弹性理论（一）讲义 第一章绪论 1.1弹性理论概述 弹性理论又称弹性力学，是研究载荷作用下弹性体中内受力状况和变形规律的一门科 学。一系列重要的和新兴的力学分支如塑性理论、粘弹性与粘塑性理论、细观力学、复合材 料力学、断裂力学等都是在弹性理论的基础上陆续发展起来的。其特点是结构严谨、逻辑缜 密，经过数百年的发展，现在己成为工程结构分析的基础和工具。历史上，弹性力学曾对其 它学科（地震的研究、地球物理学、光学等）的发展做出过重要的贡献，特别是以太假说和弹 性波的研究对光学和相对论的提出起了很大的推动作用。从弹性力学发展出的计算方法（例 如：有限元法、边界元法等)还广泛应用于其它学科，并成为通用的计算数学方法。 弹性理论以理论力学、材料力学和高等数学等课程为基础，系统地讲述弹性理论的基本 概念、基本原理和处理二维、三维弹性体一般问题的基本方法，为进一步学习塑性理论、连 续介质力学、有限单元法、实验应力分析、板壳理论、复合材料力学、断裂力学等后续课程 打下良好基础。在固体力学专业的课程中，弹性理论是一门承上启下的重要专业基础课，同 时也塑造严谨学风、培养分析问题、解决问题能力的良好素材。 1.2研究对象和任务 弹性理论（力学）是研究弹性体在外界因素（如机械接触力、引力、电磁力、温湿度变 化等)作用下或内力（如引力）作用下其内部变形和应力分布的学科。 弹性：外力撤除后物体恢复原状的性质：弹性体：具有弹性性质的理想固体。 A material is called solid rather than fluid if it can support a substantial shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest.(J.R.Rice 的定义，摘自英国百科全书Encyclopaedia Britannica2OO5 Deluxe Edition) 任务：是建立分析一般三维弹性体变形和应力分布的方法，通过位移、应力、应变等物 理量来描述物体的变形、受力状况，了解物体内部应力、应变的分布规律，最终达到评估结 构安全的目的。 适用尺度：从纳米级一地球、乃至太阳系。 弹性力学的重要性不仅在于为数值计算提供理论基础，更重要的是能提供应力和位移场的理 论解，使我们能够把握问题的整体特性。 回顾以前学过的一些课程：理论力学的研究对象是质点、刚体。材料力学的主要研究对 象是梁、杆，一个方向的尺寸远大于另外两个方向尺寸的物体。弹性力学的研究对象是一般 的任意形状的弹性体。 材料力学一般从整体平衡出发并通过对变形和应力分布做一些假设以简化问题的求解， 这些假设往往是从经验和实际观察做出的，从材料力学本身并不能判定这些假设的正确与否 或近似程度，材料力学缺乏一个统一的适用于任何形状结构的理论体系。弹性力学从连续性 假设、牛顿定律和广义胡克定律出发建立了一个统一的理论体系，适用于任何形状的结构， 可解决任何形状、边界条件的问题（大多数情况下，得不到解析解，但可数值求解）。 为了便于推导和工程应用，材料力学往往对位移和应力做一些近似假设，这样导致得出 的是近似结果。弹性力学不用引入过多的假设，得到是精确解，可以用来校核材料力学的近 似结果，指明材料力学理论得出结果的适用范围。 13弹性理论的理论基础
弹性理论(一)讲义 第一章 绪论 1.1 弹性理论概述 弹性理论又称弹性力学，是研究载荷作用下弹性体中内受力状况和变形规律的一门科 学。一系列重要的和新兴的力学分支如塑性理论、粘弹性与粘塑性理论、细观力学、复合材 料力学、断裂力学等都是在弹性理论的基础上陆续发展起来的。其特点是结构严谨、逻辑缜 密，经过数百年的发展，现在已成为工程结构分析的基础和工具。历史上，弹性力学曾对其 它学科(地震的研究、地球物理学、光学等)的发展做出过重要的贡献，特别是以太假说和弹 性波的研究对光学和相对论的提出起了很大的推动作用。从弹性力学发展出的计算方法(例 如：有限元法、边界元法等)还广泛应用于其它学科，并成为通用的计算数学方法。 弹性理论以理论力学、材料力学和高等数学等课程为基础，系统地讲述弹性理论的基本 概念、基本原理和处理二维、三维弹性体一般问题的基本方法，为进一步学习塑性理论、连 续介质力学、有限单元法、实验应力分析、板壳理论、复合材料力学、断裂力学等后续课程 打下良好基础。