A<1+|4 取X1=max{X,a+1},则f(x)在(X1,∞)内有界,且f(x)<|4|+1,x∈(X1,∞) 又由于f(x)在{a,X1]上连续,故f(x)在[a,x1]上有界,设其界为M>0,即vx∈[a,X1],有f(x)≤M 取G=max{4|+1,M},则vx∈[a,∞),f(x)≤G 即f(x)在[a,∞)有界 8.若对任一E>0,f(x)在a+E,b-]连续,问: (1)∫(x)是否(a,b)在连续? (2)f(x)是否在,b连续 (1)任取x∈(a,b),取e=min{ ,则xo∈[a+E,b-] 因对任一E>0,f(x)在{a+ε,b--连续,故f(x)在x点连续 由xo∈(a,b)的任意性,得f(x)在(a,b)内连续 2)不一定连续 (i)不连续。例:f(x)在0+E,1-](e>0)内连续,但f(x)在0,1上不连续,在x=0点断开 (i)连续。例:f(x)在[1+E,2-](E>0)内连续,且f(x)在1,2]上连续 9.若∫(x)在xo点连续,并且f(xo)>0,证明存在r的δ邻域O(x,6),当x∈O(x2,6)时,∫(x)≥c>0,c为某 常数 证明:由于f(x)在x0点连续,且f(x0)>0,则设f(xo)>c>0 对给定的ε=∫(xn)-c>0,36>0,当r-r。l<时,有f(x)-f(x川<ε=f(x)-c,则f(xa)-[f(xo) d≤f(x),即f(a)≥c>0. 10.证明若连续函数在有理点的函数值为0,则此函数恒为0 证明;设f(x)为实轴上的连续函数,x0为任意一个无理点 由有理点在数轴上的稠密性,可以取无理数列{xn},使得rn→r0(n→∞) 因f(x)在x连续,则f(x)=limf(xn)=0 由x0点的任意性,得f(x)在所有无理点的函数值都为 又f(x)在有理点的函数值为0,则此函数恒为0. 11.若f(x)在a,连续,恒正,按定义证明r在a,连续 证明:由于(a)在[连续,恒正,则/(2)在(c)连续,J()>0,r(2)在,∈p 设x为(ab)内任一点,则对ve>0,36>0, <6时,有f(x)-f(xo)<E 又∫(x)在[ab连续,则由闭区间连续函数性质2,可设f(x)在,上的最小值为m>0,即f(x)≥m,x∈ ab,于是 ∫(x)-f(xo)ε ∫(x)f(x0) ∫(z)(a)m2xof(a)(a)从而在x连续 由x0在(a,b)内的任意性,得∫(x)在(ab)内连续 又a+0)=()>0,则7a+0=了o,故()在b)连续 又f(b-0)=f(b)>0, f(b-0)=f(b) 故∫(x)在a,b连续 12.若∫(x)和g(x)都在{a,b连续,试证明max(f(x),g(x)以及min(f(x),g(x)都在{a,b连续 证明:由于f(x)和g(x)都在{a,b连续,故f(x)-9(x)和f(x)+g(a)都在{a,b连续 由第4题结论,有f(x)-9(x)在{a,连续 Ap(a)= max(f(r), g(r))= (()+g(r)+If(r)-ga)D) v(x)=min(f(x),9(x)=5(f(x)+9(x)-|f(x)-9(x), 故p(x),v(x)都在a,b连续 若f(x)<-c 若f(x)是连续的,证明对任何c>0,函数g(x)={f(x),若∫(x)≤c是连续的 若f(x)> 证明:由于g(x)=max(-c,min(f(x),c) 又由于∫(x)连续,且对任何c>0,g(x)=c连续,(x)=-c连续, 则由上题结论,得min(f(x),c)连续,从而再由上题结论,得9(a)连续 14.研究下列函数各个不连续点的性质(即为何种不连续点) (1+x)2
