复旦大学：《数学分析》经典教材的课后习题答案

(3)由于a>1,k为正整数,故x2、t70,则{xn}有下界。又+= m→∞)<1,故N∈2+,当n>N时,有型+<1,则从N+1项开始都有xn+1<xn,于 是{xn}为单调减少的(n>N),从而{xn}存在极。n (4)由于nrn=lna=yn,0<a<1,故{yn}是单调增加的,从而由xn=va=ew得{xn}是单调增加 的。又0<xn=vG<Y=1,故{xn}有界,于是{xn}存在极限 15.证明:若xn上升,y下降,而xn-ym为无穷小量,则xn和ym必有同一极限。 证明:由xn上升,故x1≤x2≤…≤xn≤…,又m下降,故≥y2≥…≥yn≥…,又xn-yn为无穷 小量,故{xn-n}有界,设xn-yn≤C(n=1,2,……)(其中C为某常数),则-C≤xn m≤C即xn≤ n+C≤y+C,于是{xn}有上界,从而{xn}存在极限。又孙n≥xn-C≥x1-C,于是{yn}有下界,从 而{vn}存在极限,则inzn-limn=nim(xn-yn)=0,于是 lin Tn= lim yn 16.设x为任意给定的实数,又设yn(x)= sinsin…sinx,证明{yn(x)}的极限存在,并求此极限 证明:先设0≤x≤丌,则0≤sinx≤x,从而有yn+1(x)= sIn yn(x)≤yn(x),故{yn(x)}是以0为下界的单 调下降函数列,必有极限,则得对v∈n,有0≤=mn(0)=sm(m=1(a)=smo, 则ao=0,从而对vr∈[0.,r], lim yn(x)=0. 同理可证当x∈[-丌,时亦有 lim yn(x)=0. 再由周期性可知imyn(x) 7.若imxn=a,试证:im21+x2+…+x+n=a 证明:由mx=a,得对v>03N1∈z+,当m>M时,有na<,则有+2“+ (x1-a)+(x2-a)+…+(xn-a)|x1-a+|x2-al+…+|xN1-al+|rN1+1-a+…+|xn-a 1-d+|2-叫+…+|-+n-N1.< x1-a+|x2-a|+…+|xN1-a 取M=max(|x1-a,x2-al,……,|xn1-d|), 则2-=4+2=+…+M=叫MAM 又N1·M为 N1·M ), 于是对上述>0N2=2NM∈z+,当n>N2时,有 x1-a+|x2-a+…+|xN1 取N=max(M1,N),则当n>N时,有+2++xn 即有im 1+x2+…+x+n 注:若limx1+x2+…+xn=an之存在。 例:xn=(-1)-1(n=1,2…),则显然m马+2t“+a=0,但imxn不存在 18.证明:若lman=a, lin bn=b,则lm21bn+a2bn-1+…+a=ab 证明 (1)设a=0,去证m21bn+a2bn-1+…+ab=0 由 lim bn=b,则据定理4(P3s),得丑M>0,使|bn|≤M(n∈Z+) 由man=0,则对v>03N∈z+,当n>M时,有a5取N=max{2a+…+|aDM1+1M} 于是当n>≥N(≥M)时,有1+mm=1+“+anb|=|bn+ab=1+…+aNhn-M+1+aN+bn-1+…+anb aibn + abn

21 (3) dua > 1, kèÍßxn = n k a n > 0ßK{xn}ke."q xn+1 xn =  1 + 1 n k a = 1 a  1 + 1 n k → 1 a (n → ∞) < 1ß∃N ∈ Z +ßn > Nûßk xn+1 xn < 1ßKlN + 1ëm©—kxn+1 < xnßu ¥{xn}è¸N~(n > N)ßl {xn}34Å" (4) duln xn = 1 n ln a = yn, 0 < a < 1ß{yn}¥¸NO\ßl dxn = √n a = e yn{xn}¥¸NO\ "q0 < xn = √n a < √n 1 = 1ß{xn}k.ßu¥{xn}34Å" 15. y²µexn˛,ßyne¸ß xn − ynèð˛ßKxn⁄yn7k”ò4Å" y²µdxn˛,ßx1 6 x2 6 · · · 6 xn 6 · · · ßqyne¸ßy1 > y2 > · · · > yn > · · · ßqxn − ynèð ˛ß{xn − yn}k.ß|xn − yn| 6 C(n = 1, 2, · · ·)£Ÿ•Cè,~ͧßK−C 6 xn − yn 6 C=xn 6 yn + C 6 y1 + Cßu¥{xn}k˛.ßl {xn}34Å"qyn > xn − C > x1 − Cßu¥{yn}ke.