1 美索波达米亚的数学 逻舞可以等待，因为它是水恒的， Oliver Heaviside 1。敷学是在哪里开始出现的？ 数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在公元前 600到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的.但在更 早期的一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽.在这些 原始文明社会中，有好些社会只能分辨一、二和许多，并没有更多 的数学知识；有些则知道并且能够运算大的整数.：还有一些能够 把数作为抽象概念来认识，并采用特殊的字来代表个别的数，引入 数的记号，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数量.也 可以发现他们知道四则运算，不过仅限于小的数；并且具有分数的 概念，不过只限于，言之类，面且是用文字表达的。此外，古人 也认识到最简单的几何概念如直线、圆和角.也许值得一提的是， 角的概念想必是从观察到人的大小腿（股）或上下臂之间形成的角 而产生的，因为在大多数语言中，角的边常是用股或臂的字来代表 的.例如在英文中，直角三角形的两边叫两臂.（在汉文中直角三 角形的一条直角边也叫股一译者).在这些原始文明中，数学的 应用只限于简单交易，田地面积的粗略计算，陶器上的几何图案， 织在布上的花格和记时等方面.· 在公元前三千年左右巴比伦和埃及的数学出现以前，人类在 数学上没有取得更多的进展.由于原始人早在公元前一万年就开
12 第1章美索波达米亚的数学 始定居在一个地区，建立家园，靠农牧业生活，可见最初等的数学 迈出头几步是多么费时：更由于许许多多古代文明社会竟然没有 什么数学可言，足见能培育出这门科学的文明是多么稀少. 2.美索波达米亚的政治史 ·在上述两个古代文明社会中，巴比伦人是首先对数学主流作 出贡献的.由于我们对近东的特别是对巴比伦古代文明的知识， 大部来自近百年来考古研究的结果，所以这一知识是不完整的，而 且会因以后的新发现而必须加以改正“巴比伦人”这个名词包括 好些同时或先后居住在底格里斯(Tigris)和幼发拉底斯(uphra- ts)两河之间及其流域上的一些民族.这块地方古代叫美索波达 米亚(Mesopotamia),是今日伊拉克的一部分.这些民族居住在独 立的城邑如巴比伦(Babylon),乌尔(Ur),尼普耳(Nippur),苏塞 (Susa),阿塞耳(Aur),乌鲁克(Uruk),拉加希(Lagash),克希 (Ksh)等.公元前4000年左右，同闪族及印度-日耳曼族不同 种族的苏默人(Sumerians)在美索波达米亚的部分地区定居了下 来.他们的首都是乌尔，他们所控制的地区叫苏默.虽然他们的 文化在公元前2250年达到最高点，但甚至在更早的时候，公元前 2500年左右，苏默人就受阿卡德人(Akkadians)的政治控制.这 阿卡德人是闪族，他们的主要城市是阿卡德，当时的统治者是 Sargon.于是苏默文化就被阿卡德文化所淹没了.在Hamiurabi 王（公元前1700年左右）统治期间，文化得到高度发展.这位君王 也以制定一部著名法典而垂名后世， 公元前一千年左右，民族迁徙和铁器的使用产生了进一步的 变革.其后到公元前八世纪，这地区为原住在底格里斯河上游的 亚述人(Assyrians)所统治.据今日所知，亚述人对文化没有什么 新贡献，一个世纪之后，亚述帝国为迦勒底人(Chaldeans)和米太