36 |A| < 1 + |A| X1 = max{X, a + 1}ßKf(x)3(X1,∞)Sk.ßÖ|f(x)| < |A| + 1, x ∈ (X1,∞) qduf(x)3[a, X1]˛ÎYßf(x)3[a, X1]˛k.ߟ.èM > 0ß=∀x ∈ [a, X1]ßk|f(x)| 6 M G = max{|A| + 1, M}ßK∀x ∈ [a,∞), f(x) 6 Gß =f(x)3[a,∞)k.. 8. eÈ?òε > 0ßf(x)3[a + ε, b − ε]ÎYßص (1) f(x)¥ƒ(a, b)3ÎYº (2) f(x)¥ƒ3[a, b]ÎYº )µ (1) ?x0 ∈ (a, b)ßε = min x0 − a 2 , b − x0 2 ßKx0 ∈ [a + ε, b − ε] œÈ?òε > 0ßf(x)3[a + ε, b − ε]ÎYßf(x)3x0:ÎY dx0 ∈ (a, b)?ø5ßf(x)3(a, b)SÎY. (2) ÿò½ÎY" (i) ÿÎY"~µf(x)3[0 + ε, 1 − ε](ε > 0)SÎYßf(x)3[0, 1]˛ÿÎYß3x = 0:‰m. (ii) ÎY"~µf(x)3[1 + ε, 2 − ε](ε > 0)SÎYßÖf(x)3[1, 2]˛ÎY. 9. ef(x)3x0:ÎYßøÖf(x0 ) > 0ßy²3x0δçO(x0 , δ)ßx ∈ O(x0 , δ)ûßf(x) > c > 0ßcè, á~Í. y²µduf(x)3x0:ÎYßÖf(x0 ) > 0ßKf(x0 ) > c > 0 Èâ½ε = f(x0 )−c > 0, ∃δ > 0ß|x−x0 | < δûßk|f(x)−f(x0 )| < ε = f(x0 )−cßKf(x0 )−[f(x0 )− c] 6 f(x)ß=f(x) > c > 0. 10. y²eÎYºÍ3kn:ºÍäè0ßKdºÍðè0. y²µf(x)袶˛ÎYºÍßx0 è?øòáÃn:. dkn:3Ͷ˛»ó5ßå±ÃnÍ{xn}߶xn → x0 (n → ∞). œf(x)3x0ÎYßKf(x0 ) = limn→∞ f(xn) = 0ß dx0:?ø5ßf(x)3§kÃn:ºÍä—è0. qf(x)3kn:ºÍäè0ßKdºÍðè0. 11. ef(x)3[a, b]ÎYßðßU½¬y² 1 f(x) 3[a, b]ÎY. y²µduf(x)3[a, b]ÎYßðßKf(x)3(a, b)ÎYßf(x) > 0ß 1 f(x) 3ßx ∈ [a, b] x0è(a, b)S?ò:ßKÈ∀ε > 0, ∃δ > 0ß|x − x0 | < δûßk|f(x) − f(x0 )| < ε. qf(x)3[a, b]ÎYßKd4´mÎYºÍ5ü2ßåf(x)3[a, b]˛Åäèm > 0ß=f(x) > m, x ∈ [a, b]ßu¥ 1 f(x) − 1 f(x0 ) = |f(x) − f(x0 )| f(x)f(x0 ) < ε m2 ß limx→x0 1 f(x) = 1 f(x0 ) ßl 1 f(x) 3x0ÎY. dx03(a, b)S?ø5ßf(x)3(a, b)SÎY. qf(a + 0) = f(a) > 0ßK 1 f(a + 0) = 1 f(a) ßf(x)3[a, b)ÎY¶ qf(b − 0) = f(b) > 0ßK 1 f(b − 0) = 1 f(b) ßf(x)3[a, b]ÎY. 12. ef(x)⁄g(x)—3[a, b]ÎYߣy²max(f(x), g(x))±9min(f(x), g(x))—3[a, b]ÎY. y²µduf(x)⁄g(x)—3[a, b]ÎYßf(x) − g(x)⁄f(x) + g(x)—3[a, b]ÎY. d14K(ÿßk|f(x) − g(x)|3[a, b]ÎY. -ϕ(x) = max(f(x), g(x)) = 1 2 (f(x) + g(x) + |f(x) − g(x)|), ψ(x) = min(f(x), g(x)) = 1 2 (f(x) + g(x) − |f(x) − g(x)|)ß ϕ(x), ψ(x)—3[a, b]ÎY. 13. ef(x)¥ÎYßy²È?¤c > 0ߺÍg(x) = −c, ef(x) < −c f(x), e|f(x)| 6 c c, ef(x) > c ¥ÎY. y²µdug(x) = max(−c, min(f(x), c)) qduf(x)ÎYßÖÈ?¤c > 0ßϕ(x) = cÎYßψ(x) = −cÎYß Kd˛K(ÿßmin(f(x), c)ÎYßl 2d˛K(ÿßg(x)ÎY. 14. ÔƒeºÍàáÿÎY:5ü£=褴ÿÎY:§µ (1) y = x (1 + x) 2