在固体力学专业的课程中，弹性理论是一门承上启下的重要专业基础课，同 时也塑造严谨学风、培养分析问题、解决问题能力的良好素材。 1.2 研究对象和任务 弹性理论（力学）是研究弹性体在外界因素(如机械接触力、引力、电磁力、温湿度变 化等)作用下或内力(如引力)作用下其内部变形和应力分布的学科。 弹性：外力撤除后物体恢复原状的性质；弹性体：具有弹性性质的理想固体。 固体：A material is called solid rather than fluid if it can support a substantial shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest. (J. R. Rice 的定义，摘自英国百科全书 Encyclopaedia Britannica 2005 Deluxe Edition) 任务：是建立分析一般三维弹性体变形和应力分布的方法，通过位移、应力、应变等物 理量来描述物体的变形、受力状况，了解物体内部应力、应变的分布规律，最终达到评估结 构安全的目的。 适用尺度：从纳米级—地球、乃至太阳系。 弹性力学的重要性不仅在于为数值计算提供理论基础，更重要的是能提供应力和位移场的理 论解，使我们能够把握问题的整体特性。 回顾以前学过的一些课程：理论力学的研究对象是质点、刚体。材料力学的主要研究对 象是梁、杆，一个方向的尺寸远大于另外两个方向尺寸的物体。弹性力学的研究对象是一般 的任意形状的弹性体。 材料力学一般从整体平衡出发并通过对变形和应力分布做一些假设以简化问题的求解， 这些假设往往是从经验和实际观察做出的，从材料力学本身并不能判定这些假设的正确与否 或近似程度，材料力学缺乏一个统一的适用于任何形状结构的理论体系。弹性力学从连续性 假设、牛顿定律和广义胡克定律出发建立了一个统一的理论体系，适用于任何形状的结构， 可解决任何形状、边界条件的问题(大多数情况下，得不到解析解，但可数值求解)。 为了便于推导和工程应用，材料力学往往对位移和应力做一些近似假设，这样导致得出 的是近似结果。弹性力学不用引入过多的假设，得到是精确解，可以用来校核材料力学的近 似结果，指明材料力学理论得出结果的适用范围。 1.3 弹性理论的理论基础 1
(1)力是改变物体运动状态的相互作用，与力有关的现象和运动都遵从牛顿三大定律。弹 性力学研究弹性体在外力或内力作用下的变形规律，自然也要以牛顿三大定律为基础。弹性 静力学以牛顿第一、第三定律为基础：弹性动力学以牛顿第二、第三定律为基础。 (2)连续性假设：连续性假设就是认为弹性体连续分布于三维空间中的某个区域内，弹性 体可抽象成一个形状和位置与之相同的、连续而密实的空间几何体，还认为弹性体内各点所 有的物理量（密度、位移、应力、应变等），除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间 断外，都是定义在该几何体上各点的连续函数：连续性假设的另一层含义是弹性体在变形过 程中保持连续，变形前的点和变形后的点一一对应，即变形前的两个点不能变成一个点，变 形前的一个点也不能变成两个点。或者说，变形过程中不能出现撕裂和重叠。这种抽象的数 学模型称为连续介质，弹性力学是连续介质力学的一个分支。 弹性力学所说的点并不是纯粹几何意义上的点，简单地说，是从宏观上看很小，从微观 上看足够大的点。 图1-1 设弹性体V内一点P,V为包含P点的球的体积，Mn为包含P点的球的质量，D,为 V,的直径，P点的密度为P.(P)= ↑P, D. 图1-2 图1-2所示为P点的密度随直径D,的变化，当所取的球直径很小时，求出的密度波动，当 直径较大时密度也不确定，只有当直径D,在某个数值ε附近时，求出的密度值才恒定，这 个直径ε的微元正是弹性理论中点的含义。不同材料的ε值不同，取决于材料内部的微结构 的尺度。虽然从微观角度看，真实物体是由分子、原子组成的，但大量实验和理论分析结果 2
