上海交通大学：《弹性理论》教学资源（课程讲义）第4章 应力分析和平衡方程

第四章应力分析和平衡方程 4.1一点受力状态的描述 质点受力作用，只用一个力（三个分量）即可描述。变形体中一点受到四面八方的作用，其受 力状态具有多重方向性，不能用一个向量来描述，需要用张量来描述。 ◆弹性体受力的分类： 外力：其它物体作用的力，包括面力和体力。面力：边界上由于和其它物体接触而受到的作 用力，例如压力、摩擦力等。 体力：作用在弹性上的长程力，例如重力、电磁力，特点是不直接接触就可施加。 内力：弹性体内不同部分由于变形或其它效应而相互作用的力，大多数情况下为分子间的短 程相互作用力。 体力可以是外力，也可以是内力（例如铁磁性材料，材料各部分间会排斥或吸引），本课程中 只考虑外体力的情况。 △S 图4.1 考察弹性体V,想象V内有一封闭曲面S把物体分成内、外两部分，P是曲面S上的任意 一点，以P为形心在S上取出一个面积为△S的面元。n是P点由内向外法线的单位向量， △F为外部物体作用在△S上的合力，若极限lim AF 450A.S 存在，记为t,称为应力向量，显然 t不仅与P的位置有关，也与面元△S的方向有关 ◆Cauchy假设：弹性体内部的任何一个闭合曲面上，有一个确定的应力向量场，它对内 部物质的作用等价于外部物质在其上面的作用。 弹性体内每一点、每一方向都存在一个应力向量，每一点的应力向量有无数多个，如何 描述一点的受力状态？不同方向的应力向量有何关系呢？为此，考察与坐标轴垂直平面上的 应力

1 第四章 应力分析和平衡方程 4.1 一点受力状态的描述 质点受力作用，只用一个力(三个分量)即可描述。变形体中一点受到四面八方的作用，其受 力状态具有多重方向性，不能用一个向量来描述，需要用张量来描述。 ‹ 弹性体受力的分类： 外力：其它物体作用的力，包括面力和体力。面力：边界上由于和其它物体接触而受到的作 用力，例如压力、摩擦力等。 体力：作用在弹性上的长程力，例如重力、电磁力，特点是不直接接触就可施加。 内力：弹性体内不同部分由于变形或其它效应而相互作用的力，大多数情况下为分子间的短 程相互作用力。 体力可以是外力，也可以是内力(例如铁磁性材料，材料各部分间会排斥或吸引)，本课程中 只考虑外体力的情况。 图 4.1 考察弹性体V ，想象V 内有一封闭曲面 S 把物体分成内、外两部分， P 是曲面 S 上的任意 一点，以 P 为形心在 S 上取出一个面积为 ΔS 的面元。 n是 P 点由内向外法线的单位向量， ΔF 为外部物体作用在 ΔS 上的合力，若极限 0 lim Δ →S S Δ Δ F 存在，记为t ，称为应力向量，显然 t 不仅与 P 的位置有关，也与面元 ΔS 的方向有关 ‹ Cauchy 假设：弹性体内部的任何一个闭合曲面上，有一个确定的应力向量场，它对内 部物质的作用等价于外部物质在其上面的作用。 弹性体内每一点、每一方向都存在一个应力向量，每一点的应力向量有无数多个，如何 描述一点的受力状态？不同方向的应力向量有何关系呢？为此，考察与坐标轴垂直平面上的 应力。 V S ΔS n ΔF P

6← 0w P(x,y,) 图4.2 设P点处法向为x轴正向的平面上的应力为T,法向为y轴正向的平面上的应力为 T,法向为z轴正向的平面上的应力为T,将T、T,、T,分解到坐标轴上，得到 Ts=Osex+toe,+oxe: T,=Tmes+one,+txe. (4.1) T.=Te,+tey+o_e: 将这些分量合在一起，写成矩阵的形式 0x Tx Te T= (夕 x (4.2) 0= 根据牛顿第三定律，法线为坐标轴负向的平面上的应力为： T=-0e.-te,-o-e: =-tmes-one,-txe. (4.3) T()=-tes-tsey-o_e: 任意平面上的应力 Ty 己知P点处以坐标轴正向为法线的平面上的应力分量T= 要求P点处 法向为n=(n,n2,n3)的平面上的应力。 2

