第三章变形分析 3.1位移 设一个弹性体占有空间V,该弹性体由于外力作用而变形，坐标系建立未变形的弹性 体上。设弹性体中的一点P(x,y,z)变成P'(x',y',z),它们之间位置的差异就是位移矢量， 可表示为： u=x'-x v=y'-y (3.1) w=z'-z 或 =r'-r (3.2) 其中r=(x,y,z),r'=(x,y',z),u=(u,y,w)。 在弹性力学中，由于有连续性和小变形假设，可以证明r=(x,y,z)是r=(x,y,)的单值 可逆函数，即一个物质点不能变成两个物质点，两个物质点也不能变成一个物质点，这样弹 性体不被撕裂也没有重叠，在卸载后P'(x',y',z)还变回P(x,y,z)点。 图3.1 3.2应变分析 物体形状的改变是弹性体区别于刚体的特点，那么如何刻划物体的变形呢？位移是描述变 形的一个量，但仅用位移不足以刻划变形。几何形状的要素是长度和角度，下面先以二维变 形为例，考察长度和角度的变化。 设点P(x,y)及其附近的两点A(x+dk,y)和B(x,y+y)变成P'、A和B',即
第三章 变形分析 3.1 位移 设一个弹性体占有空间V ，该弹性体由于外力作用而变形，坐标系建立未变形的弹性 体上。设弹性体中的一点 变成 Pxyz ( , , ) Pxyz ′(, ,) ′′′ ，它们之间位置的差异就是位移矢量， 可表示为： uxx vyy wz z ⎧ = ′ − ⎪ ⎨ = ′ − ⎪ ⎩ = ′− (3.1) 或 ur r = ′ − (3.2) 其中 rr u == = ( , , ), ( , , ), ( , , ) x yz x y z uvw ′ ′′′ 。 在弹性力学中，由于有连续性和小变形假设，可以证明 r′ = (, ,) x′′′ y z 是 r = (, ,) x y z 的单值 可逆函数，即一个物质点不能变成两个物质点，两个物质点也不能变成一个物质点，这样弹 性体不被撕裂也没有重叠，在卸载后 Pxyz ′(, ,) ′′′ 还变回 点。 Pxyz (, ,) O r P′ P r′ u 图 3.1 3.2 应变分析 物体形状的改变是弹性体区别于刚体的特点，那么如何刻划物体的变形呢？位移是描述变 形的一个量，但仅用位移不足以刻划变形。几何形状的要素是长度和角度，下面先以二维变 形为例，考察长度和角度的变化。 设点 P x( , y) 及其附近的两点 A x( , + dx y) 和 B( , x y + dy) 变成 P′、 A′和 B′，即 1
P(x,y)→P'(x+u,y+v) A(x+dx,y)>A'(x+dx+u(x+dx,y),y+v(x+dx,y)) =A'(x+d+(x,y)+ k,y+x,)+ B(x,y+dy)→B'(x+u+ d,y+西+Wx,+ dy dy) 微线元PA长度的变化： P'A-PA dx+ +( Ox (Ov dx)-dx x 1+ au2+ 02-1= ou ax (33) PA d Ox 同样可得 PB'-PBOv (3.4) PB 由此可以看出区，-必为x方向微线元的相对伸长(&，>0伸长，名<0缩知。 Ox 再看角度∠APB的变化， a dx Ov tana 一= (1+ =（1-%=0 (3.5) cu Ox Ox Ox dx+ -dx Ox 同样tanB÷ Cu ,由小变形假设可知&，B很小，所以a+B兰tana+tanB= oy dy Ox 1加)，也 表示直角∠APB的变化量，称为工程剪应变，弹性力学中定义的剪应变是2分+ 称为张量剪应变。 B(x,y+dy) D P(x,y) A(x+dx,y) 图3.2 2
(, ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ( , ) ) Pxy P x uy v A x dx y A x dx u x dx y y v x dx y u v A x dx u x y dx y v x y dx x x u v B x y dy B x u dy y dy v x y dy y y → ++ ′ + → ++ + + + ′ ∂ ∂ = ++ + + + ′ ∂ ∂ ∂ ∂ + → ++ + + + ′ ∂ ∂ 微线元 长度的变化： PA 2 2 2 2 ( )( ) (1 ) ( ) 1 u v dx dx dx dx P A PA x x u v u PA dx x x x ∂ ∂ ++ − ′ ′ − ∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ (3.3) 同样可得 P B PB v PB y ′ ′ − ∂ ∂ (3.4) 由此可以看出 x u x ε ∂ = ∂ 为 x 方向微线元的相对伸长( 0 x ε > 伸长， 0 x ε < 缩短)。 再看角度∠APB 的变化， 1 tan (1 ) (1 ) v dx x vu vu u v x x xx dx dx x α − ∂ x ∂ ∂ ∂ ∂∂ = =+ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ + ∂ ∂ (3.5) 同样 tan u y β ∂ ∂ ，由小变形假设可知α,β 很小，所以 tan tan u v y x αβ α β ∂ ∂ + + =+ ∂ ∂ ， 表示直角 的变化量，称为工程剪应变，弹性力学中定义的剪应变是 ∠APB 1 ( ) 2 u v y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ，也 称为张量剪应变。 y B′ 图 3.2 Pxy (, ) A x dx y ( ,) + B(, ) x y dy + P′ β A′ α x O 2