ßl {yn}34ÅßK limn→∞ xn − limn→∞ yn = limn→∞ (xn − yn) = 0ßu¥ limn→∞ xn = limn→∞ yn. 16. xè?øâ½¢Íßqyn(x) = sin sin · · · sin | {z } n xßy²{yn(x)}4Å3ßø¶d4Å. y²µk0 6 x 6 πßK0 6 sin x 6 xßl kyn+1(x) = sin yn(x) 6 yn(x)ß{yn(x)}¥±0èe.¸ Ne¸ºÍß7k4ÅßKÈ∀x0 ∈ [0, π]ßk0 6 u0 = limn→∞ yn(x0) = sin  limn→∞ fn−1(x0)  = sin u0ß Ku0 = 0ßl È∀x ∈ [0, π], limn→∞ yn(x) = 0. ”nåyx ∈ [−π, 0]û½k limn→∞ yn(x) = 0. 2d±œ5å limn→∞ yn(x) = 0 17. e limn→∞ xn = aߣyµ limn→∞ x1 + x2 + · · · + x + n n = a y²µd limn→∞ xn = aßÈ∀ε > 0, ∃N1 ∈ Z +ßn > N1ûßk|xn−a| < ε 2 ßKk    x1 + x2 + · · · + xn n − a    =     (x1 − a) + (x2 − a) + · · · + (xn − a) n     6 |x1 − a| + |x2 − a| + · · · + |xN1 − a| + |xN1+1 − a| + · · · + |xn − a| n < |x1 − a| + |x2 − a| + · · · + |xN1 − a| n + n − N1 n · ε 2 < |x1 − a| + |x2 − a| + · · · + |xN1 − a| n + ε 2 (∵ n − N1 n < 1) M = max(|x1−a|, |x2−a|, · · · , |xn1 −a|)ßK |x1 − a| + |x2 − a| + · · · + |xN1 − a| n 6 N1 · M n ßqN1 ·Mè ½äßK N1 · M n → 0(n → ∞)ß u¥È˛„ε > 0, ∃N2 =  2N1 · M ε  ∈ Z +ßn > N2ûßk |x1 − a| + |x2 − a| + · · · + |xN1 − a| n < ε 2 N = max(N1, N2)ßKn > Nûßk    x1 + x2 + · · · + xn n − a    < ε 2 + ε 2 = εß =k limn→∞ x1 + x2 + · · · + x + n n = a 5µe limn→∞ x1 + x2 + · · · + xn n = a ; limn→∞ xn3" ~µxn = (−1)n−1 (n = 1, 2, · · ·)ßKw, limn→∞ x1 + x2 + · · · + xn n = 0ß limn→∞ xnÿ3" 18. y²µe limn→∞ an = a, limn→∞ bn = bßK limn→∞ a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n = ab y²µ (1) a = 0ßy limn→∞ a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n = 0 d limn→∞ bn = bßK‚½n4(P38)ß∃M > 0߶|bn| 6 M(n ∈ Z +) d limn→∞ an = 0ßKÈ∀ε > 0, ∃N1 ∈ Z +ßn > N1ûßk|an| < ε 2M .N = max 2(|a1| + · · · + |an|)M ε  + 1, N1  ß u¥n > N(> N1)ûßk     a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n     =     a1bn + a2bn−1 + · · · + aN1 bn−N1+1 + aN1+1bn−N1 + · · · + anb1 n     6     a1bn + a2bn−1 + · · · + aN1 bn−N1+1 n     +     aN1+1bn−N1 + · · · + anb1 n     6 (|a1| + · · · + |aN1 |)M n + (n − N1) · ε 2M · M n <