2 图 4.2 设 P 点处法向为 x 轴正向的平面上的应力为Tx ，法向为 y 轴正向的平面上的应力为 T y ，法向为 z 轴正向的平面上的应力为Tz ，将Tx 、T y 、T y 分解到坐标轴上，得到 x xx x xy y xz z y yx x yy y yz z z zx x zy y zz z στσ τστ ττσ ⎧ = ++ ⎪ ⎨ =+ + ⎪ =++ ⎩ T ee e Te ee Tee e (4.1) 将这些分量合在一起，写成矩阵的形式 xx xy xz yx yy yz zx zy zz σ τ τ τ σ τ τ τ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T (4.2) 根据牛顿第三定律，法线为坐标轴负向的平面上的应力为： (-) (-) (-) x xx x xy y xz z y yx x yy y yz z z zx x zy y zz z στσ τστ ττσ ⎧ =− − − ⎪ ⎨ =− − − ⎪ =− − − ⎩ T ee e T e ee T ee e (4.3) 任意平面上的应力 已知 P 点处以坐标轴正向为法线的平面上的应力分量 xx xy xz yx yy yz zx zy zz σ τ τ τ σ τ τ τ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T ，要求 P 点处 法向为 123 n = (, , ) nn n 的平面上的应力。 σ yy yx τ i yz τ σ xx xz τ xy τ σ zz zx τ zy τ Pxyz (, ,) z y x

图4.3 设三角形ABC的面积为S,SAPBC=S,SMPC=S,SMAPB=S,体力f=(f,∫，)。因 为PBC平面的法线指向x轴的负向，所以PBC面上作用的应力是-O.e.-t,e,-O=e:, 同理APC面上作用的应力是-Tne-One,-te:,APB面上作用的应力是 -T=e.-t3e,-O=e.。设ABC面上的应力是t=(L,t,L),考虑四面体PABC的平衡， 有 1s+fAV-Ggs-TS2-TS3=0 l,s+fAV-Tss-Oms2-TsS3=0 (4.4) 1.s+LAV-TsS1-T=S2-0=53 =0 式中△V为四面体的体积。 由几何关系知S,/S=Cos(n,x)=h,S2/S=C0s(n,y)=n2,S3/S=Cos(n,x)=n3,所以 1 1+。hf=On+txn2+txh 3 1 1,+。h时，=tgn+Onn2+t,n (4.5) 3 1 1+3城=t=%+乃+o-乃 其中h为P点到平面ABC的距离。 当h→0时，得到P点处法线为n的斜面上的应力为 Is =om +Tn+Tn3 t,=Tnn+0yn3+T八 (4.6) 1=Tx=n1+t-n2+0=n3

3 图 4.3 设三角形 ABC 的面积为 s ， 123 , , PBC APC APB S sS s S s ΔΔ Δ = = = ，体力 (, ,) x y z f = f f f 。因 为 PBC 平面的法线指向 x 轴的负向，所以 PBC 面上作用的应力是 σ xx x xy y xz z − ee e − − τ σ ， 同 理 APC 面上作用的应力是 yx x yy y yz z −τ e ee − − σ τ ， APB 面上作用的应力是 zx x zy y zz z −− − τ ee e τ σ 。设 ABC 面上的应力是 (, ,) x y z t = ttt ，考虑四面体 PABC 的平衡， 有 123 1 23 12 3 0 0 0 x x xx yx zx y y xy yy zy z z xz yz zz ts f V s s s ts f V s s s ts f V s s s στ τ τσ τ ττ σ ⎧ + Δ− − − = ⎪ ⎨ + Δ− − − = ⎪ +Δ− − − = ⎩ (4.4) 式中 ΔV 为四面体的体积。 由几何关系知 1 12 23 3 s s x ns s y n s s x n / cos( , ) , / cos( , ) , / cos( , ) = nn n == == = ，所以 123 1 23 12 3 1 3 1 3 1 3 x x xx yx zx y y xy yy zy z z xz yz zz t hf n n n t hf n n n t hf n n n στ τ τσ τ ττ σ += ++ + =+ + + =++ (4.5) 其中 h 为 P 点到平面 ABC 的距离。 当 h → 0 时，得到 P 点处法线为 n的斜面上的应力为 123 1 23 12 3 x xx yx zx y xy yy zy z xz yz zz t nnn t n nn t nn n σ τ τ τστ ττ σ = ++ =+ + =++ (4.6) t P z y x A B C

