第六章弹性力学问题的建立和一般原理 6.1基本方程和定解条件 基本方程，几何方程：，=2仙+“)6J=12,3) 平衡方程：0元+f=0(亿，j=1,2,3) 本构关系：0m=几E46+2uE,(i,j=1,2,3) 共有位移、应变、应力15个未知量，15个方程。 边界条件：设弹性体所占的空间区域为V,其边界为V,aV,边界上位移已知的部分，OV。 边界上应力已知的部分，V为具有弹性支撑的边界。则边界条件可以表示为： u=ū on a,v n-T=t (no=1) on a v (6.1) nT+ku=0 on a.V 其中ū是边界上己知的位移，t为边界上已知的面力，k>0为常数。 弹性力学问题可分为下列三类： (1)位移边值问题，边界上位移己知，基本方程+位移边界条件。 (2)应力边值问题，边界上应力己知，基本方程+应力边界条件。 (3)混合边值问题，一部分边界位移已知，一部分边界应力己知，或一部分是弹性支撑边界， 基本方程+位移边界条件+应力边界条件+弹性支撑边界条件。 解的存在性、唯一性都有大量研究，边界条件的提法在微分方程理论中称为适定性问题。 一般情况下，边界上给定位移，就不能再给定应力：给定应力就不能再给定位移，否则可能 无解。但某些特殊问题可以既提位移边界条件又提应力边界条件，例如地质勘探。这是因为 一般问题，材料已知，要求物体中的应力、应变、位移，而地质勘探问题，材料常数是未知 的，要通过测量的位移、应力、应变信息来反推材料常数，以判断地下是否有矿藏及范围。 弹性力学的解法： (1)实验方法：电测、光测、光弹、X射线、超声波等。 (2)解析方法：微分方程、复变函数、积分方程，积分变换等。 (3)数值方法：有限元、有限差分、边界元、无网格法等。 本课程主要介绍解析方法和数值方法的理论基础。 6.2基本原理 ()唯一性定理：当体力和边界条件给定时，弹性力学边值问题的应力场是唯一确定的，位 移场精确到刚体位移。 证明：设有两个解，4”，，，42,62，O2,都满足基本方程和边界条件
1 第六章 弹性力学问题的建立和一般原理 6.1 基本方程和定解条件 基本方程，几何方程： , ,, 1 ( ) ( , 1,2,3) 2 i j i j ji ε =+ = u u ij 平衡方程： , 0 ( , 1,2,3) ji j i σ += = f ij 本构关系： 2 ( , 1,2,3) ij kk ij ij σ =+ = λε δ με i j 共有位移、应变、应力 15 个未知量，15 个方程。 边界条件：设弹性体所占的空间区域为V ，其边界为∂V ， Vu ∂ 边界上位移已知的部分， Vσ ∂ 边界上应力已知的部分， Ve ∂ 为具有弹性支撑的边界。则边界条件可以表示为： on ( ) on 0 on u j ji i e V nt V k V σ σ = ∂ = = ∂ += ∂ u u T t T u i i n n (6.1) 其中u 是边界上已知的位移， t 为边界上已知的面力， k > 0 为常数。 弹性力学问题可分为下列三类： (1) 位移边值问题，边界上位移已知，基本方程+位移边界条件。 (2) 应力边值问题，边界上应力已知，基本方程+应力边界条件。 (3) 混合边值问题，一部分边界位移已知，一部分边界应力已知，或一部分是弹性支撑边界， 基本方程+位移边界条件+应力边界条件+弹性支撑边界条件。 解的存在性、唯一性都有大量研究，边界条件的提法在微分方程理论中称为适定性问题。 一般情况下，边界上给定位移，就不能再给定应力；给定应力就不能再给定位移，否则可能 无解。但某些特殊问题可以既提位移边界条件又提应力边界条件，例如地质勘探。这是因为 一般问题，材料已知，要求物体中的应力、应变、位移，而地质勘探问题，材料常数是未知 的，要通过测量的位移、应力、应变信息来反推材料常数，以判断地下是否有矿藏及范围。 弹性力学的解法： (1) 实验方法：电测、光测、光弹、X 射线、超声波等。 (2) 解析方法：微分方程、复变函数、积分方程，积分变换等。 (3) 数值方法：有限元、有限差分、边界元、无网格法等。 本课程主要介绍解析方法和数值方法的理论基础。 6.2 基本原理 (1) 唯一性定理：当体力和边界条件给定时，弹性力学边值问题的应力场是唯一确定的，位 移场精确到刚体位移。 证明：设有两个解， (1) (1) (1) , , i ij ij u ε σ ， (2) (2) (2) , , i ij ij u ε σ ，都满足基本方程和边界条件