1+ (6)y=[z]+[-] x|(x2-1) x=2(q>0,q,p为互质的整数) x为无理数 (10)y= 当l≤1 当x|>1 (11) 当r|≤ x-1,当r|> (12)y=sinx,当x为有理数 0 x为无理数 (1)因lim x→-1-0(1+x)2 故x=-1为第二类不连续点(无穷间断点) (2)因:1+x=3,但在x=-1点没有定义,故x=-1为可移不连续点 (3)因=_x2-1 (x-1)(x+1) (x-1)(x+1) x3-3x+2-(x-1)(x2+x+1) 1)(x2+x-2)(x-1)2(x+2 又limy=-∞,-20=-00,故x=-2,x=1为第二类不连续点 (4)因lim=1但y在x=0无定义,故x=0为可移不连续点 E太,sinx=∞,故x=k(k∈Z,k≠0)为第二类不连续点 又 (5)因 lim cos2在0,1间振荡,为振荡型极限,故此极限不存在,于是x=0为第二类不连续点 ()因x→k+0时,-x→-k-0,故职。y=:0(+a)=k+(-k-1)=-1 又因x→k-0时,-x→-k+0,故im。y=,m(+[-)=k-1+(-k)=-1(k∈2) 又当x=k时,y=[]+[-x=因]+[-k=0(k∈Z),故整数点均为可移不连续点 7) =+∞,故x=-1为第二类不连续点; x→1+0lnx 因1m0mnz不存在,故x=0为第二类不连续点 1 (8)y= al(x-1)(x+1) 因limy=但y在x=1无定义,故x=1为可移不连续点 0为第一类不连续点(跳跃间断点) 因imn0y=-∞,故x=-1为第二类间断点 9)因此函数是以1为周期的函数,故可在区间0,1讨论,其它区间的情形与此类似 在p.l]上,分母为1的有理数有两个:11:分母为2的有理数有一个:2 分母为3的有理数有两个 分母为4的有理数有两个:1 分母为5的有理数有四个:,三三:分母为6的有理数有两个:15
37 (2) y = 1 + x 1 + x3 (3) y = x 2 − 1 x3 − 3x + 2 (4) y = x sin x (5) y = cos2 1 x (6) y = [x] + [−x] (7) y = 1 ln x (8) y = x 2 − x |x|(x2 − 1) (9) y = 1 q , x = p q (q > 0, q, pèpüÍ) 0, xèÃnÍ (10) y = x, |x| 6 1 1, |x| > 1 (11) y = ( cos πx 2 , |x| 6 1 |x − 1|, |x| > 1 (12) y = sin πx, xèknÍ 0, xèÃnÍ )µ (1) œ lim x→−1−0 x (1 + x) 2 = −∞ßx = −1è1aÿÎY:£Ã°m‰:§. (2) œ lim x→−1 1 + x 1 + x3 = 1 3 ßy3x = −1:vk½¬ßx = −1èå£ÿÎY:. (3) œy = x 2 − 1 x3 − 3x + 2 = (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x2 + x + 1) − 3(x − 1) = (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x2 + x − 2) = (x − 1)(x + 1) (x − 1)2(x + 2)ß q lim x→1−0 y = −∞, lim x→−2−0 