号+=从而+n+“+ (2)当a≠0,b≠0时,由lmbn=b,得lim bn+bn-1+…+b1 b≠0,又lman=a,故lim(an 由(1)知lin(a1-a)hn+……+(an-a)b=0, +…+(an-a) 于是 b1 即-bn+…+b1n 从而lim a1b n+“+△=(“元+“+c,,++ +b 19.按定义证明下列数列为无穷大量 (1)√h (2)n! (4)+1 2n+1 (6)1+ 证明 (1)对vG>0,要使vm>G,只要n>G2即可取N=【G],则当n>N时,l√>G总成立 (2)对vG>0,由于ml>n,要使lnl>G,只要n>G即可.取N≡园,则当n>N时,lrl!>G总成 ,故{n!}是无穷大量 (3)对vG>0,要使n>G,只要n>e即可取N=[e,则当n>N时,|lmn|>G总成立 故{n}是无穷大量。 (4)对vG>0,由于 i>3n=n,1n2+11>G,只要>G即可取N=BC,则当n> N时, 2n+1/>G总成 }是无穷大量。 ()对vG>0,由于x2+1|x2 2n-12n=2,要使x2+y7O,只要>G即可取N=P2G,则当n> N时 >G总成立,故{2+1}是无穷大量 xNG>0.由于(+)=41(+)单调增如,则(1+) <e,于是ln(1+ 从而1 (n+1)>ln,则要使1+ G,只要n>C即可取N=[e?],则当n>N时,1+++…+>G总成立,故{1++ 3+…+n}是无穷大量。 20.证明:若{xn}是无穷小量,xn≠0(mn=1,2,3,…), 1 是无穷大量 证明:由于{xn}是无穷小量,故对ve>0,N∈Z+,当n>N时,有xn|<E

22 ε 2 + ε 2 = εßl limn→∞ a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n = 0 (2) a 6= 0, b 6= 0ûßd limn→∞ bn = bß limn→∞ bn + bn−1 + · · · + b1 n = b 6= 0ßq limn→∞ an = aß limn→∞ (an− a) = 0 d(1) limn→∞ (a1 − a)bn + · · · + (an − a)b1 n = 0ß u¥ limn→∞   a1 · bn n + · · · + an · b1 n bn + · · · + b1 n − a   = limn→∞ (a1 − a) · bn n + · · · + (an − a) · bn n bn + · · · + b1 n = 0 b = 0ß = limn→∞ a1 · bn n + · · · + an · b1 n bn + · · · + b1 n = aß l limn→∞ a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n = limn→∞   a1 · bn n + · · · + an · b1 n bn + · · · + b1 n · bn + · · · + b1 n   = ab 19. U½¬y²eÍèÃ°å˛µ (1) √ n (2) n! (3) ln n (4) n 2 + 1 2n + 1 (5) n 2 + 1 2n − 1 (6) 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n y²µ (1) È∀G > 0ßá¶| √ n| > Gßêán > G2=å.N = [G 2 ]ßKn > Nûß| √ n| > Go§·ß { √ n}¥Ã°å˛" (2) È∀G > 0ßdu|n!| > nßá¶|n!| > Gßêán > G=å.N = [G]ßKn > Nûß|n!| > Go§ ·ß{n!