o+f=0 (m=1,2) -Cue (6.2) 边界条件： 4m=0 on a,V nom =T on a V nom+kum=0 on dv (6.3) 4="-42 令6=69-，2则4,6，o满足 *1 6=(+4) 2 4=0 on o,v 0=0 n,0m=0 on aV (6.4) njon+ku;=0 on av 4,6,σ可以看作是零体力、边界位移和应力为零的弹性力学问题的解，应变能密度为 W=20,5g 2-旷2a,+,h=∬4，小=fo4,-o41h =事on-∬onh=乎on=乎h (6.5) =-∯4了+(G+(4g]西≤0 式中n,为边界aV的法向。 另外由应变能密度的正定性， ∬W0，所以∬W=0,W=0,o=0,6=0。 也就是，o-o2,4”,42最多相差一个刚体位移。 (2)叠加原理 实际工程中物体可能受到比较复杂的载荷作用，如果可以把几种简单载荷作用的解求 出，将简单载荷作用的结果叠加而求复杂载荷的解，将给求解带来极大的方便，下面的原理 保证这种方法的正确性。 叠加原理：作用在弹性体上几组载荷的总效应（应力和变形）等于每组载荷单独作用的总 2
2 () () () , , ( ) , () () 1 ( ) 2 0 ( 1, 2) m mm ij i j j i m ij j i m m ij ijkl kl u u f m C ε σ σ ε ⎧ = + ⎪ ⎪ ⎨ += = ⎪ = ⎪ ⎩ (6.2) 边界条件： ( ) ( ) () () on on 0 on m ii u m j ji i m m j ji i e uu V nt V n ku V σ σ σ ⎧ = ∂ ⎪ ⎨ = ∂ ⎪ + = ∂ ⎩ (6.3) 令 * (1) (2) * (1) (2) * (1) (2) ii i ij ij ij ij ij ij uu u εε ε σ σ σ ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ = − ⎪ ⎪ = − ⎩ 则 ** * , , i i ij u ε σ 满足 * ** , , * , * * 1 ( ) 2 0 ij i j j i ij j ij ijkl kl u u C ε σ σ ε ⎧ = + ⎪ ⎪ ⎨ = ⎪ = ⎪ ⎩ ， * * * * 0 on 0 on 0 on i u j ji j ji i e u V n V n ku V σ σ σ ⎧ = ∂ ⎪ ⎨ = ∂ ⎪ + = ∂ ⎩ (6.4) ** * , , i i ij u ε σ 可以看作是零体力、边界位移和应力为零的弹性力学问题的解，应变能密度为 1 2 W σ ij ij = ε 。 * * * ** ** * * ,, , , , ** * * ** ** , *2 *2 *2 1 23 1 2 ( ) [( ) ] 2 [( ) ( ) ( ) ] 0 e e e ij i j j i ij i j ij i j ij j i VV V V ij i j ij j i ij i j i i VV V V V Wdv u u dv u dv u u dv u n ds u dv u n ds ku u ds k u u u ds σ σ σσ σ σσ ∂ ∂∂ ∂ = += = − = − = =− =− + + ≤ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ w ww w (6.5) 式中 i n 为边界∂V 的法向。 