y = −∞ßx = −2, x = 1è1aÿÎY:. (4) œlimx→0 x sin x = 1y3x = 0ý¬ßx = 0èå£ÿÎY:¶ q limx→kπ k∈Z,k6=0 x sin x = ∞ßx = kπ(k ∈ Z, k 6= 0)è1aÿÎY:. (5) œlimx→0 cos2 1 x 3[0, 1]m ßè .4Åßd4Åÿ3ßu¥x = 0è1aÿÎY:. (6) œx → k + 0ûß−x → −k − 0ß lim x→k+0 y = lim x→k+0 ([x] + [−x]) = k + (−k − 1) = −1¶ qœx → k − 0ûß−x → −k + 0ß lim x→k−0 y = lim x→k−0 ([x] + [−x]) = k − 1 + (−k) = −1(k ∈ Z) qx = kûßy = [x] + [−x] = [k] + [−k] = 0(k ∈ Z)ßÍ:˛èå£ÿÎY:. (7) œ lim x→1+0 1 ln x = +∞ßx = −1è1aÿÎY:¶ œ lim x→−0 1 ln x ÿ3ßx = 0è1aÿÎY:. (8) y = x(x − 1) |x|(x − 1)(x + 1) œlimx→1 y = 1 2 y3x = 1ý¬ßx = 1èå£ÿÎY:¶ œ lim x→+0 y = 1, lim x→−0 y = −1ßx = 0è1òaÿÎY:£am‰:§¶ œ lim x→−1+0 y = −∞ßx = −1è1am‰:. (9) œdºÍ¥±1豜ºÍßå3´m[0, 1]?ÿߟߴmú/Üdaq. 3[0, 1]˛ß©1è1knÍk¸áµ 0 1 , 1 1 ¶©1è2knÍkòáµ 1 2 ¶ ©1è3knÍk¸áµ 1 3 , 2 3 ¶©1è4knÍk¸áµ 1 4 , 3 4 ¶ ©1è5knÍkoáµ 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 ¶©1è6knÍk¸áµ 1 6 , 5 6 ¶· · ·
母不超过k的有理数个数l≤2+1+2+3+…+(k-1) +2,即分母不超过k的有 只有有限个 下面来证,在任一点x∈[0,1,当x→x0时,y→0. 对v>0,取k=日1,设在上,分母不超过k的有理数为n,n2…,n limits1sisilr-rol,则当0<|x-xo|<5,即xg{r1,r2,…,rn},也就是x或者为无理数,或者为有 理数2,且q≥k+1>k时,就有y-0|= x为有理数=2q>k x为无理数 故limy=0,于是得:任何无理点都是此函数的连续点,任何有理点都是此函数的可移不连续点 (10)因limy=-1, 1,故x=-1为第一类不连续点 (1)因1m+0y=0,m0y=2,故x=-1为第一类不连续点 (12)(i)xo≠n,n∈Z, 取有理点列rn→r0且rn>x0,则lim.f(rn)=sinπxo≠0 取无理点列xn→xo且xn>x0,则lim.f(xn)=0 故f(xo+0)不存在,从而x≠n(n∈Z)为函数的第二类不连续点 当x为无理数时,|f(x)-f(m)|=0 当x为有理数时,Uf(x)-f(n)≤x-n,对ve>0,36=5>0,使x-n<6时,有(x) ∫(n川<ε,故f(x)在x=n(n∈Z)连续. 15.当x=0时下列函数f(x)无定义,试定义f(O)的数值,使f(x)在x=0连续 (1)(a)=1+x-1 tan 2r (2)f(x)= (3)f(a)=sin r sin (4)f(x)=(1+x) ()因1J()=1+x=1=1 (1+x)2+Ⅵ1+x+13 √1+x+1 (2)因in∫(x)= lim tan2x=2, 故f(0)=2 (3)因limf(x) slnx·sln 故f(0)=0. (4)B lim f(e)= lim(1+r)i=e, 故f() 16.若r(2)在[n连续,a<x1<n<…<xn<b,则在P1,x中必有,使f()=(z)+f(2)++f(n 证明:设M=maxf(xi),m=minf(x) 则f(z1)+fx2)+…+/f(xn 同理得(x1)+f(2)+ 由于(x)在1,xC,上连续,故由介值定理知,必∈[,xc[,,使()=an)+f(a2)++/(an) 17.用一致连续定义验证:
