闭口薄壁杆件自由扭转问题的网络理论解法* 国凤林钱智炜 上海交通大学工程力学系，上海200240 摘要 本文以普朗特应力函数解法为基础，通过与电路问题比拟，提出了求解复杂截面闭口薄壁杆件 扭转问题的“回路单元法”。本文提出的方法对解决复杂截面闭口薄壁杆件扭转的工程问题有一定的 应用价值。在教学上，可以起到开拓学生思路的作用。 关键词：薄壁杆件，扭转刚度，电学比拟 ABSTRACT Based on the Prandtl Solution,a method for solving torsion of thin-walled rods with complex cross section was proposed,which was termed as "loop element"method.The method presented in this paper is applicable for engineering problems of torsion of thin-walled rods with complex cross section.This method is also of pedagogic significance,which can broaden students'horizon and enable them to gain knowledge of interdisciplinary interaction. KEY WORDS:thin-walled rod,torsional stiffness,electrical analogy 1前言 在弹性理论中，自由扭转问题有两类解法，即采用圣维南扭转函数的位移解法和采用普朗特应 力函数的应力解法，由于位移解法的边界条件比较复杂，故一般在解析求解时多用普朗特应力函数 解法山。对于闭口薄壁杆件的自由扭转，由于杆壁很薄，可以近似地认为应力函数沿厚度方向线性 变化。沿每个孔应用剪力环量公式，形成联立方程租，解此方程租就可求出杆的扭转刚度和截面上 每一段上的剪力的大小和方向。原则上，任何截面的闭口薄壁杆件的自由扭转都可以这样来求解， 但是当截面比较复杂时，比如飞机的机翼结构和船体结构的截面，直接按此方法计算非常繁琐，不 便于用计算机求解，故需要发展适合计算机编程的算法。 事实上，上述解法中根据剪力环量公式列出的方程恰好可与电路理论中有源电路的方程（即基尔 霍夫电压定律)相比拟。剪力对应于电流，长度对应于电阻，剪力环量公式相当于回路电压公式，由 于存在这样的对应关系就为借鉴电路理论中的有关方法来解决复杂截面闭口薄壁杆件自由扭转问题 提供了可能。 在电路分析中，对于比较简单的电路，可以直接应用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律求 解。然而，对于网络结构比较复杂的电路，直接应用基尔霍夫定律就显得很繁琐和不便，特别是如 何便于在计算机上自动地把输入数据转化为所需要的网络方程，这时就需要利用一些网络图论和矩 阵代数的概念来完成这项任务。类似地，对于截面比较复杂的闭口薄壁杆件，存在同样的问题。 在电路分析理论中，网络理论可以很好地解决上述问题。网络理论解法主要包括节点电流法和回路 电压法。对于实际电路，采用节点电流法比较方便，而对于闭口薄壁杆件，采用类似于回路电压法 本文得到上海交通大学PRP项目的资助 -1-
- 1 - 闭口薄壁杆件自由扭转问题的网络理论解法∗ 国凤林 钱智炜 上海交通大学工程力学系，上海 200240 摘要 本文以普朗特应力函数解法为基础，通过与电路问题比拟，提出了求解复杂截面闭口薄壁杆件 扭转问题的“回路单元法”。本文提出的方法对解决复杂截面闭口薄壁杆件扭转的工程问题有一定的 应用价值。在教学上，可以起到开拓学生思路的作用。 关键词：薄壁杆件，扭转刚度，电学比拟 ABSTRACT Based on the Prandtl Solution, a method for solving torsion of thin-walled rods with complex cross section was proposed, which was termed as “loop element” method. The method presented in this paper is applicable for engineering problems of torsion of thin-walled rods with complex cross section. This method is also of pedagogic significance, which can broaden students’ horizon and enable them to gain knowledge of interdisciplinary interaction. KEY WORDS: thin-walled rod, torsional stiffness, electrical analogy 1 前言 在弹性理论中，自由扭转问题有两类解法，即采用圣维南扭转函数的位移解法和采用普朗特应 力函数的应力解法，由于位移解法的边界条件比较复杂，故一般在解析求解时多用普朗特应力函数 解法[1]。