（1）力是改变物体运动状态的相互作用，与力有关的现象和运动都遵从牛顿三大定律。弹 性力学研究弹性体在外力或内力作用下的变形规律，自然也要以牛顿三大定律为基础。弹性 静力学以牛顿第一、第三定律为基础；弹性动力学以牛顿第二、第三定律为基础。 （2）连续性假设：连续性假设就是认为弹性体连续分布于三维空间中的某个区域内，弹性 体可抽象成一个形状和位置与之相同的、连续而密实的空间几何体，还认为弹性体内各点所 有的物理量（密度、位移、应力、应变等），除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间 断外，都是定义在该几何体上各点的连续函数；连续性假设的另一层含义是弹性体在变形过 程中保持连续，变形前的点和变形后的点一一对应，即变形前的两个点不能变成一个点，变 形前的一个点也不能变成两个点。或者说，变形过程中不能出现撕裂和重叠。这种抽象的数 学模型称为连续介质，弹性力学是连续介质力学的一个分支。 弹性力学所说的点并不是纯粹几何意义上的点，简单地说，是从宏观上看很小，从微观 上看足够大的点。 V V P n 图 1-1 设弹性体V 内一点 ， 为包含 点的球的体积， P Vn P Mn 为包含 点的球的质量， 为 的直径， 点的密度为 P Dn Vn P ( ) n n n M P V ρ = 。 Dn ρn O ε 图 1-2 图 1-2 所示为 点的密度随直径 的变化，当所取的球直径很小时，求出的密度波动，当 直径较大时密度也不确定，只有当直径 在某个数值 P Dn Dn ε 附近时，求出的密度值才恒定，这 个直径ε 的微元正是弹性理论中点的含义。不同材料的ε 值不同，取决于材料内部的微结构 的尺度。虽然从微观角度看，真实物体是由分子、原子组成的，但大量实验和理论分析结果 2
表明连续性假设是宏观条件下真实物体状况的极好近似。 在本课程中，一般来说，不但假设所有物理量都连续，而且如无特别说明还假设各物理 量的各阶导数也连续。在这些假设下，可以用微积分、微分方程、积分方程、积分变换、变 分法等数学工具来研究弹性力学问题。 (3)广义Hooke定律：所谓广义Hooke定律就是认为弹性体受外载荷后其内部所产生的应 力和应变具有线性关系，大多数天然材料和人造材料，在一定条件下，都符合这个实验定律， 是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于其它连续力学分支（塑性力学、粘弹性力学等）的 标志。 综上所述，牛顿定律、连续性假设和广义胡克定律是弹性力学的理论基础。 在本课程中，为了简化问题的数学处理，还引入其它假设：小变形、无初应力、各向同性、 均匀性。 小变形：变形和物体尺寸相比可以很小，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸和位置的变化： 在几何方程和应力-应变关系中，可以略去位移偏导数的二次幂或二次乘积项，使得到的基 本方程是线性偏微分方程组。 无初应力：物体在加载前和卸载后都处于无初始应力的自然状态，即不考虑由制造工艺引起 的残余应力和装配应力。 各向同性：物体在同一点处不同方向上的弹性性质相同。实际上，绝大多数的金属材料都是 各向同性的，但是木材、竹子、复合材料等必须考虑各向异性。 均匀性：物体在不同点处的弹性性质处处相同。 通常所说的弹性力学实际上是指线弹性、各向同性、均匀材料的弹性静力学。 参考书 1.徐芝纶，《弹性力学》（上、下册），高等教育出版社，1990。 2.陆明万、罗学富，《弹性理论基础》，清华大学出版社，1990。 3 ,Timoshenko&Goodier著，徐艺纶译，《弹性理论》，高等教育出版社，1990。 4.王敏中，《弹性力学教程》，北京大学出版社，2002。 5. 谢贻权等，《弹性力学》，浙江大学出版社，1988。 6. 吴家龙，《弹性力学》，高等教育出版社，2000。 7.冯元桢著，吴云鹏译，《连续介质力学导论》，重庆大学出版社，1997。 8.J.R.Barber,Elasticity,Kluwer Academic Publisher,Boston,1992. 9.薛明德主编，力学与工程技术的进步，高等教育出版社，2001。 附录：弹性理论的发展史和应用（摘自清华大学弹性力学讲义） 1弹性力学发展史 参考文献 S.P.Timoshenko,History of strength of material,Dover,1953 R.Dugas,A history of mechanics,Dover,1955