38 oÉß©1ÿáLkknÍáÍl 6 2 + 1 + 2 + 3 + · · · + (k − 1) = k(k − 1) 2 + 2ß=©1ÿáLkk nÍêkkÅá" e°5yß3?ò:x0 ∈ [0, 1]ßx → x0ûßy → 0. È∀ε > 0ßk = 1 ε ß3[0, 1]˛ß©1ÿáLkknÍèr1, r2, · · · , rl. δ = min limits16i6l|ri − x0 |ßK0 < |x − x0 | < δß=x /∈ {r1, r2, · · · , rn}ßè“¥x½ˆèÃnÍß½ˆèk nÍ p q ßÖq > k + 1 > kûß“k|y − 0| = 1 q 6 1 k + 1 , xèknÍx = p q , q > k 0 < ε, xèÃnÍ . limx→x0 y = 0 ßu¥µ?¤Ãn:—¥dºÍÎY:ß?¤kn:—¥dºÍå£ÿÎY:. (10) œ lim x→−1+0 y = −1, lim x→−1−0 y = 1ßx = −1è1òaÿÎY:. (11) œ lim x→−1+0 y = 0, lim x→−1−0 y = 2ßx = −1è1òaÿÎY:. (12) (i) x0 6= n, n ∈ Zß kn:rn → x0Örn > x0ßK lim rn→x0 +0 f(rn) = sin πx0 6= 0¶ Ãn:xn → x0Öxn > x0ßK lim xn→x0 +0 f(xn) = 0" f(x0 + 0)ÿ3ßl x 6= n(n ∈ Z)èºÍ1aÿÎY:. (ii) x0 = n, n ∈ Zß xèÃnÍûß|f(x) − f(n)| = 0¶ xèknÍûß|f(x) − f(n)| 6 π|x − n|ßÈ∀ε > 0, ∃δ = ε π > 0߶|x − n| < δûßk|f(x) − f(n)| < εßf(x)3x = n(n ∈ Z)ÎY. 15. x = 0ûeºÍf(x)ý¬ß£½¬f(0)Íä߶f(x)3x = 0ÎYµ (1) f(x) = √ 1 + x − 1 √3 1 + x − 1 (2) f(x) = tan 2x x (3) f(x) = sin x · sin 1 x (4) f(x) = (1 + x) 1 x )µ (1) œlimx→0 f(x) = limx→0 √ 1 + x − 1 √3 1 + x − 1 = limx→0 p3 (1 + x) 2 + √3 1 + x + 1 √ 1 + x + 1 = 3 2 ß f(0) = 3 2 . (2) œlimx→0 f(x) = limx→0 tan 2x x = 2ß f(0) = 2. (3) œlimx→0 f(x) = limx→0 sin x · sin 1 x = 0ß f(0) = 0. (4) œlimx→0 f(x) = limx→0 (1 + x) 1 x = eß f(0) = e. 16. ef(x)3[a, b]ÎYßa < x1 < x2 < · · · < xn < bßK3[x1, xn]•7kξ߶f(ξ) = f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) n . y²µM = max 16i6n f(xi), m = min 16i6n f(xi) K f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) n 6 M¶ ”n f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) n > m. duf(x)3[x1, xn] ⊂ [a, b]˛ÎYßd0ä½nß7∃ξ ∈ [x1, xn] ⊂ [a, b]߶f(ξ) = f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) n . 17. ^òóÎY½¬yµ
