上海交通大学：《弹性理论》教学资源（课程讲义）第9章 平面问题的复变函数解法

第九章平面问题的复变函数解法 在平面问题的直角坐标和极坐标解法中我们求解了矩形、三角形、圆形、环形和楔形体 平面问题，那么对更一般的问题应如何求解呢？本章将要介绍的复变函数解法就是一种可以 处理更一般问题的解法，而且不同于半逆解法，它是一种推理型的解法，不需要事先对解的 形式做任何假设。在断裂力学、接触问题、孔口应力集中问题中都有应用，在国外的教科书 中一般称为Kolosov-.Muskhelishvilli方法，评价为One of the most elegant methods in the Theory of Elasticity。 9.1基本概念 z=x+iy,=x-iy 复变量： 1 1 x=2+y= (z-) 2i f(=,)=p(x,y)+ig(x,y) 复函数： f_jxfy-1寸+1-1迎+四-1迎_4 d ox dz dy dz 2 dx 2i dy 2 ax dy'2 dy dx y=2-9)+迎+四， 2axdy2yx 当P,q满足Cauchy-Riemann条件(C-R条件) -92--4 Ox dydy dx 时，则 =0。如果复函 证 数∫在某点满足CR条件，则称∫在该点解析，如果在某个区域内每一点都解析，称为在 此区域内的解析函数。通俗地讲，如果复函数∫与变量三无关即是解析函数。单值解析函 数称为全纯函数，有些函数如ln二，z2就不是单值函数。 解析函数的一些性质： -r. f旦=fa, f@=-0。 0证 9.2位移和应力的复数表示 ()Airy应力函数的复数表示 无体力时，Aiy应力函数U是双调和函数，满足7VU=0,如果令P=7U,则P 是调和函数。引进函数Q使P,Q满足Cauchy-Riemann条件(Q称为P的共轭调和函数)，由 复变函数理论可知，函数F(z)=P(x,y)+Q(x,y)为解析函数。 又令p(e)=∫Fe)止=px)+g(x,)，显然p()也是解析函数，且

1 第九章 平面问题的复变函数解法 在平面问题的直角坐标和极坐标解法中我们求解了矩形、三角形、圆形、环形和楔形体 平面问题，那么对更一般的问题应如何求解呢？本章将要介绍的复变函数解法就是一种可以 处理更一般问题的解法，而且不同于半逆解法，它是一种推理型的解法，不需要事先对解的 形式做任何假设。在断裂力学、接触问题、孔口应力集中问题中都有应用，在国外的教科书 中一般称为 Kolosov-Muskhelishvilli 方法，评价为 One of the most elegant methods in the Theory of Elasticity。 9.1 基本概念 复变量： , 1 1 ( ), ( ) 2 2 z x iy z x iy x zz y zz i =+ =− =+ = − 复函数： (, ) (, ) (, ) 111 ( )( ) 22 2 2 1 ( )( ) 2 2 f z z p x y iq x y f fx fy f f p q i p q z xz yz x iy x y y x f p q ip q z xy yx = + ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + = +− − ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ = −+ + ∂ ∂∂ ∂∂ 当 p,q 满足 Cauchy-Riemann 条件(C-R 条件) , p qp q x yy x ∂ ∂∂ ∂ = = − ∂ ∂∂ ∂ 时，则 0 f z ∂ = ∂ 。如果复函 数 f 在某点满足 C-R 条件，则称 f 在该点解析，如果在某个区域内每一点都解析，称为在 此区域内的解析函数。通俗地讲，如果复函数 f 与变量 z 无关即是解析函数。单值解析函 数称为全纯函数，有些函数如 1 2 ln , z z 就不是单值函数。 解析函数的一些性质： () () ( ), ( ), 0 f fz fz fz fz zz z ∂∂ ∂ === ′ ′ ∂∂ ∂ 。 9.2 位移和应力的复数表示 (1)Airy 应力函数的复数表示 无体力时，Airy 应力函数U 是双调和函数，满足 2 2 ∇ ∇ = U 0，如果令 2 P U = ∇ ，则 P 是调和函数。引进函数Q 使 P Q, 满足 Cauchy-Riemann 条件(Q 称为 P 的共轭调和函数)，由 复变函数理论可知，函数 F z P x y iQ x y () (, ) (, ) = + 为解析函数。 又 令 1 () () (, ) (, ) 4 ϕ z F z dz p x y iq x y = =+ ∫ ，显然 ϕ( )z 也是解析函数，且