另外由应变能密度的正定性， 0 V Wdv ≥ ∫∫∫ ，所以 0 V Wdv = ∫∫∫ ，W = 0， * * 0, 0 σ ε ij ij = = 。 也就是， (1) (2) σ ij ij =σ ， (1) (2) , i i u u 最多相差一个刚体位移。 (2) 叠加原理 实际工程中物体可能受到比较复杂的载荷作用，如果可以把几种简单载荷作用的解求 出，将简单载荷作用的结果叠加而求复杂载荷的解，将给求解带来极大的方便，下面的原理 保证这种方法的正确性。 叠加原理：作用在弹性体上几组载荷的总效应(应力和变形)等于每组载荷单独作用的总
和。 数学表述：4，，o满足 》+"=0 =Cne (6.6) "=00 on a,V nom-To on d V n,og+k四=0 on av (6.7 42,2,2满足 1 6=)（哈+42) 2 分+2=0 o=C号 (6.8) 42)-元2) on a.v n,2=8 on d V (no+ku)=0 on av (6.9 令4=4"+42,0，=o+o2，则4,0满足 0+0+f2=0亿，j=1,2,3) (6.10) 4-00+02 on a.v n,0n=T0+2on0,yG,j=12,3) (6.10) n,0m+j4=0 on av 必须是作用在同一物体且是线弹性、小变形，边界条件也是线性的时才成立。在材料非 线性或大变性时不再成立。例如，稳定性问题，两种载荷均低于失稳载荷但加在一起可能超 过临界载荷：梁同时受轴力和横向力作用的纵横弯曲问题，板壳大挠度问题等。 (③)圣维南原理(Saint-Venant) 解弹性力学问题在应力边值问题中需要满足边界上的应力边界条件，T=〔，t为边 界上的面力。但实际中大量的问题是边界上的作用力己知合力和合力矩，而力的具体分布很 难精确测量，如何解决这个问题呢？圣维南提出如下原理，说明复杂分布的力的可以用简单 的等效力系代替。 圣维南原理：如果作用于物体上某一小区域中的力系用作用在同一区域中的另一组静力等 效力系代替，则对应力和变形的影响仅限于该区域附近的范围。 或者：小区域内作用的平衡力系所引起的变形和应力仅限于其附近的区域
3 和。 数学表述： (1) (1) (1) , , i ij ij u ε σ 满足 (1) (1) (1) , , (1) (1) , (1) (1) 1 ( ) 2 0 ij i j j i ij j i ij ijkl kl u u f C ε σ σ ε ⎧ = + ⎪ ⎪ ⎨ + = ⎪ = ⎪ ⎩ (6.6) (1) (1) (1) (1) (1) (1) on on 0 on ii u j ji i j ji i e uu V nt V n ku V σ σ σ ⎧ = ∂ ⎪ ⎨ = ∂ ⎪ + = ∂ ⎩ (6.7) (2) (2) (2) , , i ij ij u ε σ 满足 (2) (2) (2) , , (2) (2) , (2) (2) 1 ( ) 2 0 ij i j j i ij j i ij ijkl kl u u f C ε σ σ ε ⎧ = + ⎪ ⎪ ⎨ + = ⎪ = ⎪ ⎩ (6.8) (2) (2) (2) (2) (2) (2) on on 0 on ii u j ji i j ji i e uu V nt V n ku V σ σ σ ⎧ = ∂ ⎪ ⎨ = ∂ ⎪ + = ∂ ⎩ (6.9) 令 (1) (2) ii i uu u = + ， (1) (2) σ ij ij ij = + σ σ ，则 , i ij u σ 满足 (1) (2) , 0 ( , 1, 2,3) ij j i i σ ++ = = f f ij (6.10) (1) (2) (1) (2) on on ( , 1, 2,3) 0 on ii i u j ji i i j ji i e uu u V n t t V ij n ju V σ σ σ ⎧ =+ ∂ ⎪ ⎨ =+ ∂ = ⎪ += ∂ ⎩ (6.10) 必须是作用在同一物体且是线弹性、小变形，边界条件也是线性的时才成立。