(1)f(x)=在0,1上是一致连续的 (2)∫(x)=sinx在(-∞,+∞)上是一致连续的; (3)∫(x)=sinx2在(-∞,+∞)上不一致连续 证明 (1)对任何x1,x2∈10,1,|1-a2|= rf+V2122+vx2 4(V2i+Vr2)2+4(V2i-Vr2)2 即-m≤1-x2,亦即vzi-vm2≤v4p-z2 E3 对ve>0.35=4>0,使得对v,2∈回,,当1-x21<6时,总有-≤1-2< 从而f(x)=x在0,1]上是一致连续的 2)对任何x,2∈(,十x,1mn-sm动=2 x1-x2|, 对ve>0.,35=E>0,使得对vx1,x2∈(-∞,+∞),当|r1-x2<6时,总有sinr1-sinx2|≤ x1-x2|<e 从而f(x)=sinx在(-∞,+∞)上是一致连续的 (3)取o=1,对任何6>0,取xn=√2n+,xn=√2m丌-,n-x=|2mx+-√2m丌-到= →0mn→∞) n+5+ 故当n充分大时,一定有 但sin(xn)2-sin2(xn)2|=|1-(-1)=2>1=c0 从而f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上不一致连续
39 (1) f(x) = √3 x3[0, 1]˛¥òóÎY¶ (2) f(x) = sin x3(−∞, +∞)˛¥òóÎY¶ (3) f(x) = sin x 23(−∞, +∞)˛ÿòóÎY. y²µ (1) È?¤x1, x2 ∈ [0, 1]ß| √3 x1 − √3 x2| = |x1 − x2| p3 x 2 1 + √3 x1x2 + p3 x 2 2 = |x1 − x2| 3 4 ( √3 x1 + √3 x2) 2 + 1 4 ( √3 x1 − √3 x2) 2 6 |x1 − x2| 1 4 ( √3 x1 − √3 x2) 2 ß = 1 4 | √3 x1 − √3 x2| 3 6 |x1 − x2|ß½=| √3 x1 − √3 x2| 6 p3 4|x1 − x2| È∀ε > 0, ∃δ = ε 3 4 > 0߶È∀x1, x2 ∈ [0, 1]ß|x1−x2| < δûßok| √3 x1− √3 x2| 6 p3 4|x1 − x2| < ε l f(x) = √3 x3[0, 1]˛¥òóÎY. (2) È?¤x1, x2 ∈ (−∞, +∞)ß| sin x1 − sin x2| = 2 cos x1 + x2 2 sin x1 − x2 2 6 2 x1 − x2 2 = |x1 − x2|ß È∀ε > 0, ∃δ = ε > 0߶È∀x1, x2 ∈ (−∞, +∞)ß|x1 − x2| < δûßok| sin x1 − sin x2| 6 |x1 − x2| < ε l f(x) = sin x3(−∞, +∞)˛¥òóÎY. (3) ε0 = 1ßÈ?¤δ > 0ßx 0 n = p 2nπ + π 2 , x00 n = p 2nπ − π 2 ß|x 0 n−x 00 n| = | p 2nπ + π 2 − p 2nπ − π 2 | = π p 2nπ + π 2 + p 2nπ − π 2 → 0(n → ∞) nø©åûßò½k|x 0 n − x 00 n| < δß | sin(x 0 n) 2 − sin2 (x 00 n) 2 | = |1 − (−1)| = 2 > 1 = ε0 l f(x) = sin x 23(−∞, +∞)˛ÿòóÎY.