pe)=Fe)=2+i9,p=9-P2-9=-g OxOxOx oy4’⑦yar4 再引进一个实函数P,=U-xp-q,容易验证P,是一个调和函数。因此，任意双调和函 数U可表示为U=p+9+P。构造一个新的解析函数(2)=P,+iq,其中g是p,的 共轭调和函数。容易看出，(x-y)(p+iq)+P,+iq,的实部就是U,所以Airy应力函数可 以表示成U=R[zp(z)+X(z)]或2U=zp(z)+X(z)+zp(z)+X(z)。 这样，我们就将任一双调和函数表示为复变函数形式，它通过两个解析函数？和X表示出 来，这就是著名的古萨(Goursat)公式，解析函数p和X称为复势。 (2)应力的复变函数表示 由古萨(Goursat)公式直接求导，得 200 =p+0+三0'+z0+X'+X 8x (9.1) 20=[o-0+0-0+X-] 20℃-20+20+50+Ξp+x+元 dr2 20 0=20+20-0-0-x-7 (9.2) 2℃=E0-9+X-71 2 axoy 则有 -OU-2Rel@]-RelEo"+x"] 0x 02 -2Relo]+Rc 8U 0,= (9.3) To Im[o"+z"] 上式可改写为如下常用形式 o:+o=4Relo'] (9.4) 0,-0x+2ity=2[z0"+X"] 或 ox+o,=4Re[Φ] (9.5) 0,-0.+2iπ=2[zΦ'+ 其中(z)=p',Ψ()=X(z)

2 1 () () 4 p q z Fz i x x ϕ ∂ ∂ ′ = =+ ∂ ∂ ， , 4 4 p qP p q Q xy y x ∂∂ ∂ ∂ = = =− =− ∂∂ ∂ ∂ 。 再引进一个实函数 1 p =− − U xp yq ，容易验证 1 p 是一个调和函数。因此，任意双调和函 数U 可表示为U xp yq p =++ 1。构造一个新的解析函数 1 1 χ( )z p iq = + ，其中 1 q 是 1 p 的 共轭调和函数。容易看出， 1 1 ( )( ) x − + ++ iy p iq p iq 的实部就是U ，所以 Airy 应力函数可 以表示成U zz z = + Re[ ( ) ( )] ϕ χ 或 2 () () () () U zz z zz z = ++ + ϕχ ϕχ 。 这样，我们就将任一双调和函数表示为复变函数形式，它通过两个解析函数ϕ 和 χ 表示出 来，这就是著名的古萨(Goursat)公式，解析函数ϕ 和 χ 称为复势。 (2)应力的复变函数表示 由古萨(Goursat)公式直接求导，得 2 2 U z z x U i zz y ϕϕ ϕ ϕ χ χ ϕ ϕ ϕ ϕχχ ∂ =++ + + + ′ ′′′ ∂ ∂ = −+ − + − ⎡ ⎤ ′ ′′′ ⎣ ⎦ ∂ (9.1) 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2[ ] U z z x U z z y U iz z x y ϕ ϕ ϕ ϕχχ ϕ ϕ ϕ ϕχχ ϕ ϕχχ ∂ = + + + ++ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ∂ ∂ = + − − −− ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ∂ ∂ = − +− ′′ ′′ ′′ ′′ ∂ ∂ (9.2) 则有 2 2 2 2 2 Re[ ] Re[ ] 2 Re[ ] Re[ ] Im[ ] x y xy U z y U z x z σ ϕ ϕχ σ ϕ ϕχ τ ϕχ ∂ == − + ′ ′′ ′′ ∂ ∂ == + + ′ ′′ ′′ ∂ = +′′ ′′ (9.3) 上式可改写为如下常用形式 4 Re[ ] 2 2[ ] x y y x xy i z σ σ ϕ σ σ τ ϕχ + = ′ −+ = +′′ ′′ (9.4) 或 4 Re[ ] 2 2[ ] x y y x xy i z σ σ σσ τ + = Φ − + = Φ +Ψ ′ (9.5) 其中Φ=Ψ= () , () () z zz ϕ′ ′′ χ