或t=nT,下标形式为：4=n,0u(ij=1,2,3)。 上式表示只要知道T,P点任意截面上的应力可由(4.6)式求出，说明应力张量T可以完全 描述一点的应力状态。 对动力学情况，(4.6)式仍然成立，只要把惯性力看成体力即可。 >应力的符号：外法线指向坐标轴正向的面称为正面，正面上应力分量沿坐标轴的正向为 正，负向为负：外法线指向坐标轴负向的面称为负面，负面上应力分量沿坐标轴的负向为正， 反之为负。 注意我们这里并没有直接规定应力的正负号，只是用一点处正面上的应力向量的分量来 表示任意面上的应力向量t=T,这里人为选择的只是T,这样便有正面上应力分量沿坐 标轴的正向为正，负向为负：负面上应力分量沿坐标轴的负向为正，反之为负的结果。如果 用一点处负面上的应力向量的分量来当作应力张量，那么结果将是任意面上的应力向量 t=-T。这样选取的结果与材料力学中拉应力为正、压应力为负的规定一致。应力分量o 的第一个下标表示所在面的外法线方向，第二下标表示力的方向，例如t表示与x轴垂直 且法线指向x轴正向的面上y轴方向的应力分量。 >应力张量 在坐标系{e,e2,e}下，一点P的应力张量T己知，要求另一坐标系{e,e2,e}中的应 力张量T',两个坐标系间的关系为：{e,e,e}={e,e,eC或e=c,e,(i=1,2,3)。 e{在坐标系{e,e2,e}中的坐标为(c1,c2,C),根据Cauchy公式(t=nT),与e垂直的 截面上的应力向量为T,由应力张量的定义，得到 Ch i=(eT)e=(c,Cn2,C)T.C2 =C0m9(ij=1,2,3) C13 (4.7) C21 Gi2=(e'-T)2=(cu,C2,C)T.C22 =c0c2j(i,j=1,2,3) C23 同样方法可导出022，O,021,01,O,033,将这些应力分量合写在一起，就是 T=(o)=CTCT (4.8) 0=CkC0(i,jk,S=1,2,3) 这说明T=(o)是二阶张量。 4.2平衡方程 >力的平衡 设P(x,八，)点的应力张量为T,体力密度为「=（∫，∫，∫）（单位体积上的体力），考虑以