三维情形 (1)任意方向微线元长度的相对变化 弹性体中P(x,y,z),Q(x+y+少，z+d)变形后变成P(x+山，y+v,z+w)和 O(x+dx+u+ ou dxou du -dy+ 止，y++v+ -dx+ Nd也， -d+ Ow Ow z+dz+w+ dx -d+ "dz) 变形前微线元PQ长度为V(dr)+(dy)}+(d)2,变形后 PO=(ds +Ou ds+u dy+u d.dy+rd+rdy+ +dk,止+o"dk+a"d山+o"db dy 02 x dx dy ou a Ow Ox Ox Ox =(d,dy,dE)+（drd dz) O ow a创 =dr+dr.FT ay ou v Ow 02 02 82 ou ou ou Ox ay B2 其中dr=(d,dy,dz),F= Ov ov Ov 正 称为变形梯度。 Ow Ow Ow Ox Oy d2 变形后 P'O=P'O'.P'O=(dr+dr.F)-(dr+dr.F") =dr-dr"+dr-(F+F+FT.F).dr=lPQP+2dr.G.dr (3.6) 其中G=E+F+FF)。 2 设P四的方向余弦为5=(5,5,5)，则P四=(d,d,d)=PQ5。微线元PQ的相 对伸长为 g-P2-P四=+25G5-1=5G5 (3.7) PO 由小变形假设，可忽略高阶项，这样G=F+F+PF)=F+P)=I,则 6=5T·5
三维情形 (1) 任意方向微线元长度的相对变化 弹性体中 Pxyz (, ,) ， Q x dx y dy z dz (, , +++ ) 变形后变成 P x uy vz w ′(,, + + + ) 和 ( , , ) uuu vvv Q x dx u dx dy dz y dy v dx dy dz xy z xyz www z dz w dx dy dz xyz ∂∂∂ ∂∂∂ ′ + ++ + + + ++ + + ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ + ++ + + ∂∂∂ 。 变形前微线元 长度为 PQ 2 2 () () () dx dy dz + + 2 ，变形后 ( ) ( , , ( , , ) T uuu vvv www P Q dx dx dy dz dy dx dy dz dz dx dy dz xy z xyz x y z uvw xxx uvw dx dy dz dx dy dz d d yyy uvw zzz ∂∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′ =+ + + + + + + + + ∂∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂∂∂ = + = ⋅ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎝ ⎠ ∂∂∂ F JJJJG r+ r ) 其中 d dx dy dz r = (,,)， uuu x y z vvv x y z www x y z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ F 称为变形梯度。 变形后 2 2 ( )( ) ( ) 2 T T T T T T T PQ PQ PQ d d d d dd d d PQ d d ′′ ′′ ′′ = ⋅ = +⋅ ⋅ +⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ = + ⋅⋅ F F FF FF G JJJJG JJJJG rr rr rr r r r rT (3.6) 其中 1 ( ) 2 T T G FF F = ++⋅F 。 设 PQ 的方向余弦为 JJJG 123 ξ = (, , ) ξ ξ ξ ，则 PQ dx dy dz PQ = = (,,) JJJG ξ 。微线元 的相 对伸长为 PQ 12 1 P Q PQ T PQ ε ′ ′ − = = + ⋅⋅ − ⋅ G T ξ ξ ξ G⋅ξ (3.7) 由小变形假设，可忽略高阶项，这样 1 1 ( )( 2 2 T T T G FF FF FF = ++⋅ + = ) Γ ，则 T ε =⋅⋅ ξ Γ ξ 。 3
当5=(1,0,0)，得￡.= ou 图3.3 (1)互相垂直的两微线元间角度的变化 设弹性体上P(x,y,)点及其附近的两点A(x+d,y+dy,z+d)和 B(x+6x,y+6y,z+6z),PA,PB互相垂直，变形后变成P'(x+,y+v,z+w), A'(x+dx+u+ Du dxoud +d.y+dy -dy 一dx+ + Ox 0z 和 z+dz+w+ ow dy ow dx owe de) Ox dy B'(x+δx+u+ x* Ou Ov òy +06z,y+y+v+ 6x+ -δy+ Ox y x d Ow Ow z+6z+w+ òx+-òy+ 6z) Ox 0z 要考察角度的变化，做点乘 P'B'.P'A=(dr+dr.F)(6r+r.F)=dr.6rT+2dr.G.&rT (3.8) =2dr.G6r÷2dr.r.6r 设PA,PB的夹角为号-2,5=（低点，局）为丽的方向余流，刀=亿，%，)为 PB的方向余弦，6,62为PA和PB方向的相对伸长。 PB.P=PB(+)PA(+)cos(-2y) (3.9) PB PA (1+)(1+)sin 2y 比较(3.8)式与(3.9)式，PBPA(1+62)1+6)sin2y=2PBPA5-T·n,最后得