(3)位移的复变函数表示 由平面问题应力-应变关系，有 du 1 亦E(o:-o,)= 8x= a℃_y0y-1v'u-1+yay EdyE dxE E Ox2 =Ip-l+vOU=_1+voU.40p E B=- E 0x2 E ax 积分上式，得u=-1+yU4 E axEP+) 同样可以导出v=-1+业U4 E⑦+E9+6m) 另一方面，6= 1au,av、1 yax2μ 一)= ,-+凹aU E axdy 将上面u,v的表示式代入，并注意到p,q满足Cauchy-Riemann条件，最后得到 止+亚=0，由此可知，52都是线性函数，万=y+G,方=-x+G,这说明，方代 dy dx 表刚体位移，可以忽略不计。最后得到 ls- 1+vOU 4 E &xEP (9.6) v=- 1+vU,4 E oyEq 或 aU 4 2lu=- -P &x 1+v aU 4 (9.7 2m=- -q dy 1+v 将U,的复数表示代入上式，得 Ox'ay 2m=3=YRep-ReEp+Z刀 1+y (9.8) 2w= 3-YImo-Im-0+] 1+V 写成复变量的形式为 2u+im)=1+v 3-V (2)-0'(2)-(日)，其中4=X。对平面应变问题，v应换为， 平面问题位移的复表达式可以统一写成 2u(u+iv)=k()-z()-w() (9.9) 3

3 (3)位移的复变函数表示 由平面问题应力-应变关系，有 22 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 11 ( ) 11 1 4 x xy u UU U U x E Ey Ex E E x U Up P E E x E x Ex ν ν ε σ νσ ν ν ∂ ∂ ∂ +∂ = = − = − =∇ − ∂ ∂∂ ∂ +∂ +∂ ∂ = − =− + ∂ ∂∂ 积分上式，得 1 1 4 ( ) U u p fy E xE + ∂ ν =− + + ∂ 同样可以导出 2 1 4 ( ) U v q fx E yE + ∂ ν =− + + ∂ 另一方面， 2 1 1 (1 ) ( ) 2 2 xy xy uv U y x E xy ν ε τ μ ∂ ∂ +∂ = + = =− ∂ ∂ ∂∂ 将上面u v, 的表示式代入，并注意到 p,q 满足 Cauchy-Riemann 条件，最后得到 1 2 0 df df dy dx + = ，由此可知 1 2 f , f 都是线性函数， 1 12 2 f = cy c f cx c + =− + , ，这说明 1 2 f , f 代 表刚体位移，可以忽略不计。最后得到 1 4 1 4 U u p E xE U v q E yE ν ν + ∂ =− + ∂ + ∂ =− + ∂ (9.6) 或 4 2 1 4 2 1 U u p x U v q y μ ν μ ν ∂ =− + ∂ + ∂ =− + ∂ + (9.7) 将 , U U x y ∂ ∂ ∂ ∂ 的复数表示代入上式，得 3 2 Re Re[ ] 1 3 2 Im Im[ ] 1 u z v z ν μ ϕ ϕχ ν ν μ ϕ ϕχ ν − = −+′ ′ + − = −+′ ′ + (9.8) 写成复变量的形式为 3 2 ( ) () () () 1 u iv z z z z ν μ ϕ ϕψ ν − += − − ′ + ，其中ψ = χ′。对平面应变问题，ν 应换为 1 ν −ν ， 平面问题位移的复表达式可以统一写成 2 ( ) () () () μ κϕ ϕ ψ u iv z z z z += − − ′ (9.9)