4 或t=nTi ，下标形式为： , ( , 1,2,3) i j ji t n ij = = σ 。 上式表示只要知道T ， P 点任意截面上的应力可由(4.6)式求出，说明应力张量T 可以完全 描述一点的应力状态。 对动力学情况，(4.6)式仍然成立，只要把惯性力看成体力即可。 ¾ 应力的符号：外法线指向坐标轴正向的面称为正面，正面上应力分量沿坐标轴的正向为 正，负向为负；外法线指向坐标轴负向的面称为负面，负面上应力分量沿坐标轴的负向为正， 反之为负。 注意我们这里并没有直接规定应力的正负号，只是用一点处正面上的应力向量的分量来 表示任意面上的应力向量t= T ni ，这里人为选择的只是T ，这样便有正面上应力分量沿坐 标轴的正向为正，负向为负；负面上应力分量沿坐标轴的负向为正，反之为负的结果。如果 用一点处负面上的应力向量的分量来当作应力张量，那么结果将是任意面上的应力向量 t=- T ni 。这样选取的结果与材料力学中拉应力为正、压应力为负的规定一致。应力分量σ ij 的第一个下标表示所在面的外法线方向，第二下标表示力的方向，例如 xy τ 表示与 x 轴垂直 且法线指向 x 轴正向的面上 y 轴方向的应力分量。 ¾ 应力张量 在坐标系 123 {, , } eee 下，一点 P 的应力张量T 已知，要求另一坐标系 123 {, , } eee ′′′ 中的应 力张量T′，两个坐标系间的关系为： T 123 123 {, , } {, , } eee eee ′′′ = C 或 ( 1,2,3) i ij j e e ′ = c i = 。 1 e′ 在坐标系 123 {, , } eee 中的坐标为 11 12 13 (, , ) ccc ，根据 Cauchy 公式(t= T ni )，与 1 e′ 垂直的 截面上的应力向量为 1 e′iT，由应力张量的定义，得到 11 11 1 1 11 12 13 12 1 1 13 21 12 1 2 11 12 13 22 1 2 23 ( ) ( , , ) ( , 1,2,3) ( ) ( , , ) ( , 1,2,3) i ij j i ij j c c c c c c c ij c c c c c c c c ij c σ σ σ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′′′ == = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′′′ == = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T T T T i i ii i i ii e e e e (4.7) 同样方法可导出 22 33 21 31 13 33 σ′′′′′′ ,,,,, σσσσσ ，将这些应力分量合写在一起，就是 ( ) ( , , , 1,2,3) T ij ij ik js ks cc i jks σ σ σ ′ ′ = = ′ = = T CTC (4.8) 这说明 ( ) T = σ ij 是二阶张量。 4.2 平衡方程 ¾ 力的平衡 设 Pxyz (, ,) 点的应力张量为 T ，体力密度为 (, ,) x y z f = f f f (单位体积上的体力)，考虑以

为中心的正六面体微元的平衡，将各面上的应力分解到x,y,z轴上，并令其代数和等于零， 即可得到平衡方程。例如从x方向力的平衡可得 O,(x+ 2y4t-o- d 2.y,=)dyde +7a(y+ 2h-tn(k,y- 2.)dxde (4.9) +rz(x.y.+)dxdy-rz(x.y.=-)dxdy+fdkxdbyd=0 2 2 略去泰勒展开的高次项，并约去dkd山，最后得到： 0+0++f=0 (4.10) dx dy 考虑方向和方向的平衡可以得到另外两个方程，合在一起便是平衡方程组 0o+r红+x红+f=0 Ox dy Oz 0y+ at型+ 红+f,=0 (4.11) Ox dy Oz 0r+ im+0o+f-0 Ox dy dz 张量整体形式：7.T+f=0 下标形式：0+f=0(,j=1,2,3)

5 为中心的正六面体微元的平衡，将各面上的应力分解到 x, , y z 轴上，并令其代数和等于零， 即可得到平衡方程。例如从 x 方向力的平衡可得 ( ,,) ( ,,) 2 2 (, ,) (, ,) 2 2 (, , ) (, , ) 0 2 2 x x yx yx zx zx x dx dx x y z dydz x y z dydz dy dy x y z dxdz x y z dxdz dz dz x y z dxdy x y z dxdy f dxdydz σ σ τ τ τ τ + −− ++ −− + +− −+ = (4.9) 略去泰勒展开的高次项，并约去 dxdydz ，最后得到： 0 x zx yx x f xyz ∂ ∂ σ τ ∂τ + + += ∂∂∂ (4.10) 考虑方向和方向的平衡可以得到另外两个方程，合在一起便是平衡方程组 0 0 0 x zx yx x xy y zy y xz yz z z f xyz f xyz f xyz σ τ τ τ στ τ τ σ ⎧ ∂ ∂ ∂ + + += ⎪ ∂∂∂ ⎪ ⎪⎪∂∂∂ ⎨ + + += ∂∂∂ ⎪ ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎪ + + += ⎪⎩ ∂∂∂ (4.11) 张量整体形式：∇ += iT f 0 下标形式： , 0 ( , 1,2,3) ji j i σ += = f ij