}¥Ã°å˛" (3) È∀G > 0ßá¶| ln n| > Gßêán > eG=å.N = [e G]ßKn > Nûß| ln n| > Go§·ß {ln n}¥Ã°å˛" (4) È∀G > 0ßdu     n 2 + 1 2n + 1     > n 2 3n = n 3 ßᶠ    n 2 + 1 2n + 1     > Gßêá n 3 > G=å.N = [3G]ßKn > Nûß     n 2 + 1 2n + 1     > Go§·ß{ n 2 + 1 2n + 1 }¥Ã°å˛" (5) È∀G > 0ßdu     n 2 + 1 2n − 1     > n 2 2n = n 2 ßᶠ    n 2 + 1 2n − 1     > Gßêá n 2 > G=å.N = [2G]ßKn > Nûß     n 2 + 1 2n − 1     > Go§·ß{ n 2 + 1 2n − 1 }¥Ã°å˛" (6) È∀G > 0ßdu limn→∞  1 + 1 n n = eÖ  1 + 1 n n ¸NO\ßK  1 + 1 n n < eßu¥ln  1 + 1 n  < 1 n ßl 1+1 2 + 1 3 +· · ·+ 1 n > ln 2+ln 3 2 +· · ·+ln  1 + 1 n  = ln(n+1) > ln nßKᶠ    1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n     > Gßêáln n > G=å.N = [e G]ßKn > Nûß     1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n     > Go§·ß{1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n }¥Ã°å˛" 20. y²µe{xn}¥Ã°˛ßxn 6= 0(n = 1, 2, 3, · · ·)ßK  1 xn  ¥Ã°å˛" y²µdu{xn}¥Ã°˛ßÈ∀ε > 0, ∃N ∈ Z +ßn > Nûßk|xn| < ε

又xn≠0n=,2,3,…),故存在且>1 又是任意的,故也是任意的,从而}是无穷大量 21.证明:若{xn}为无穷大量,{yn}为有界变量,则{xn±yn}为无穷大量 并由此计算下列极限 (1)lim (sinn+ (2)lim(n-arctan n) 1 (3)nimn+(-1)( (2n-1)(2n+1) 又:两个无穷大量和的极限怎样?试讨论各种可能情形。 i)证明:由于{vn}为有界变量,故必存在正数M,使lyn|≤M,又{xn}为无穷大量,故对vG>M> 0,N∈2+,当n>N时,有xn|>G,则当n>N时,有xn±y|≥|xn|-n|>G-M.由G的任意性 及G>M>0,可知G-M>0且G-M是任意的,从而{xn±yn}为无穷大量 i)解 (1)由于m~n2 十=∞且m≤1 则 (2)由于limn=∞且 arctan 7≤,则im(n- arctan)=∞ (3)设xn=(-1) 1.33.5 (2n-1)(2n+ 1)/,则xn=(=1y 2n+ (-1)n ,故有<|n<方又由limn=∞,从而 (2n-1)(2n+1) i)解 (1)xn=n→+∞,yn=2n→+∞;xn+mh=3n→+∞ (2)xn=-n→-∞,yn=-2n (3)xn=-n→-∞,yn=2n→+∞;rn+vn=n→+∞ (4)xn=n→+∞,n=-2n→-0;rn+y n→- (5)xn=n+a→+∞,yn=-n→-0;xn+yn=a(常量) (6)xn=n+(-1)2→+∞,yn=-n→+∞;xn+yn=(-1)无极限 22.讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形 (1)和、差:因n→0(n→∞),故{vm}有界。又xn→∞(n→∞),则由上题结论,有{xn±yn}为无穷 大量 (2)商:当xn≠0,如m≠0时,由于xn→∞,如0(m-→∞0,则有m:1一0,即 23.举例说明无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的种种情形 (1)n=n→+x,ms1,0(n→∞);xnyn=→0(n→∞) (2)xn=n2→+x,3m=1一0m→∞);xn,n=n→+x(n→∞) 3)xn=n→+,n=n→0(0-∞)xn=a(常量) (4)xn=n(-1)"→∞,n=2→0(n→∞);xn·y=(-1)"无极限但有界 ()zn=n2n(1)→∞,m=n→0n→∞)xnn=n:n(1)=n2+)无极限,无界(且不是无 穷大量)