3-4v plane strain 其中K= 3-V 。上式表明，如果己知复势p,X就可以求出位移分量u和 plane stress +v V。 (4)极坐标中位移和应力的复数表示 极坐标中的位移分量和直角坐标中位移分量的关系为 u,=ucos+vsine (9.10) up =-usin0+vcos 由此可得4，+iu。=(u+iv)e0，所以极坐标中位移的复数表示为 2u(u,+iug)=e-[ko(=)-z0'(z)-w(=)] (9.11) 根据极坐标和直角坐标下应力分量的关系，可导出极坐标中应力的复数表示， 0,+0。=0x+0,=4ReΦ(z) (9.12) oo-o,+2ire=2e2[E'(a)+平(e月 9.3边界条件的复变函数表示 设弹性体边界L上作用的面力为(Xn,Y),n外法向。P为L的起点，P为L上任意一 点，从P到P的弧长为S。由柯西公式，有 X =o,cos(n,x)+cos(n,y)= o'U dy ou dx d au oy ds axoy dsds oy Y=t cos(n,)+cos(n.)=- u少_au-40L axoy ds dx2 dsds dx auaU 写成复数形式，并将将 Ox'd -的复数表示代入，得 aU (X +ir )ds=-id -idlo(z)+z'()+w()] (9.13) 记F,F,为面力分量X,Y在弧PP上的合力，则有 F +iFy= jX.+,)k=-o(e)+0G)+vE (9.14) 再将边界PP上面力对坐标原点取矩，有 分部积分后得 4

4 其中 3 4 plane strain 3 plane stress 1 ν κ ν ν ⎧ − ⎪ = ⎨ − ⎪ ⎩ + 。上式表明，如果已知复势ϕ, χ 就可以求出位移分量u 和 v 。 (4)极坐标中位移和应力的复数表示 极坐标中的位移分量和直角坐标中位移分量的关系为 cos sin sin cos r uu v uu v θ θ θ θ θ = + =− + (9.10) 由此可得 ( ) i r u iu u iv e θ θ − + =+ ，所以极坐标中位移的复数表示为 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] i r u iu e z z z z θ μ κϕ ϕ ψ θ − += − − ′ (9.11) 根据极坐标和直角坐标下应力分量的关系，可导出极坐标中应力的复数表示， 2 4Re ( ) 2 2 [ ( ) ( )] r xy i r r z i ez z z θ θ θ θ σ σ σσ σσ τ +=+= Φ − + = Φ +Ψ ′ (9.12) 9.3 边界条件的复变函数表示 设弹性体边界 L 上作用的面力为( ,) Xn n Y ，n外法向。P0 为 L 的起点，P 为 L 上任意一 点，从 P0 到 P 的弧长为 s 。由柯西公式，有 2 2 2 2 2 2 cos( , ) cos( , ) ( ) cos( , ) cos( , ) ( ) n x xy n xy y U dy U dx d U X nx ny y ds x y ds ds y U dy U dx d U Y nx ny x y ds x ds ds x σ τ τ σ ⎧ ∂∂ ∂ = + =+ = ⎪ ⎪ ∂ ∂∂ ∂ ⎨ ⎪ ∂ ∂ ∂ = + =− − =− ⎪ ⎩ ∂ ∂∂ ∂ 写成复数形式，并将将 , U U x y ∂ ∂ ∂ ∂ 的复数表示代入，得 ( ) [ ( ) ( ) ( )] n n U U X iY ds id i id z z z z x y ϕ ϕψ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + =− + =− + + ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ (9.13) 记 , F F x y 为面力分量 , Xn n Y 在弧 P Pp0 上的合力，则有 0 0 ( ) [ ( ) ( ) ( )] P P x y nn P P F iF X iY ds i z z z z + = + =− + + ϕ ϕψ ′ ∫ (9.14) 再将边界 P Pp0 上面力对坐标原点取矩，有 0 0 ( ) P P n n P P U U M xY yX ds xd yd x y ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞ = − =− + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ，分部积分后得