在材料非 线性或大变性时不再成立。例如，稳定性问题，两种载荷均低于失稳载荷但加在一起可能超 过临界载荷；梁同时受轴力和横向力作用的纵横弯曲问题，板壳大挠度问题等。 (3) 圣维南原理(Saint-Venant) 解弹性力学问题在应力边值问题中需要满足边界上的应力边界条件，niT t = ，t 为边 界上的面力。但实际中大量的问题是边界上的作用力已知合力和合力矩，而力的具体分布很 难精确测量，如何解决这个问题呢？圣维南提出如下原理，说明复杂分布的力的可以用简单 的等效力系代替。 圣维南原理：如果作用于物体上某一小区域中的力系用作用在同一区域中的另一组静力等 效力系代替，则对应力和变形的影响仅限于该区域附近的范围。 或者：小区域内作用的平衡力系所引起的变形和应力仅限于其附近的区域
圣维南原理的基础在于应变能密度的正定性，极大地简化了弹性力学问题的求解，是梁、 板、壳近似理论的基础。 局限性：(1)没有严格的定量表述，什么情况下成立尚未得到严格证明。 (2)有些情况下不成立，例如对薄壁杆件和有裂纹的结构某些情况下不成立。 6.3以位移表示的边值问题 平衡方程：O+∫=0 各向同性体的本构关系：O,=元E狱可，+2E=4k⊙+(u,+“) 将本构关系代入平衡方程，得 元k6可，+4(4.+4)+f=0 (6.11) k:6+气+un+f=0 (6.12) (2+川)4，m+.m+f=0 (6.13) 整体形式：(2+4)V(7u)+7u+f=0 式中v?=02+a2,02 ar+d+正为拉普拉斯(pace)算子。 或者写成u+,1V(Nu)+f=0 1-2y 这就是以位移表示的弹性力学方程。 分量形式为： (a+四只（+4+人=0 (a+四2(Ww+W+j,=0 (6.14) oy a+2（m+Wr+f=0 又称为Navier方程。 >以位移表示应力边界条件 应力边界条件：T=「(n,0m=)将本构关系代入，得 n,(2eδm+2uEm)=n,(uAdm+2Ei)=元ukn,+2n,Em= (6.15) 写成整体形式为：2Vun+2nT=t 如果没有体力，Navier方程简化为： (+)V(7u)+72u=0 (6.16) 4
4 圣维南原理的基础在于应变能密度的正定性，极大地简化了弹性力学问题的求解，是梁、 板、壳近似理论的基础。 局限性：(1) 没有严格的定量表述，什么情况下成立尚未得到严格证明。 (2) 有些情况下不成立，例如对薄壁杆件和有裂纹的结构某些情况下不成立。 6.3 以位移表示的边值问题 平衡方程： , 0 ij j i σ + = f 各向同性体的本构关系： , ,, 2 () ij kk ij ij k k ij i j j i σ = += + + λε δ με λ δ μ u uu 将本构关系代入平衡方程，得 , ,, ( )0 k kj ij i jj j ij i λu uu f δ μ + + += (6.11) ,, , 0 k ki i jj j ji i λu u uf + μ μ + += (6.12) , , () 0 j ji i jj i λ + μ μ u uf + += (6.13) 整体形式： 2 ( )( ) 0 λμ μ + ∇∇ + ∇ + = iu uf 式中 222 2 222 x y z ∂∂∂ ∇= + + ∂∂∂ 为拉普拉斯(Laplace)算子。 或者写成 2 1 1 () 0 1 2ν μ ∇ + ∇∇ + = − u uf i 这就是以位移表示的弹性力学方程。 分量形式为： 2 2 2 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 x y z u f x v f y w f z λμ μ λμ μ λμ μ ∂ + ∇ +∇ + = ∂ ∂ + ∇ +∇ + = ∂ ∂ + ∇ +∇ + = ∂ u u u i i i (6.14) 又称为 Navier 方程。 ¾ 以位移表示应力边界条件 应力边界条件： ( ) j ji i niT t = = n t σ 将本构关系代入，得 , , ( 2) ( 2) 2 j kk ji ji j k k ji ji k k i j ji i n n u un n t λε δ με λ δ με λ μ ε += += + = (6.15) 写成整体形式为：λ∇i i u+ t n n 2μ Γ = 如果没有体力，Navier 方程简化为： 2 ( )( ) λμ μ + ∇∇ + ∇ = iu u0 (6.16)
两边取散度，得 72(7u)+(2+4)7(7u)=0 (6.17) 即72(7u)=0。 再对(6.16)作用Laplace算子，得 7272u+(2+4)VV2(u)=0 (6.18) 由于7(7)=0，上式左边第二项为零，所以77u=0,即无体力时，各向同性弹性体 的位移分量是双调和函数。 6.4以应力表示的边值问题 应变协调方程可以写为7×厂×7=0，原则上可以将应力-应变关系 6,二E 0,一E04⊙，代入上式，即可导出以应力表示的应变协调方程，但这样推导太繁 琐，其中的关系不容易看清。下面我们从Navier方程出发来推导。 Navier方程 1 4+1-2nW叫，+=0 (6.19) 两边求偏导数 1 (6.20) i,j交换 * 1 (u),m+=0 (6.21) (6.20+6.21) 22e+2-(Vu)g+（f,+fa)=0 1 (6.22) 1+ = -E O:0 (6.23) E 1-2 8m= -0i (6.24) E 将6.23)、(6.24)代入(6.22) (1+V)72o)-W2o:可+0+ +f)-0 (6.25) 2μ 两边乘以6（取迹） J
5 两边取散度，得 2 2 μ λμ ∇ ( )( ) ( )0 ∇ + + ∇∇ = i i u u (6.17) 即 2 ∇∇ = ( )0 iu 。 再对(6.16)作用 Laplace 算子，得 22 2 μ λμ ∇ ∇ + ∇∇ ∇ u+ u =0 ( ) () i (6.18) 由于 2 ∇∇ = ( )0 iu ，上式左边第二项为零，所以 2 2 ∇ ∇ = u 0 ，即无体力时，各向同性弹性体 的位移分量是双调和函数。 6.4 以应力表示的边值问题 应变协调方程可以写为 ∇× ×∇ = Γ 0 ，原则上可以将应力 - 应变关系 1 ij ij kk ij E E ν ν ε σ σδ + = − 代入上式，即可导出以应力表示的应变协调方程，但这样推导太繁 琐，其中的关系不容易看清。下面我们从 Navier 方程出发来推导。 Navier 方程 2 , 1 1 () 0 1 2 i ii u f ν μ ∇+ ∇ + = − iu (6.19) 两边求偏导数 2 , ,, 1 1 () 0 1 2 i j ij i j u f ν μ ∇+ ∇ + = − iu (6.20) i j , 交换 2 , ,, 1 1 () 0 1 2 j i ji j i u f ν μ ∇+ ∇ + = − iu (6.21) (6.20)+(6.21) 2 , ,, 2 1 2 ( ) ( )0 1 2 ij ij i j j i ε f f ν μ ∇+ ∇ + + = − iu (6.22) 1 ij ij kk ij E E ν ν ε σ σδ + = − (6.23) 1 2 ii ii E ν ε σ − = (6.24) 将(6.23)、(6.24)代入(6.22) 2 2 , ,, (1 ) ( ) 0 2 ij kk ij kk ij i j j i E ν σ ν σδ σ f f μ + ∇ −∇ + + + = (6.25) 两边乘以 ij δ (取迹)