第8章平面问题的极坐标解法 直角坐标解法适用于矩形，三角形等边界是直线的形状，对于圆形、扇形，圆环等形状 用极坐标求解比直角坐标方便。极坐标是一般的曲线坐标的一种，曲线坐标和直角坐标的最 大区别是坐标单位向量逐点变化。 8.1极坐标中的基本方程 推导极坐标中弹性力学的基本方程，一种方法是取极坐标中的微元体，分析微元体的平 衡，导出平衡方程；根据应变的几何意义，直接在极坐标中分析变形的情况可导出几何方程。 这种方法优点是比较直观，通俗易懂。关于这种方法可参阅徐芝纶的弹性力学（上册）。缺点 是比较繁琐，不便推广到一般情况，下面介绍另外一种方法。 y 10 图1 △8 。+△ +△ To △0 图2 极坐标和直角坐标的关系：X=r©os日 ,极坐标的坐标单位向量在直角坐标中可以表示 y=rsinθ 为。=cos0i+sin0j,8=-sin 0i+cos0j
1 第 8 章 平面问题的极坐标解法 直角坐标解法适用于矩形，三角形等边界是直线的形状，对于圆形、扇形，圆环等形状 用极坐标求解比直角坐标方便。极坐标是一般的曲线坐标的一种，曲线坐标和直角坐标的最 大区别是坐标单位向量逐点变化。 8.1 极坐标中的基本方程 推导极坐标中弹性力学的基本方程，一种方法是取极坐标中的微元体，分析微元体的平 衡，导出平衡方程；根据应变的几何意义，直接在极坐标中分析变形的情况可导出几何方程。 这种方法优点是比较直观，通俗易懂。关于这种方法可参阅徐芝纶的弹性力学(上册)。缺点 是比较繁琐，不便推广到一般情况，下面介绍另外一种方法。 图 1 图 2 极坐标和直角坐标的关系： cos sin x r y r θ θ = = ，极坐标的坐标单位向量在直角坐标中可以表示 为 0 0 r i+ = =− + cos sin , sin cos θ θ θθ j θ i j 。 x θ y O 0r θ 0 r r 0 0 + Δ θ 0 0 + Δθ Δ 0r Δθ 0 Δθ x θ y O 0 0 r θ
=0,2=(←sin0,cos0)=8 or a0 由极坐标的坐标单位向量的表达式可知： a0=0, 08=←cos0,-sin8)=-6 a0 >几何方程 弹性力学的几何方程为 1 T=。(u7+7u) (8.1) 极坐标中位移可表示为u=,6+ug8，Hamilton算子为 V=60+80 (8.2) 位移的左、右梯度为 + 了u=(or Xu5+u8)-055+58+-A ra0 ror r (8.3) g+4)8,8 +( roe r v-%55+0a6+0-风+%+4)8,8 (8.4) ror r r∂0r 由几何方程(8.1)得到 器急当 8,= r 8e r (8.5) 2 or ro0 r 几何意义：6，，方向长度的相对伸长，。8方向长度的相对伸长，68方向夹角改变 的一半。 >平衡方程 在极坐标中应力张量可表示为T=0,+088+t,e8+t8。 VT=6亦+8Q 0o,65+o88+rw8+rn) (8.6) 空+6+5，+8路%+2 =ro arroer 极坐标中平衡方程为： 0o+0re+g-0+f=0 or roe r (8.7 2xe+。=0 >本构关系 对于各向同性材料极坐标中本构关系和直角坐标中本构关系形式相同， 2
2 由极坐标的坐标单位向量的表达式可知： 0 0 0 0 0 0 0, ( sin ,cos ) 0, ( cos , sin ) r r θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ = =− = ∂ ∂ ∂ ∂ = = − − =− ∂ ∂ r r r θ θ θ 。 ¾ 几何方程 弹性力学的几何方程为 1 ( ) 2 Γ = ∇+∇ u u (8.1) 极坐标中位移可表示为 r 0 0 u u u = + θ r θ ，Hamilton 算子为 0 0 r r θ ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ r θ (8.2) 位移的左、右梯度为 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 ( )( ) ( ) ( ) r r r r u u u u u u r r r r rr r u u r r θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇= + + = + + − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ u r r rr r r θ θ θθ θ θ (8.3) 00 00 0 0 0 0 ( )( ) rr r uu u u uu r r rr r r r θ θθ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇= + + − + + ∂∂ ∂ ∂ u rr r r θ θ θθ (8.4) 由几何方程(8.1)得到 1 1 , , ( ) 2 rr r r r uu u u uu r r r rr r θ θ θ θ θ εε ε θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + = +− ∂ ∂ ∂∂ (8.5) 几何意义： r ε ， 0r 方向长度的相对伸长， θ ε θ 0 方向长度的相对伸长， 0 0 r θ 方向夹角改变 的一半。 ¾ 平衡方程 在极坐标中应力张量可表示为T = σ r rr 00 0 0 0 0 00 + ++ σττ θ θθ rr r r θ θ θθ 。 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 )( ) 2 ( )( ) r rr r rr r r r r rr r rr r θ θθ θ θ θθθ σσ τ τ θ σ τ σσ τ σ τ θ θ ∂ ∂ ∇ + + ++ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂∂ = ++ + ++ ∂∂ ∂∂ i i T=(r rr r r r θ θθ θ θ θ (8.6) 极坐标中平衡方程为： 0 2 0 r r r r r r f rr r f rr r θ θ θθθ θ σ τ σσ θ τ στ θ ⎧∂ ∂ − + + += ⎪⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + += ⎪⎩ ∂ ∂ (8.7) ¾ 本构关系 对于各向同性材料极坐标中本构关系和直角坐标中本构关系形式相同