23 qxn 6= 0(n = 1, 2, 3, · · ·)ß 1 xn 3Ö     1 xn     > 1 ε qε¥?øß 1 ε è¥?øßl  1 xn  ¥Ã°å˛" 21. y²µe{xn}èðå˛ß{yn}èk.C˛ßK{xn ± yn}èðå˛" øddOée4ŵ (1) limn→∞  sin n + n 2 √ n2 + 1 (2) limn→∞ (n − arctan n) (3) limn→∞  n + (−1)n  1 1 · 3 + 1 3 · 5 + · · · + 1 (2n − 1)(2n + 1) qµ¸áðå˛⁄4ÅNº£?ÿà´åUú/" i)y²µdu{yn}èk.C˛ß73ÍM߶|yn| 6 Mßq{xn}èðå˛ßÈ∀G > M > 0, ∃N ∈ Z +ßn > Nûßk|xn| > GßKn > Nûßk|xn ± yn| > |xn| − |yn| > G − M.dG?ø5 9G > M > 0ßåG − M > 0ÖG − M¥?øßl {xn ± yn}èðå˛" ii))µ (1) du limn→∞ n 2 √ n2 + 1 = ∞Ö| sin n| 6 1ßK limn→∞  sin n + n 2 √ n2 + 1 = ∞ (2) du limn→∞ n = ∞Ö| arctan n| 6 π 2 ßK limn→∞ (n − arctan n) = ∞ (3) xn = (−1)n  1 1 · 3 + 1 3 · 5 + · · · + 1 (2n − 1)(2n + 1) ßKxn = (−1)n 2  1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + · · · + 1 2n − 1 − 1 2n + 1 = (−1)n 2  1 − 1 2n + 1 = (−1)n 2 · 2n 2n + 1 = (−1)n 2 + 1 n ßk 1 3 < |xn| < 1 2 .qd limn→∞ n = ∞ßl limn→∞  n + (−1)n  1 1 · 3 + 1 3 · 5 + · · · + 1 (2n − 1)(2n + 1) = ∞ iii))µ (1) xn = n → +∞, yn = 2n → +∞; xn + yn = 3n → +∞ (2) xn = −n → −∞, yn = −2n → −∞; xn + yn = −3n → −∞ (3) xn = −n → −∞, yn = 2n → +∞; xn + yn = n → +∞ (4) xn = n → +∞, yn = −2n → −∞; xn + yn = −n → −∞ (5) xn = n + a → +∞, yn = −n → −∞; xn + yn = a£~˛§ (6) xn = n + (−1)n → +∞, yn = −n → +∞; xn + yn = (−1)nÃ4Å 22. ?ÿðå˛⁄ð˛⁄!!˚4Åú/" )µ (1) ⁄!µœyn → 0(n → ∞)ß{yn}k."qxn → ∞(n → ∞)ßKd˛K(ÿßk{xn ± yn}èð å˛" (2) ˚µxn 6= 0, yn 6= 0ûßduxn → ∞, yn → 0(n → ∞)ßKkyn · 1 xn → 0ß= yn xn → 0, xn yn → ∞ 23. fi~`²Ã°å˛⁄ð˛¶»åUu)´´ú/" )µ (1) xn = n → +∞, yn = 1 n2 → 0(n → ∞); xn · yn = 1 n → 0(n → ∞) (2) xn = n 2 → +∞, yn = 1 n → 0(n → ∞); xn · yn = n → +∞(n → ∞) (3) xn = n → +∞, yn = a n → 0(n → ∞); xn · yn = a£~˛§ (4) xn = n(−1)n → ∞, yn = 1 n → 0(n → ∞); xn · yn = (−1)nÃ4Åk. (5) xn = n 2n (−1)n → ∞, yn = 1 n → 0(n → ∞); xn · yn = n · n(−1)n = n 1+(−1)n Ã4ÅßÃ.£Öÿ¥Ã °å˛§

4.若xn→∞,vn→a≠0,证明 证明:由于xn→∞(n→∞),故一0(n→∞):又→a≠0m→∞0,故1一1(n→∞x),于 证明xnyn 证明:因xn→+∞,则又 0,丑N1∈Z+,当n>N1时,有xn>G1:又孙n→-∞,则对vG2> ,N2∈Z+,当n>N2时 >G2>0.取N=max(N1,N2),则当n>N时,有-xnyn>G1G2, 即 Enyn<-G1G2由G1,G2 得G1G2是任意的且G1G2>0,则得xnyn→-∞ 证明:因xn→+∞,则对vG>0,3N1∈z+,当n>M时,有xn>3G,于是21+x2+“+x G 取M=max(1l…xD,则+型≤+…+当≤:M ,于是对上述G>0, 2N;:M 取N2= 则当n>N时,有1+…+N<5从十x7又m力-M G 1,故对于=,3N3∈Z+,当n>N3时, 从而 2,取N=max{N,N,Ns} 则当n>N时,有“+>-5+3=C,由此知+2“ +∞(n→∞)