对于闭口薄壁杆件的自由扭转，由于杆壁很薄，可以近似地认为应力函数沿厚度方向线性 变化。沿每个孔应用剪力环量公式，形成联立方程租，解此方程租就可求出杆的扭转刚度和截面上 每一段上的剪力的大小和方向。原则上，任何截面的闭口薄壁杆件的自由扭转都可以这样来求解， 但是当截面比较复杂时，比如飞机的机翼结构和船体结构的截面，直接按此方法计算非常繁琐，不 便于用计算机求解，故需要发展适合计算机编程的算法[2]。 事实上，上述解法中根据剪力环量公式列出的方程恰好可与电路理论中有源电路的方程(即基尔 霍夫电压定律)相比拟。剪力对应于电流，长度对应于电阻，剪力环量公式相当于回路电压公式，由 于存在这样的对应关系就为借鉴电路理论中的有关方法来解决复杂截面闭口薄壁杆件自由扭转问题 提供了可能[2]。 在电路分析中，对于比较简单的电路，可以直接应用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律求 解。然而，对于网络结构比较复杂的电路，直接应用基尔霍夫定律就显得很繁琐和不便，特别是如 何便于在计算机上自动地把输入数据转化为所需要的网络方程，这时就需要利用一些网络图论和矩 阵代数的概念来完成这项任务[3]。类似地，对于截面比较复杂的闭口薄壁杆件，存在同样的问题。 在电路分析理论中，网络理论可以很好地解决上述问题。网络理论解法主要包括节点电流法和回路 电压法。对于实际电路，采用节点电流法比较方便，而对于闭口薄壁杆件，采用类似于回路电压法 ∗ 本文得到上海交通大学 PRP 项目的资助
的解法比较方便。 本文以普朗特应力函数解法为基础，借鉴电路分析中回路电压法的思路及有限元法的思想，提 出了求解复杂截面闭口薄壁杆件扭转问题的方法及在计算机实现的步骤，可称之为“回路单元法”。 2回路单元法简介 假设薄壁杆件截面是多联通区域，由若干个孔组成。对第i个孔应用剪力环量公中t,ds=2GA 或④9dk=-2Ga4,其中p为普朗特应力函数，4为L,的面积，a为单位长度的扭角，G为剪 切模量，n为L,的外法向，t,为沿L,切线方向的剪力，p在L,上为常数，即p=C,通常取外边 界上p=0。此处，积分沿曲线L逆时针方向进行。由于杆壁很薄，可以近似地认为？沿杆壁厚度 方向线性变化，例如对图1所示的第1个孔，可列出方程9L+C:CL,+G二CL,=2Ga4。 66 6 对每个孔应用剪力环量公式，列出方程，联立求解，即可解出C(i=1,2,3)。然后，由扭矩 M M=2∑C,A求出扭角，由D=求出扭转刚度D,由z,=- 吧求出各段杆壁上的剪应力。 下面结合图1所示的实例来说明回路单元法的实施步骤。 3 G 6 5 7 8 12V 9 30110Ⅱ 3 D4 图1四孔正方形截面示意图 图2四孔三角形截面示意图 (①)确定回路和支路并编号 如图1所示，每一个孔视为一个回路，给每一回路编号：1,2，…，m,杆壁间的交点为节点， 每两节点之间的部分视为一条支路，每个回路由若干个支路组成，给每一支路编号：①，②，“，n, 一个支路中若壁厚变化，也可划分为多条支路。在本例中，m=4,n=⑧ (2)截面的几何参数 各回路的面积，组成列向量A=(A,A,A,…Am)了，各条支路的长度，L=(亿，L2,L,…Ln)了， -2-
- 2 - 的解法比较方便。 本文以普朗特应力函数解法为基础，借鉴电路分析中回路电压法的思路及有限元法的思想，提 出了求解复杂截面闭口薄壁杆件扭转问题的方法及在计算机实现的步骤，可称之为“回路单元法”。 2 回路单元法简介 假设薄壁杆件截面是多联通区域，由若干个孔组成。对第i 个孔应用剪力环量公 2 i s i L τ ds G A = α v∫ 或 2 i i L ds G A n ϕ α ∂ = − ∂ v∫ ，其中ϕ 为普朗特应力函数，Ai 为 Li 的面积，α 为单位长度的扭角，G 为剪 切模量，n 为 Li 的外法向， s τ 为沿 Li 切线方向的剪力，ϕ 在 Li 上为常数，即 i ϕ L = Ci ，通常取外边 界上ϕ = 0 。此处，积分沿曲线 Li 逆时针方向进行。由于杆壁很薄，可以近似地认为ϕ 沿杆壁厚度 方向线性变化，例如对图 1 所示的第 1 个孔，可列出方程 1 12 14 1 6 51 16 5 2 C CC CC L L L GA α δδ δ − − ++= 。 对每个孔应用剪力环量公式，列出方程，联立求解，即可解出 ( 1,2,3 ) C i i = ⋅ 。然后，由扭矩 1 2 n i i i M C A = = ∑ 求出扭角α ，由 M D Gα = 求出扭转刚度 D ，由 s ϕ τ ∂ = − ∂n 求出各段杆壁上的剪应力。 下面结合图 1 所示的实例来说明回路单元法的实施步骤。 