表明连续性假设是宏观条件下真实物体状况的极好近似。 在本课程中，一般来说，不但假设所有物理量都连续，而且如无特别说明还假设各物理 量的各阶导数也连续。在这些假设下，可以用微积分、微分方程、积分方程、积分变换、变 分法等数学工具来研究弹性力学问题。 （3）广义 Hooke 定律：所谓广义 Hooke 定律就是认为弹性体受外载荷后其内部所产生的应 力和应变具有线性关系，大多数天然材料和人造材料，在一定条件下，都符合这个实验定律， 是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于其它连续力学分支(塑性力学、粘弹性力学等)的 标志。 综上所述，牛顿定律、连续性假设和广义胡克定律是弹性力学的理论基础。 在本课程中，为了简化问题的数学处理，还引入其它假设：小变形、无初应力、各向同性、 均匀性。 小变形：变形和物体尺寸相比可以很小，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸和位置的变化； 在几何方程和应力-应变关系中，可以略去位移偏导数的二次幂或二次乘积项，使得到的基 本方程是线性偏微分方程组。 无初应力：物体在加载前和卸载后都处于无初始应力的自然状态，即不考虑由制造工艺引起 的残余应力和装配应力。 各向同性：物体在同一点处不同方向上的弹性性质相同。实际上，绝大多数的金属材料都是 各向同性的，但是木材、竹子、复合材料等必须考虑各向异性。 均匀性：物体在不同点处的弹性性质处处相同。 通常所说的弹性力学实际上是指线弹性、各向同性、均匀材料的弹性静力学。 参考书 1. 徐芝纶，《弹性力学》（上、下册），高等教育出版社，1990。 2. 陆明万、罗学富，《弹性理论基础》，清华大学出版社，1990。 3. Timoshenko & Goodier 著, 徐芝纶译，《弹性理论》，高等教育出版社，1990。 4. 王敏中，《弹性力学教程》，北京大学出版社，2002。 5. 谢贻权等，《弹性力学》，浙江大学出版社，1988。 6. 吴家龙，《弹性力学》，高等教育出版社，2000。 7. 冯元桢著，吴云鹏译，《连续介质力学导论》，重庆大学出版社，1997。 8. J. R. Barber, Elasticity, Kluwer Academic Publisher, Boston, 1992. 9. 薛明德 主编，力学与工程技术的进步，高等教育出版社，2001。 附录：弹性理论的发展史和应用 (摘自清华大学弹性力学讲义) 1 弹性力学发展史 参考文献 S. P. Timoshenko, History of strength of material, Dover, 1953 R. Dugas, A history of mechanics, Dover, 1955 3
武际可，力学史，重庆大学出版社，1999 启蒙时代(1600一1700) 弹性力学根植于早期的数学和物理研究，自牛顿时代以来才逐渐从其中分离出来。最 初的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。例如，Leonardo da Vinci曾在他的笔 记中记载了测试绳索拉伸强度的一种实验，这或许对悬挂他的画至关重要。由于绳索中缺陷 的统计分布，他认识到强度对长度可能的依赖关系。 经典力学有时亦被称为“伽利略一牛顿”力学。原因很清楚，伽利略提出了惯性原理， 牛顿将其扩展为牛顿三定律。伽利略的经典著作《两种新科学的对话》是力学发展中的一个 里程碑。除了家喻户晓的惯性原理外，其中详细讨论了固体的变形和强度。他研究了杆受单 向拉伸断裂时的载荷，得出断裂载荷与杆长无关的结论，这与达芬奇基于缺陷沿长度统计分 布的认识不同。在一个科学即是天文学的时代，伽利略在材料强度方面的探索是非同寻常的。 关于伽利略实验方法的历史记载可参见斯蒂芬·P·铁木辛柯(1878一1972)的著作《材料力 学史》。伽利略的基本实验装置见图0-1。