-EO-E 8, 、1 6二E Vor (8.8) 1+,e Ere E E=E,V=v plane stress 其中 E E=- -4=-v plane strain。 >应变协调方程 7×T×7=0 8.9) 8 0 0 (a0ro )E,+- 、ras)-20c8e)=0 (8.10) r2or or r2 or 80 或从几何方程(8.5)式消去位移u,和u。，也可得到上式。 Laplace算子7在极坐标中的表达式 7.(p)=7p (8.11) V-(Vo)-(roar e+80）=0e+即+0g rae'or2 ror r2e2 (8.12) 所以72= rror00 >应力协调方程 无体力时为V(0+0,)=0,0+0,是不变量，所以0+0，=0，+0g,极坐标中应力 协调方程为72(o,+0g)=0。 >Airy应力函数 由应力张量在坐标变换下的规则，极坐标下应力张量为 cosθ cos0 -sin -sin0 cose八g,八sin0cos9 (8.13) 3
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r E E E E E θ θ θ θ θ ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε τ = − = − + = (8.8) 其中 1 1 1 1 2 , plane stress , plane strain (1 ) 1 E E E E ν ν ν ν ν ν ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ − − 。 ¾ 应变协调方程 ∇× ×∇ = Γ 0 (8.9) 2 2 22 2 2 2 ( ) ( ) ( )0 r r r r r rr r r r r r θ θ ε ε ε θ θ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −+ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ (8.10) 或从几何方程(8.5)式消去位移 r u 和uθ ，也可得到上式。 ¾ Laplace 算子 2 ∇ 在极坐标中的表达式 2 ∇ ∇ =∇ i( ) ϕ ϕ (8.11) 2 2 00 0 0 2 22 ( ) ( )( ) r r r r r rr r ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∇∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ i i r r θ θ (8.12) 所以 2 2 2 2 22 r rr r θ ∂∂∂ ∇= + + ∂∂∂ 。 ¾ 应力协调方程 无体力时为 2 ( )0 ∇ += σ σ x y ，σ x +σ y 是不变量，所以σ xy r +σ σσ = + θ，极坐标中应力 协调方程为 2 ( )0 ∇ += σ σ r θ 。 ¾ Airy 应力函数 由应力张量在坐标变换下的规则，极坐标下应力张量为 cos sin cos sin sin cos sin cos r r x xy r xy y θ θ θ σ τ θ θ θθ σ τ τ σ θ θ θθ τ σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ (8.13)
,=o,cos20+,sin20+Tm sin 20 c0s0 8 asin'g-o -sin 20 Oxoy o=,sin20+cos20-T sin 20 (8.14) ©sin'o+02 8'U. dxcos0+ 8U -sin 20 xo w÷℃ ax)sin0cos0-'U -cos 20 OxOy auau aU sin0 &x ar cos8、 00 r (8.15) aUaU aU cose -sin0+ dy or 00 r d=cos'ooU aU 2sin 20 a'U sin20 oU sin 20 aU sin20 U 0r2 (8.16) r r or r2 80 r2 002 aU =sin208+2sin200+og0-snn228%+os90% 02 r orde r or r2 00r 002 (8.17) ∂2U =sin0cosUcs20 U sincos0 aU Oxoy 3× r ord0 r or (8.18) cos20 aU sin0 cos0 82U r200 2 682 将(8.16)、(8.17)、(8.18)代入(8.14)，最后得到 aU aU 0.= ror r2802 aU 0g= or2 (8.19) T0=- ar ra0 实际上，Aiy应力函数只是应力函数的一种，应力张量可表示为 T=7×(-U)kk×7(k为z方向单位向量)，将极坐标中的Hamilton算子代入，得 T=(+0 g8)x(-U)kx(⊙+aa0。) rae aaU、 ao)er or roe00 r (8.20) aU 28 4
4 2 2 222 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 cos sin sin 2 cos sin sin 2 sin cos sin 2 sin cos sin 2 ( )sin cos cos 2 r x y xy x y xy r UUU y x xy UU U y x xy UU U x y xy θ θ σ σ θσ θτ θ θ θ θ σ σ θσ θτ θ θ θ θ τ θθ θ = ++ ∂∂∂ = +− ∂ ∂ ∂∂ =+ − ∂∂ ∂ =++ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ =− − ∂ ∂ ∂∂ (8.14) sin cos cos sin UU U x r r UU U y r r θ θ θ θ θ θ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ (8.15) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2sin 2 sin sin 2 sin cos U U UUU U x r r r rr r r θ θθθ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ = − +++ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (8.16) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2sin 2 cos sin 2 cos sin U U U UU U y r rr rrr r θ θθθ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ = + +−+ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (8.17) 2 22 2 2 2 22 cos 2 sin cos sin cos cos 2 sin cos U UU U x y r rr r r U U r r θ θθ θ θ θ θ θθ θ θ ∂ ∂∂ ∂ = +− ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ (8.18) 将(8.16)、(8.17)、(8.18)代入(8.14)，最后得到 2 2 2 2 2 ( ) r r U U rr r U r U r r θ θ σ θ σ τ θ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ (8.19) 实际上， Airy 应力函数只是应力函数的一种，应力张量可表示为 T =∇× − ×∇ ( ) U kk ( k 为 z 方向单位向量)，将极坐标中的 Hamilton 算子代入，得 00 00 00 0 0 00 2 2 2 0 0 ( )( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] U rr rr UU U U U rr r r r r r r r U r θ θ θθ θ θ θ ∂∂ ∂∂ = + ×− × + ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ =+ − + − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ T r kk r rr r r θ θ θ θ θ θ (8.20)
由此也可得到(9.19)式。 U满足双调和方程，即 727U=( 2 、 rorg2=0 +,a+2+ (8.21) 8.2轴对称问题的应力和位移 几何形状和载荷都与环向坐标日无关的平面问题称为平面轴对称问题，对轴对称问题可 以假设应力函数只是”的函数，U=U(),代入双调和方程得 rdu +2-3-r22+rC=0 d3 2+r =0 (8.22) dr 这属于欧拉方程，引入变换r=e,t=lnr,可化为常系数微分方程， 4 dU *4 d=0 (8.23) 其通解为 U=At+Bte2 +Ce2+D=Alnr+Br2 Inr+Cr2+D (8.24) 其中A,B,C,D为任意常数。 应力分量为 京+B1+2Inr)+2C 0s、A +B3+2Inr)+2C (8.25) To=0 >位移场 将应力分量代入本构关系得 s=[1+)3+(1-3)B+21-v)B1nr+21-v ,=+%2=-1+w)+3-B+21-w0Bnr+2-wC (8.26) r roe E Ou,Ouo uo=0 ro0 or r 从(8.26)第一式积分得 4=21+4+20-nBm0r-0+-30snr+20-01+f@827 1 式中f()为B任意函数。 J
5 由此也可得到(9.19)式。 U 满足双调和方程，即 2 22 2 2 2 2 22 2 22 U U ( )( ) 0 r rr r r rr r θ θ ∂ ∂∂∂ ∂∂ ∇∇ = + + + + = ∂∂ ∂∂ (8.21) 8.2 轴对称问题的应力和位移 几何形状和载荷都与环向坐标θ 无关的平面问题称为平面轴对称问题，对轴对称问题可 以假设应力函数只是 r 的函数，U Ur = ( ) ，代入双调和方程得 4 32 4 32 4 32 2 0 d U d U d U dU r rrr dr dr dr dr + − += (8.22) 这属于欧拉方程，引入变换 , ln t ret r = = ，可化为常系数微分方程， 432 432 44 0 dU dU dU dt dt dt − + = (8.23) 其通解为 22 2 2 ln ln t t U At Bte Ce D A r Br r Cr D = + + += + + + (8.24) 其中 A,,, BCD 为任意常数。 应力分量为 2 2 (1 2ln ) 2 (3 2ln ) 2 0 r r r A B r C r A B r C r θ σ σ τ ⎧ =+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =− + + + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ (8.25) ¾ 位移场 将应力分量代入本构关系得 2 2 1 [(1 ) (1 3 ) 2(1 ) ln 2(1 ) ] 1 [ (1 ) (3 ) 2(1 ) ln 2(1 ) ] 0 r r r r r u A B Br C rE r u u A B Br C rr E r u u u r rr θ θ θ θ θ ε ν νν ν ε ννν ν θ ε θ ⎧ ∂ = = + +− + − + − ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎨ = + = −+ + − + − + − ∂ ⎪ ⎪ ∂ ∂ = + −= ⎪ ⎩ ∂ ∂ (8.26) 从(8.26)第一式积分得 1 [ (1 ) 2(1 ) (ln 1) (1 3 ) ln 2(1 ) ] ( ) r A u Br r B r Cr f E r = −+ + − − + − + − + ν ν ν νθ (8.27) 式中 f ( ) θ 为θ 任意函数