图 1 四孔正方形截面示意图 图 2 四孔三角形截面示意图 (1) 确定回路和支路并编号 如图 1 所示，每一个孔视为一个回路，给每一回路编号：1，2，…，m ，杆壁间的交点为节点， 每两节点之间的部分视为一条支路，每个回路由若干个支路组成，给每一支路编号：①，②，…，n ， 一个支路中若壁厚变化，也可划分为多条支路。在本例中，m = 4， n = ⑧ (2) 截面的几何参数 各回路的面积，组成列向量 123 (, , , )T A = ⋅⋅⋅ AAA Am ，各条支路的长度， 123 (, , , )T L = ⋅⋅⋅ LLL Ln ， I II III IV A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30D 1 2 4 3 ④ ③ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ① ②
各条支路的壁厚，6=(6,2，，…6n)了。 (③)形成关联矩阵R 关联矩阵描述回路与支路的关联性质，从关联矩阵可以看出每个回路由哪几条支路组成，以及 每条支路属于哪几个回路。关联矩阵R=(a)m，下标i表示回路编号，下标j表示支路编号。若 第j支路属于第i回路，则a=1,否则，a=0。对图1所示的截面，关联矩阵为 10001100 01000110 R= (1) 00100011 00011001 (④)计算系数矩阵P 先由已知向量L、6得到向量D=白，上，，)y,然后根据关联矩阵R和向量D,得 到系数矩阵P=(P)mm’P,的确定原则是： 若i=j,则P,等于关联矩阵R的第i行左乘向量D: 若i≠j,则先把关联矩阵R的第i行和第j行按元素相乘形成一个新的行向量，即 (a1a1,a2a2,a,a3,anan）,将此行向量左乘向量D后再乘以-1，即得到元素P,。 (⑤)求解代数方程组 根据剪力环量公式可以列出代数方程组 PC=2GaA 其中，C=(C,C2,C3,…,Cm)。设C=(C,C2,C,…,C)'为方程组PC=2A的解，则 C=GaC。 (⑥)计算扭转刚度D 由以上所得结果，容易求出D=2AC,扭角C 2GAC,第1条支路上的剪应力为 M C,R二CR,其中R,R,为关联矩阵R第i列中两个不为零的元素，如果R中第j列中只有第 δ k个元素不为零，则第条支路上的剪应力为 CB,剪力方向为梯度了0顺时针转90的方向，即， 0增加方向顺时针转90°的方向。 -3
- 3 - 各条支路的壁厚， 123 (, , , )T n δ = ⋅⋅⋅ δ δδ δ 。 (3) 形成关联矩阵 R 关联矩阵描述回路与支路的关联性质，从关联矩阵可以看出每个回路由哪几条支路组成，以及 每条支路属于哪几个回路。关联矩阵 ( )ij m n a R = × ，下标i 表示回路编号，下标 j 表示支路编号。若 第 j 支路属于第i 回路，则 aij = 1，否则， aij = 0 。对图 1 所示的截面，关联矩阵为 10001100 01000110 00100011 00011001 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ R (1) (4) 计算系数矩阵 P 先由已知向量 L 、δ 得到向量 1 2 3 123 (, , , ) n T n L L L L δ δδ δ D = ⋅⋅⋅ ，然后根据关联矩阵 R 和向量 D ，得 到系数矩阵 ( )ij m m p P = × ， ij p 的确定原则是： 若i = j ，则 ij p 等于关联矩阵 R 的第i 行左乘向量 D ； 若 i ≠ j ，则先把关联矩阵 R 的 第 i 行和第 j 行按元素相乘形成一个新的行向量，即 ( ) 11 2 2 3 3 ,,, i j i j i j in jn aa aa aa aa ⋅⋅⋅ ，将此行向量左乘向量 D 后再乘以−1，即得到元素 ij p 。 (5) 求解代数方程组 根据剪力环量公式可以列出代数方程组 PC= A 2Gα 其中， 123 (, , ,, )T C = ⋅⋅⋅ CCC Cm 。 设 *** * 1 23 ( , , ,, )T = ⋅⋅⋅ CCC Cm * C 为方程组 P 2 * C= A 的解，则 * C C = Gα 。 (6) 计算扭转刚度 D 由以上所得结果，容易求出 * 2 T D = A C ，扭角 * 2 T M G α = A C ，第 i 条支路上的剪应力为 r ri s si i CR CR δ − ，其中 , Rri si R 为关联矩阵 R 第i 列中两个不为零的元素，如果 R 中第 j 列中只有第 k 个元素不为零，则第 j 条支路上的剪应力为 k kj j C R δ ，剪力方向为梯度∇ϕ 顺时针转90D 的方向，即， ϕ 增加方向顺时针转90D 的方向