24 24. exn → ∞, yn → a 6= 0ßy²xnyn → ∞ y²µduxn → ∞(n → ∞)ß 1 xn → 0(n → ∞)¶qyn → a 6= 0(n → ∞)ß 1 yn → 1 a (n → ∞)ßu ¥ 1 xn · 1 yn → 0(n → ∞)ßl xnyn → ∞(n → ∞) 25. exn → +∞, yn → −∞ßy²xnyn → −∞. y²µœxn → +∞ßKÈ∀G1 > 0, ∃N1 ∈ Z +ßn > N1ûßkxn > G1¶qyn → −∞ßKÈ∀G2 > 0, ∃N2 ∈ Z +ßn > N2ûßk−yn > G2 > 0. N = max(N1, N2)ßKn > Nûßk−xnyn > G1G2ß =xnyn < −G1G2.dG1, G2?ø5ßG1G2¥?øÖG1G2 > 0ßKxnyn → −∞. 26. exn → +∞ßy² x1 + x2 + · · · + xn n → +∞ y²µœxn → +∞ßKÈ∀G > 0, ∃N1 ∈ Z +ßn > N1ûßkxn > 3Gßu¥ x1 + x2 + · · · + xn n = x1 + · · · + xN1 n + xN1+1 + · · · + xn n > x1 + · · · + xN1 n + n − N1 n · 3Gß M = max(|x1|, · · · , |xN1 |)ßK    x1 + · + xN1 n    6 |x1| + · · · + |xN1 | n 6 N1 · M n ßu¥È˛„G > 0ß N2 =  2N1 · M G  ßKn > N2ûßk    x1 + · · · + xN1 n    < G 2 ßl x1 + · · · + xN1 n > − G 2 "q limn→∞ n − N1 n = 1ßÈuε = 1 2 , ∃N3 ∈ Z +ßn > N3ûßk     n − N1 n − 1     < 1 2 ßl n − N1 n > 1 2 ßN = max{N1, N2, N3}ß Kn > Nûßk x1 + x2 + · · · + xn n > − G 2 + 3G 2 = Gßdd x1 + x2 + · · · + xn n → +∞(n → ∞)

§2.函数的极限 1.用分析定义证明 (3)lim x-2)(x-1) (4)m-x-3 0 t(t-1)1 21 (7)x-9=∞ (8)lim 2+x 证明 (1)对ve>0,由于 x+1 r2-9-2-x+3-2-2x+6 因x→-1,不妨设x+1<1,则-2<x< 0.从而2<|2x+<6,于是+<上+,要使3-1 2-9-2<,只要上+∠e即可。 取6=m21)>0.则当0<=(1)≤6时,就们=-<总成立,故=:=5= (2)对ve>0,由于 1 3 因x→3,不妨设x-3<1,则2<x< 4,从而30<16x+18<42,于是 +/-k- x-3 2-9-<,只要上-8<e即 (3)对ve>0,由于 =|a+1-2=|-11 因x→1,不妨设x-11<1 0×x<2,从面1<+1<2+于是+<b=1要=-24 要=1即可,取=m()>0,则当0<-1<时,们=一2<总成 x-1 2 (>0.由(=201=12-4-(+23)(=x-1,不动=1<1,则0< x<2,从而0 <3,于是+28<3-1,.要使 (x-2)(x-1) 要3u=1<即可,取=m{少>0,则增0p=1<时,数(=2=1-4< 成立数回2=2-0 )对>0,由于=1 P-1-2+1212+2/,因t→1,不妨设-1<1,则0<t<2 从而2<2+21<6,于是-11<1-1,要使((=1-1|<,只要上一1<即可 2t+2 2 取6=min2,1}>0,则当0<x-(-1)<,键/(-1)1 1-2<总成立,故四7-1=2