3.数的记号 楼形文子 31 人(Medes)所割据，而米太人则与更往东的波斯人种族接近.美素 波达米亚史上的这段时期（公元前七世纪）通常称为迦勒底时期. 公元前540年左右，近东地区为居鲁士(Cyrus)统治下的波斯人所 征服.波斯数学家如Nabu-rimanni(公元前490年左右)和Kidinu (公元前480年左右)开始为希腊人所知悉. 公元前330年，希腊军事领袖Alexander the Great征服了美 索波达米亚.从公元前330年迄基督诞生这一段历史时期世称为 塞流卡斯时期(Seleucid period),这是从公元前323年Alexander 死后统治该地区的希腊将领Seleucus得名的.但其时希腊数学之 花已盛开，所以自Alexander迄公元七世纪阿拉伯人到来这一段 时期内，希腊人的影响遍及近东.巴比伦人所创造的数学大部出 现在塞流卡斯时期以前. 尽管美索波达米亚地区的统治者变动频繁，但数学的知识、 传统和使用，从古代起至少-一直到Alexander时代，始终连绵不 断. 3.数的记号 我们对巴比伦文明和数学的知识，无论是其古代的或较近期 的，都得自其泥版的文书.这些泥版是在胶泥尚软时刻上字然后 晒千的.因面那些未被毁坏的就能完整保存下来.这些泥版的制 作大抵在两段时期，有些是公元前二千年左右的，而大部分是公元 前600年到公元300年间的.较早的泥版对数学史来说重要性更 大些。 “较早期泥版上刻的是阿卡德文字，这是附加到较早的苏默文 字上的一种文字.阿卡德语中的字含有一个或多个音节；每个音 节则用一批基本上是线条形式的记号表示.阿卡德人用一种断面 呈三角形的笔斜刻泥版，在版上按不同方向刻出榭形刻痕.`因此
14 第上章美索波达米亚的数学 这种文字就叫楔形文字.楔形文字的英文字cuneiform就是从 拉丁文unes而来的，而cuneus的原意就是“楔”或尖劈. 巴比伦文化中发展程度最高的算术是阿卡德人的算术.他们 的整数写法如下： T门州Ψ或济W带9或洲 1 4 5 带，邢帮了0·”“你备系 10 11 12 YKK TY YK 60 70 80 120 130 巴比伦数系的突出之点是以60为基底并采用进位记号. 起初巴比伦人没有用什么记号来表示某一位上没有数，因此 他们写的数是意义不定的.例如《可以表示80或3620，这要 取决于头一个记号是表示60还是3600.他们往往空出一些地方 来表明那一位上没有数，但这当然还会引起误解的.在塞流卡斯 时期他们引入了一种特别的分开记号来表示那一位上没有数.例 如1世=1602+0.60+4=3604.但即使在这段时期也还未采 用一个记号来表明最右端的一位上没有数，如同我们今日所记的 20那样.在这两段时期，人们都得依靠文件的内容，才能定出整 个数字的确切数值 巴比伦人也用进位记法来表示分数.例如，《作为分数来 记时，可以表示20/60，而《T作为分数来记，可表示21/60或 20/60+1/602.所以他们数字系统的混淆不清比上面所指出的还 要厉害。 少数几个分数有其特定记号.例如我们可以看到平=司
3,数的记号 81 =骨=是这些特殊分数是是和导对巴比伦人来 说，在量的度量意义上是作为‘整体'看待的，而不是一的几分之 儿，虽则它们是从量的度量（同另一量相比有这相应关系）所得出 的结果，例如把一角钱与元对比时我们可以把1角钱写成0，但 又把这品本身看成是一个单位. 实际上巴比伦人并不到处都用60进制.有时他们把年数写 成2me25,这里m6代表百，用我们的记号这就是225.他们也用 imu代表1000，这-一般用在非数学的文件上，然而也出现在塞流 卡斯时代的数学文件上.有时10和60进位是混用的，如2me1, 10,这表示2×100+1×60+10=270.他们以60,24,12,10,6， 2混合进位制写出的数，表示日期、面积、重量、钱币，正如我们今 日的钟点数用12进位，分、秒数用60进位，英寸数用12进位而普 通计数则用10进位一样.巴比伦人的数制也象今日所用的一样， 是由许多历史条件和地区习惯形成的混合数制.不过在数学和天 文上，他们则是一贯用60进制的. 我们不能明确地知道基底60是怎么来的.这也许是由于他 们采用一系列重量单位制的结果。假如我们有一个重量单位制， 其各单位所含重量之比为 1/2,1/3,2/3,1,10. 又假如另外还有一种重量单位制，其单位不同但重量值之比相同， 而政治或社会力量要求把这两种衡制合并起来.（例如我们有公 尺和码.)如果较大的单位是较小单位的60倍，那么较大单位的 1/2,1/3和2/3将是较小单位的整倍数.因而为了使用方便就采 纳较大的单位。 关于进位记数法的来源有两种可能的解释.在较早的记数法 中，他们用较大的】代表1乘60而以较小的这种记号代表1