由于除以一个整数α就 是乘以倒数子这就牵涉到分数的运算.巴比伦人把倒数化成六 十进制的“小数”，而除了上面指出的几个分数以外，不用分数的特 殊记号。他们有数字表，可以查出1/a形式的数（其中a=235) 怎样写成有限位的六十进制“小数”.有些数表给出1/7,1/i, 1/13等的近似值，因为这些分数所化成的六十进制小数是无限循 环的.在一些老问题里所出现的分数中，如果分母里含有2,3或 5之外的因子，分子里也有这种因子，那就彼此约掉
4.算术运算 7 I 巴比伦人完全靠倒数表来作计算.例如，他们的表中有： igi2 gal-bi30 igi8 gal-bi7,30 igi3 gal-bi 20 igi9gol-bi6,40 igi4 gal-bi15 … igi6 gal-bi10 igi27 gal-bi2,13,20 这些显然表示1/2=30/60,1/3=20/60等等.至于g和gl-b诚 的确切意义则不知道.六十进制分数（即小于1的数）用60乘幂 60,60等的逆方幂表示，不过分母并未明确写出.这种写法仍为 希腊人Hipparchus和Ptolemy所采用，并且一直沿用到十六世纪 文艺复兴时的欧洲，这之后才被以10为底的十进制小数所代替. 巴比伦人也有表示平方、平方根、立方和立方根的数表.：当方 根是整数时，给出的是准确值.对于其他的方根，相应的六十进制 数值只是近似的.无理数当然是不能用有限位的十进制或六十进 制小数来表示的.不过，没有事实可以证明巴比伦人懂得这一点。 他们很可能相信，只要用足够多的位数，就可用六十进制小数准确 表达无理数.巴比伦人给出的√2的近似值是√2=1.414213… 而不是1.414214…. :·在他们计算高h宽的矩形对角线d时出现平方根.有一个 问题是求给定宽和高的一扇门的对角线.给出的解答并未说明是 怎么求得的，但相当于用了求对角线d的近似公式，即 d+然 这公式在>0时是d的很好的近似式，例如在他们的一个问题 中有>w的情形，可以看出这解答是合理的，因为 d-VF+西-+采-+月. 如果把二项式展开并只取头两项，那就得出上面的近似式.他们 还给出了求平方根间题的其他近似解答，这些可能是用了巴比伦 人数家表中的数而得出的，…
18 第1章美索波达米亚的致学 5.巴比伦的代数 从载有数字表的文件中，可以获得巴比伦人的数系和数字运 算方面的许多知识.还有一些文件与此不同，它们是处理代数与 几何问题的.早期巴比伦代数的一个基本问题，是求出一个数，使 它与它的倒数之和等于已给数.用现代的记号来说，即巴比伦人 要求出这样的x与无，使 c=1,五+龙=b. 从这两个方程得出x的一个二次方程，即心2-bx+1=0.他们作 出（安）；再作出√(》-五，然后得出解答。 名+份》-1及名-√份-五 这就是说巴比伦人实际上知道二次方程根的公式.有些别的问 题，如给定两数之和与两数之积而求出这两数，也可化为上述问 题.由于巴比伦人不用负数，故二次方程的负根是略而不提的.虽 然他们只给出具体例题，但好些问题是打算说明二次方程的一般 解法的，他们用变量置换把更为复杂的代数问题化成较简的问题， 巴比伦人能解出含五个未知量的五个方程这类个别的问题. 在校正天文观测数据而引起的一个问题中，包括含十个未知量的 十个（大多数是线性的）方程.他们用一种特殊的方法结合各个方 程，最后算出了所有未知量。 他们的代数方程是用语文叙述并用语文来解出的.他们常用 (长)，sag(宽)和aa(面积)这些字来代表未知量，并不一定因 为所求未知量确实是这些几何量，而可能是由于许多代数问题来 自儿何方面，因而用几何术语成了标准做法.我们举下面一个例 子，来说明他们是怎样用这些术语表示未知量和陈述问题的：“我 把长乘宽得面积10.我把长自乘得面积，我把长大于宽的量自
5.巴比伦的代数 91 乘，再把这个结果乘以9.这个面积等于长自乘所得的面积.问 长和宽是多少？”很明显，这里的文字长、宽和面积，只不过是分别 代表两个未知量及其乘积的方便说法) 这问题现今的写法是 2xy=10, 9(x-y)2=2 附带说明二下，求解时得出x的一个四次方程，但其中缺少x和x 项，因而可作为x的二次方程来解出. 他们也搞需要求三次根的问题.其中一个问题若用现今的记 号来写是这样的： 12x=名，y=花，2g=V, 这里V是个给定的体积.求这里的x时必须算立方根.巴比伦 人用上述的立方根数字表来算这个根.他们也计算复利问题，其 中需要求出一个未知的指数函数值. 巴比伦人有时也用记号表示未知量，但这种记法只是偶尔用 之，在有些问题里，他们用两个苏默文字（字尾变形有点受阿卡德 文的彩响)表示两个互为倒数的未知量.又因这两个文字在古苏 默文里是用象形记号的，而这两个象形记号当时已不流行，所以结 果就等于用两个特殊记号来表未知量.他们反复运用这些记号， 因而虽不懂得这两个记号在阿卡德文里的读法，我们也可以认出 它们来 他们解代数问题时只指出求解的步骤.例如，10平方得100； 从1000减去100：得900，等等.由于他们并不说明每步做法的理 由，所以只能推想他们是怎么知道这种做法的 他们在具体问题里算出了算术数列和几何数列之和；对于后 者，用我们的记号是： 1)在ran der Waerden…书pp.65~73中可找到许多代牧问您的例子.请参 看本章末的文献
11o 第1章美索波达米亚的数学 :1+2+4+…+29=29+(29-1)=210-1. 他们也给出了从1到10的整数平方和，好象是应用了下列公式似 的 1+2+…+-1x号+n×号）1+2+3+…+. 在处理这方面的特殊问题时，他们没有给出推导 巴比伦代数中也含有一些数论.他们求出了好几批Pythago- ras三元数组，并且很可能是用正确方法得出的；即，若心=p2-g, y=2pq,名=p+g,则x2+y2=22.他们还求出了x2+y2=22的 整数解。 6。巴比伦的几何 几何在巴比伦人的心目中是不重要的.几何并不是他们一门 独立的学科.关于划分土地或计算某项工程所需砖数之类的问题 很易于化为代数问题.面积和体积的一些算法是按固定法则或公 式给出的.不过，那些说明几何问题的图画得很粗，所用的公式也 可能不正确.例如，在巴比伦人计算面积的问题里，我们分不清其 中的三角形是否为直角三角形，也不知其四边形是否为正方形，因 而不知其对有关图形所用的公式是否正确.不过，Pythagoras定 理中的关系，三角形的相似以及相似三角形对应边成比例的关系 他们是知道的，他们似用A=2(其中：表圆周长)这个法则得出 圆面积.在这个法则里，他们等于用3代替了元，不过，在他们给 出正六边形及其外接圆周长之比时，其中的结果说明他们用3号 作为π值.在计算一些特定物理问题时，他们算出了一些体积，有 些算对了，有些算得不对」 除了计算一个给定的等腰三角形的外接圆半径之类这一些特