25 §2. ºÍ4Å 1. ^©¤½¬y²µ (1) lim x→−1 x − 3 x2 − 9 = 1 2 (2) limx→3 x − 3 x2 − 9 = 1 6 (3) limx→1 x − 1 √ x − 1 = 2 (4) limx→1 (x − 2)(x − 1) x − 3 = 0 (5) limt→1 t(t − 1) t 2 − 1 = 1 2 (6) limx→∞ x − 1 x + 2 = 1 (7) limx→3 x x2 − 9 = ∞ (8) limx→∞ x 2 + x x + 1 = ∞ y²µ (1) È∀ε > 0ßdu     x − 3 x2 − 9 − 1 2     =     1 x + 3 − 1 2     =     x + 1 2x + 6    ßœx → −1ßÿî|x + 1| < 1ßK−2 < x < 0ßl 2 < |2x + 6| < 6ßu¥     x + 1 2x + 6     < |x + 1| 2 ßᶠ    x − 3 x2 − 9 − 1 2     < εßêá |x + 1| 2 < ε=å" δ = min{2ε, 1} > 0ßK0 < |x − (−1)| < δûß“k     x − 3 x2 − 9 − 1 2     < εo§·ß lim x→−1 x − 3 x2 − 9 = 1 2 (2) È∀ε > 0ßdu     x − 3 x2 − 9 − 1 6     =     1 x + 3 − 1 6     =     x − 3 6x + 18    ßœx → 3ßÿî|x − 3| < 1ßK2 < x < 4ßl 30 < |6x + 18| < 42ßu¥     x − 3 6x + 18     < |x − 3| 30 ßᶠ    x − 3 x2 − 9 − 1 6     < εßêá |x − 3| 30 < ε= å"δ = min{30ε, 1} > 0ßK0 < |x − 3| < δûß“k     x − 3 x2 − 9 − 1 6     < εo§·ßlimx→3 x − 3 x2 − 9 = 1 6 (3) È∀ε > 0ßdu     x − 1 √ x − 1 − 2     = | √ x + 1 − 2| = | √ x − 1| =     x − 1 √ x + 1    ßœx → 1ßÿî|x − 1| < 1ß K0 < x < 2ßl 1 < | √ x + 1| < √ 2 + 1ßu¥     x − 1 √ x + 1     < |x − 1|ßᶠ    x − 1 √ x − 1 − 2     < εßê á|x − 1| < ε=å"δ = min{ε, 1} > 0ßK0 < |x − 1| < δûß“k     x − 1 √ x − 1 − 2     < εo§·ß limx→1 x − 1 √ x − 1 = 2 (4) È∀ε > 0ßdu     (x − 2)(x − 1) x − 3 − 0     =      1 + 1 x − 3  (x − 1)    ßœx → 1ßÿî|x − 1| < 1ßK0 < x < 2ßl 0 <     1 + 1 x − 3     < 2 3 ßu¥     1 + 1 x − 3     < 2 3 |x − 1|ßᶠ    (x − 2)(x − 1) x − 3 − 0     < εßê á 2 3 |x − 1| < ε=å"δ = min  3 2 ε, 1  > 0ßK0 < |x − 1| < δûß“k     (x − 2)(x − 1) x − 3 − 0     < εo §·ßlimx→1 (x − 2)(x − 1) x − 3 = 0 (5) È∀ε > 0ßdu     t(t − 1) t 2 − 1 − 1 2     =     t t + 1 − 1 2     =     t − 1 2t + 2    ßœt → 1ßÿî|t − 1| < 1ßK0 < t < 2ß l 2 < |2t + 2| < 6ßu¥     t − 1 2t + 2     < |t − 1| 2 ßᶠ    t(t − 1) t 2 − 1 − 1 2     < εßêá |t − 1| 2 < ε=å" δ = min{2ε, 1} > 0ßK0 < |x − (−1)| < δûß“k     t(t − 1) t 2 − 1 − 1 2     < εo§·ßlimt→1 t(t − 1) t 2 − 1 = 1 2