84.无穷小量和无穷大量的阶 1.求下列无穷小量当x→0时的阶和主要部分: (1)x3+x° (2)4x2+6x3-x5 (3)√x·sinx (4) (6) tan r - a (7)ln(1+x) 1由于出二士地(+2,数它是一个阶无穷小量,它的主要部分为式 (2)由子加又x2+6x3-x5 3 lim(1+or )=1,故它是一个2阶无穷小量,它的主要部分为4x ()于1mVs9=lmyx=1,故它是一个阶无穷小量,它的主要部分为 (4)由于my2+近 09= limit+1=1,故它是一个阶无穷小量,它的主要部分为9 (5)由于lim √①+x-√1-x x(+2 +√1- 1,故它是一个1阶无穷小量,它的主要部分 由于m1anx出x=lim2如mnx出mx=1m2(1-c0≠四x2=1,故它是一个3阶无穷 小量,它的主要部分为x (7)由于imh(1+x)=1,故它是一个阶无穷小量,它的主要部分为x 2.当x→∞时,求下列变量的阶和主要部分: (1)x2+x° (2)4x2+6x4-x5 ()y1+√1+ ()x-3x+1 (1)由于lm工+=1,故它是一个6阶无穷大量,它的主要部分为x5 2)由于lim x4-x5 1,故它是一个5阶无穷大量,它的主要部分为-x5 )由于m邮多=回近=1,故它是一个阶无穷大量,它的主要部分为 1+√/1+ (4)由于lim 1 (x)+y(x/+1=1,故它是一个阶无穷大量,它的主要 部分为x
40 §4. ð˛⁄Ã°å˛ 1. ¶eð˛x → 0û ⁄Ãá‹©µ (1) x 3 + x 6 (2) 4x 2 + 6x 3 − x 5 (3) √ x · sin x (4) p x2 + √3 x (5) √ 1 + x − √ 1 − x (6) tan x − sin x (7) ln(1 + x) )µ (1) dulimx→0 x 3 + x 6 x3 = limx→0 (1 + x 3 ) = 1ßߥòá3 ð˛ßßÃá‹©èx 3 . (2) dulimx→0 4x 2 + 6x 3 − x 5 4x2 = limx→0 (1 + 3 2 x − x 3 4 ) = 1ßߥòá2 ð˛ßßÃá‹©è4x 2 . (3) dulimx→0 √ x · sin x |x| = limx→0 r sin x x = 1ßߥòá1 ð˛ßßÃá‹©è|x|. (4) dulimx→0 p x2 + √3 x √6 x = limx→0 q x 5 3 + 1 = 1ßߥòá 1 6 ð˛ßßÃá‹©è √6 x. (5) dulimx→0 √ 1 + x − √ 1 − x x = limx→0 2x x( √ 1 + x + √ 1 − x) = 1ßߥòá1 ð˛ßßÃá‹© èx. (6) dulimx→0 tan x − sin x x 3 2 = limx→0 2 tan x − sin x x3 = limx→0 2(1 − cos x) cos x · x2 = limx→0 x 2 x2 = 1ßߥòá3 ð ˛ßßÃá‹©è x 3 2 . (7) dulimx→0 ln(1 + x) x = 1ßߥòá1 ð˛ßßÃá‹©èx. 2. x → ∞û߶eC˛ ⁄Ãá‹©µ (1) x 2 + x 6 (2) 4x 2 + 6x 4 − x 5 (3) 3 r x2 sin 1 x (4) q 1 + p 1 + √ x (5) 2x 5 x3 − 3x + 1 )µ (1) du limx→∞ x 2 + x 6 x6 = 1ßߥòá6 ðå˛ßßÃá‹©èx 6 . (2) du limx→∞ 4x 2 + 6x 4 − x 5 −x5 = 1ßߥòá5 ðå˛ßßÃá‹©è−x 5 . (3) du limx→∞ 3 r x2 sin 1 x √3 x = limx→∞ √3 x √3 x = 1ßߥòá 1 3 ðå˛ßßÃá‹©è √3 x. (4) du limx→∞ q 1 + p 1 + √ x √8 x = limx→∞ vuut 1 x 1 4 + s 1 x 1 2 + 1 = 1ßߥòá 1 8 ðå˛ßßÃá ‹©è √8 x.