3算例 按上述算法，用任何编程语言或工具很容易编写程序，下面给出两个算例。 (1)如图1所示的有四个正方形孔截面的薄壁杆件的扭转，正方形孔的边长为α，壁厚均为6。回路 和支路按图1所示划分，关联矩阵在(1)式中给出。则有A=(a2,a2,a2,a2)了， L=(2a,2a,2a,2a,a,a,a,a)',8=(6,6,6,6,6,6,66)',用支持符号运算的软件（如 M Maple或Mathematica等)编程计算，可得D=8a6,a= 8Ga'8 (2)如图2所示的三角形截面有四个孔，AB=BC=CD=DE=1m,角∠IAB=30°，AE段的厚 度为0.01m,AF段的厚度为0.015m,其余竖直的各段厚度为0.02m。回路和支路按图2所示划 分，回路面积向量、支路长度向量、厚度向量及关联矩阵如下。 A=543.57L=55.5.5.5.42,22,21,2y 6 3 6=(0.01,0.01,0.01,0.01,0.02,0.015,0.015,0.015,0.015,0.02,0.02,0.02)'(2) 100000001100 010000010110 R= 001000100011 000111000001 M 按上节介绍的算法，编程计算可得：扭转刚度D=0.1189m,单位长度扭角a= 0.1189G° 4结束语 本文以普朗特应力函数解法为基础，借鉴电路分析中回路电压法的思路及有限元法的思想，提 出了求解闭口薄壁杆件扭转问题的“回路单元法”，适用于具有复杂几何截面形状的闭口薄壁杆件的 扭转问题。在扭转理论中，当扭矩为正时，可严格证明普朗特应力函数在孔边的值C,均大于零4， 求解闭口薄壁杆件扭转时，虽然做了p沿板壁线性变化的假设，通过几个算例的结果看，仍有C,>0。 通过本方法的介绍，可使学生开阔思路，认识到各个学科间是互相联系的，可以相互借鉴。同时， 本文提出的方法对解决复杂截面闭口薄壁杆件扭转的工程问题也有应用价值。 参考文献 [1]吴家龙，弹性力学，北京：高等教育出版社，2001 [2]杜庆华，弹性理论，北京：科学出版社，1986. [3]邱关源，现代电路理论，北京：高等教育出版社，2001 [4]王敏中、王炜、武际可，弹性力学教程.北京：北京大学出版社，2002. -4
- 4 - 3 算例 按上述算法，用任何编程语言或工具很容易编写程序，下面给出两个算例。 (1)如图 1 所示的有四个正方形孔截面的薄壁杆件的扭转，正方形孔的边长为 a ，壁厚均为δ 。回路 和 支 路 按 图 1 所 示 划 分 ， 关 联 矩 阵 在 (1) 式 中 给 出 。 则 有 2222 ( , , , )T A = aaaa ， (2 , 2 , 2 , 2 , , , , )T L = a a a aaaaa ， ( , , , , , , , )T δ = δ δδδδδδδ ，用支持符号运算的软件(如 Maple 或 Mathematica 等)编程计算，可得 3 3 8 , 8 M D a Ga δ α δ = = 。 (2)如图 2 所示的三角形截面有四个孔，AB BC CD DE = ===1m，角∠ = IAB 30D ，AE 段的厚 度为0.01m ， AF 段的厚度为0.015m ，其余竖直的各段厚度为0.02m 。回路和支路按图 2 所示划 分，回路面积向量、支路长度向量、厚度向量及关联矩阵如下。 3 3 (1, 3, 5, 7) ( 3, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3) 6 3 (0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.02, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.02, 0.02, 0.02) 100000001100 010000010110 001000100011 0 T T T = = = R = A ,L δ 00111000001 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2) 按上节介绍的算法，编程计算可得：扭转刚度 4 D = 0.1189m ，单位长度扭角 0.1189 M G α = 。 4 结束语 本文以普朗特应力函数解法为基础，借鉴电路分析中回路电压法的思路及有限元法的思想，提 出了求解闭口薄壁杆件扭转问题的“回路单元法”，适用于具有复杂几何截面形状的闭口薄壁杆件的 扭转问题。在扭转理论中，当扭矩为正时，可严格证明普朗特应力函数在孔边的值Ci 均大于零[4]， 求解闭口薄壁杆件扭转时，虽然做了ϕ 沿板壁线性变化的假设，通过几个算例的结果看，仍有 0 Ci > 。 通过本方法的介绍，可使学生开阔思路，认识到各个学科间是互相联系的，可以相互借鉴。同时， 本文提出的方法对解决复杂截面闭口薄壁杆件扭转的工程问题也有应用价值。 参考文献 [1] 吴家龙，弹性力学，北京：高等教育出版社，2001. [2] 杜庆华，弹性理论，北京：科学出版社，1986. [3] 邱关源，现代电路理论，北京：高等教育出版社，2001. [4] 王敏中、王炜、武际可，弹性力学教程．北京：北京大学出版社，2002