伽利略梁横截面为矩形，长L,一端固支于墙中， 另一端悬挂一桶水或其他形式的重物。伽利略对这种悬臂梁结构进行了力学分析。这是历史 上首次把梁作为变形体来进行研究。分析结果正确地给出了梁的强度与几何尺寸的依赖关 系，例如长度和截面抗弯刚度。然而伽利略并未正确给出轴向应力沿高度方向的分布。他认 为轴向应力在下底面处为零，而并非后来所确证的中性面处。 W 图0-1伽利略对梁弯曲的理解 弹性关系的概念首先为英国科学家罗伯特·胡克提出。胡克定律发现于1660年，发表 时己经是1678年。在他的论文《论弹簧》中，原始形式的弹性关系写为拉丁文的字谜形式 “ceiiosssttuu'”,重新排列后为“ut tensio sic vis”,也就是现在所谓的胡克定律，中文意 思是“拉力与伸长成正比”。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形 式。 大师耕耘(1700一1880) 早期弹性力学的发展记录了大师们的足迹。伯努利兄弟引入了应力和应变的概念。1705
武际可, 力学史, 重庆大学出版社, 1999 启蒙时代(1600－1700) 弹性力学根植于早期的数学和物理研究，自牛顿时代以来才逐渐从其中分离出来。最 初的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。例如，Leonardo da Vinci 曾在他的笔 记中记载了测试绳索拉伸强度的一种实验，这或许对悬挂他的画至关重要。由于绳索中缺陷 的统计分布，他认识到强度对长度可能的依赖关系。 经典力学有时亦被称为“伽利略－牛顿”力学。原因很清楚，伽利略提出了惯性原理， 牛顿将其扩展为牛顿三定律。伽利略的经典著作《两种新科学的对话》是力学发展中的一个 里程碑。除了家喻户晓的惯性原理外，其中详细讨论了固体的变形和强度。他研究了杆受单 向拉伸断裂时的载荷，得出断裂载荷与杆长无关的结论，这与达芬奇基于缺陷沿长度统计分 布的认识不同。在一个科学即是天文学的时代，伽利略在材料强度方面的探索是非同寻常的。 关于伽利略实验方法的历史记载可参见斯蒂芬·P·铁木辛柯(1878－1972)的著作《材料力 学史》。伽利略的基本实验装置见图 0-1。伽利略梁横截面为矩形，长L，一端固支于墙中， 另一端悬挂一桶水或其他形式的重物。伽利略对这种悬臂梁结构进行了力学分析。这是历史 上首次把梁作为变形体来进行研究。分析结果正确地给出了梁的强度与几何尺寸的依赖关 系，例如长度和截面抗弯刚度。然而伽利略并未正确给出轴向应力沿高度方向的分布。他认 为轴向应力在下底面处为零，而并非后来所确证的中性面处。 图 0-1 伽利略对梁弯曲的理解 弹性关系的概念首先为英国科学家罗伯特·胡克提出。胡克定律发现于 1660 年，发表 时已经是 1678 年。在他的论文《论弹簧》中，原始形式的弹性关系写为拉丁文的字谜形式 “ceiiiosssttuu”，重新排列后为“ut tensio sic vis”，也就是现在所谓的胡克定律，中文意 思是“拉力与伸长成正比”。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形 式。 大师耕耘(1700－1880) 早期弹性力学的发展记录了大师们的足迹。伯努利兄弟引入了应力和应变的概念。1705 4
年，雅克比·柏努利（瑞士数学与力学家）在他生平的最后一篇论文中指出，要正确描述材 料纤维在拉伸下的变形，就必须给出单位面积的作用力，即应力，与单位长度的伸长，即应 变，之间的函数关系。1727年，莱奥哈尔德·欧拉（瑞士数学与力学家，雅克比的弟弟约 翰那·柏努利的学生)给出应力、应变之间的线性关系，即σ=Eε。1807年，托马斯·杨 发展了一个类似的概念，因此现在通常称比例系数E为杨氏模量。 1774年，莱奥哈尔德·欧拉(1707一1783)分析了压杆失稳问题，可以证明杆的挠度遵 守下面的方程： Px (0-1) 其中C”为柏努利梁的刚度系数，P为压杆载荷，x,y分别表示沿杆长的坐标和杆的挠度。作 为表明弹性力学历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触发了两个重要的数 学概念。