当ξ = (1,0,0) ，得 x u x ε ∂ = ∂ 。 P Q Q′ P′ 图 3.3 (1) 互相垂直的两微线元间角度的变化 设弹性体上 Pxyz (, ,) 点及其附近的两点 A(, , x dx y dy z dz + + + ) 和 B(, , x xy yz z +++ δ δ δ ) ， PA PB , 互相垂直，变形后变成 P x uy vz w ′(,, + + + ) ， ( , , ) uuu vvv A x dx u dx dy dz y dy v dx dy dz xy z xyz www z dz w dx dy dz xyz ∂∂∂ ∂∂∂ ′ + ++ + + + ++ + + ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ + ++ + + ∂∂∂ 和 ( , , ) uuu vvv B x x u x y zy y v x y z xy z xy z www z zw x y z xyz δ δ δ δδ δ δ δ δ δδδ ∂∂ ∂ ∂∂∂ ′ + ++ + + + ++ + + ∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂∂∂ + ++ + + ∂∂∂ 。 要考察角度的变化，做点乘 ( )( ) 2 2 2 T T T T T T PB PA d d d d d d T δ δ δ δ δ δ ′′ ′′ ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ FF G G JJJJG JJJJG r r r r rr r r r r rr Γ (3.8) 设 PA PB ′′ ′′ , 的夹角为 2 2 π − γ ， 123 ξ = (, , ) ξ ξ ξ 为 PA JJJG 的方向余弦， 123 η = (, , ) η η η 为 PB 的方向余弦， JJJG 1 2 ε ,ε 为 和 方向的相对伸长。 PA PB 2 1 2 1 (1 ) (1 )cos( 2 ) 2 (1 )(1 )sin 2 P B P A PB PA PB PA π ε ε γ εε γ ′′ ′′ ⋅= + + − = ++ JJJJG JJJJG (3.9) 比较(3.8)式与(3.9)式， 2 1 (1 )(1 )sin 2 2 T PB PA + εε γ += ⋅ PB PA ξ Γ⋅η ，最后得 4
y=5-T.n。 长度和角度的变化都与厂有关，这说明下是可用来刻划一点形变的量，称为应变张量。 (二阶张量和矩阵等价) G=二(F+F+F.F)称为Green应变，用于大变形的描述，T=-(F+F)称为 Cauchy应变，用于小变形理论。 1 ou Ov) 1 ou Ox 2 y 20z Ox 611 612 813 r= 1 ou 6p d 1 d e21 82n dy (3.10) Ox 8y 2 dz dy 631 632 ou Ow 0, cw Ow 2 02 Ox 2 z Cy 02 可见 ou Ov dw 61(8)= 82= ay 633= 02 (3.11) 1 du dv 1 612(6m)=621= 为613= + 1 dv O 8x 20z 8x 823= 20z 称为几何方程。 图3.4 2.3应变张量 (1)应变张量在坐标变换下的变化规律 设Γ在坐标系{e,e2,e}下的分量为E,(亿，j=1,2,3),有新坐标系{，e5,e},新旧坐 标系{e,{e}之间的关系为： 5
T γ =⋅⋅ ξ Γ η 。 长度和角度的变化都与 有关，这说明 Γ Γ 是可用来刻划一点形变的量，称为应变张量。 (二阶张量和矩阵等价) 1 ( 2 T T G FF F = ++⋅F) 称为 Green 应变，用于大变形的描述， 1 ( ) 2 T Γ = + F F 称为 Cauchy 应变，用于小变形理论。 1 1 ( )( 2 2 1 1 () ( 2 2 1 1 ( )( ) 2 2 u uv u ) ) w x yx z x uv v vw y xy z uw vw w zx zy z εεε εεε εεε ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + + ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂∂ + + ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂ + + ⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Γ = = y ∂ ∂ (3.10) 可见 11 22 33 12 21 13 23 ( ) , , , 11 1 ( ) ( ), ( ), ( ) 22 2 x xy uvw xyz uv uw vw yx z x zy εε ε ε εε ε ε ε ∂∂∂ === ∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ == + = + = + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ (3.11) 称为几何方程。 B′ 图 3.4 2.3 应变张量 (1)应变张量在坐标变换下的变化规律 设Γ 在坐标系{e e 1 2 , , e3}下的分量为 ( , 1,2,3) ij ε i j = ，有新坐标系{e e 1 2 ′ ′ , ,e3 ′}，新旧坐 标系{e},{e′}之间的关系为： P A′ P′ B A 5