其一是“变分原理”，欧拉正是用这种方法导出控制方程：其二是“分岔”的概念， 它是非线性分析的中心内容。欧拉得到了方程(0-1)的解，文献中称为“elastica”。如图0-2 所示，在不同的压缩状态，欧拉杆会发生翻转，变为折叠的受拉杆。图0-2中所示的三种形 状分别对应不同的载荷。 欧拉逝世后不久，许多天才科学家聚集法国，他们对弹性力学不懈的研究使得这一领 域在法国科学院中异常活跃。其中的几位科学巨匠有纳维尔、泊松、库仑、柯西和圣·维南。 QQ 图0-2 elastica 1821年，克劳德·路易斯·玛丽·亨利·纳维尔(1785一1836)发表了题为“弹性体平 衡和运动方程”的论文，文中弹性体的控制方程首次写为 C24,+2uk+f=0, (0-2) 其中u,∫分别为位移和体力分量，C为弹性模量的一种度量。这个方程被称为“弹性体 的位移方程”或简单称为“纳维尔方程”。 方程(0-2)与我们今天所知的形式不同（参见方程(3.27）)，它仅对两个拉梅常数相等的 特殊弹性体成立。1829年，法国科学家西蒙·丹尼斯·泊松(1781一1840)考虑了单向拉伸时 的横向收缩问题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。方程 (0-2)成立的条件为材料泊松比为。另外，泊松发现了横波和纵波，开创了弹性动力学分 析。对弹性力学作出卓越贡献的另一位法国科学家是奥古斯丁·路易斯·柯西(1789一1857)。 1822年，柯西在三维情况下规范了应力的概念，揭示了应力具有三阶对称张量的性质。他
年，雅克比·柏努利（瑞士数学与力学家）在他生平的最后一篇论文中指出，要正确描述材 料纤维在拉伸下的变形，就必须给出单位面积的作用力，即应力，与单位长度的伸长，即应 变，之间的函数关系。1727 年，莱奥哈尔德·欧拉（瑞士数学与力学家，雅克比的弟弟约 翰那·柏努利的学生）给出应力、应变之间的线性关系，即σ = Eε 。1807 年，托马斯·杨 发展了一个类似的概念，因此现在通常称比例系数 E 为杨氏模量。 1774 年，莱奥哈尔德·欧拉(1707－1783)分析了压杆失稳问题，可以证明杆的挠度遵 守下面的方程： ( ) Px y y C = + 2 3 2' '' ' 1 , (0-1) 其中C 为柏努利梁的刚度系数，P为压杆载荷，x，y分别表示沿杆长的坐标和杆的挠度。作 为表明弹性力学历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触发了两个重要的数 学概念。其一是“变分原理”，欧拉正是用这种方法导出控制方程；其二是“分岔”的概念， 它是非线性分析的中心内容。欧拉得到了方程 ′ (0-1)的解，文献中称为“elastica”。如图 0-2 所示，在不同的压缩状态，欧拉杆会发生翻转，变为折叠的受拉杆。图 0-2中所示的三种形 状分别对应不同的载荷。 欧拉逝世后不久，许多天才科学家聚集法国，他们对弹性力学不懈的研究使得这一领 域在法国科学院中异常活跃。其中的几位科学巨匠有纳维尔、泊松、库仑、柯西和圣·维南。 图 0-2 elastica 1821 年，克劳德·路易斯·玛丽·亨利·纳维尔(1785－1836)发表了题为“弹性体平 衡和运动方程”的论文，文中弹性体的控制方程首次写为 ( 2 , ) 0 2 fuuC ikiki =++∇ , (0-2) 其中 ， 分别为位移和体力分量，C 为弹性模量的一种度量。这个方程被称为“弹性体 的位移方程”或简单称为“纳维尔方程”。 ui i f 方程(0-2)与我们今天所知的形式不同（参见方程(3.27)），它仅对两个拉梅常数相等的 特殊弹性体成立。1829 年，法国科学家西蒙·丹尼斯·泊松(1781－1840)考虑了单向拉伸时 的横向收缩问题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。方程 (0-2)成立的条件为材料泊松比为 4 1 。另外，泊松发现了横波和纵波，开创了弹性动力学分 析。对弹性力学作出卓越贡献的另一位法国科学家是奥古斯丁·路易斯·柯西(1789－1857)。 1822 年，柯西在三维情况下规范了应力的概念，揭示了应力具有三阶对称张量的性质。他 5