M=- (9.15) 注意到x Re[zo()++()+()], U=Re[Ep(e)+(e小，最终得到M=Re[x(e)-y(e)-0(e片。 9.4复势函数0、w的确定程度 以复势函数表示应力为 o,+ox=2(p'(z)+p'(z)=4Re(p'(z) 0,-0.+2iπ=2(E0"(z)+w'(z》) 假设9、p2、、2都满足上式 R(g-p2)=0,g=p2'+iC,C实常数 两边积分，得0，=02+iCz+y,y为复常数。所以，0，”=2”，三0”+41=z02”+2 =2,W2=41+Y'这说明将(2)用p+iCz+y,y(z)用w+y'代替，应力保持不变。 因此，在不改变应力状态的条件下，可以任意选择C、y、Y 再看位移 2u(u+im)=k0-z0'-w(z) 以p+iCz+y代替p(z),y+Y代替w(z),得 2u(u+iv)=ko-zo'-+i(k-1)Cz+yk-y (9.16) 3-4v 平面应变 其中K= 3-v 。由此可见，如果位移场给定，必须C=0,yk-Y'=0,实 平面应力 1+v 际上，i(K-1)Cz代表刚体转动，-y'代表平移。 9.5平面问题的复变函数表达 应力、位移的复数表示，己满足弹性力学的全部方程，尚需考虑的只有边界条件的满足。 前面己经导出了边界上面力的合力和合力矩的复数表示形式。 F.+iF,-J(X.+iYds--ilo()+2+ (9.17 M=Relx(=)-W(=)-( (9.18)

5 [ ] 0 0 P P P P U U MU x y x y ⎡ ∂ ∂ ⎤ =− + ⎢ ⎥ ⎣ ∂ ∂ ⎦ (9.15) 注意到 Re Re[ ( ) ( ) ( )] U U UU x y z i z z zz z z z x y xy ϕ ϕψ ∂ ∂ ∂∂ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + = − = ++ + ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ , U zz z = + Re[ ( ) ( )] ϕ χ ，最终得到 0 Re[ ( ) ( ) ( )]P M P = −− χψ ϕ z z z zz z ′ 。 9.4 复势函数ϕ 、ψ 的确定程度 以复势函数表示应力为 2( ( ) ( )) 4 Re( ( )) 2 2( ( ) ( )) y x y x xy zz z i zz z σσ ϕ ϕ ϕ σσ τ ϕ ψ += + = ′ ′ ′ −+ = + ′′ ′ 假设ϕ1、ϕ2 、ψ 1、ψ 2 都满足上式 Re( ) 0, , 12 12 ϕϕ ϕϕ ′′ ′′ −= + ＝ 实常数 iC C 两边积分，得 1 2 ϕ＝ϕ γ + + iCz ，γ 为复常数。所以， 12 11 2 2 ϕ ϕ ϕψ ϕψ , z z ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ = += + 1 22 1 ψ ψψ ψγ , ′ ′ = =+ ′ 这说明将ϕ( )z 用ϕ + iCz + γ ，ψ ( )z 用ψ + γ ′代替，应力保持不变。 因此，在不改变应力状态的条件下，可以任意选择C 、γ 、γ ′ 再看位移 2 ( ) () μ ϕ ϕψ u iv k z z +=− −′ 以ϕ + + iCz γ 代替ϕ( )z ，ψ + γ ′代替ψ ( )z ，得 2 ( ) ( 1) μ u iv k z i Cz + = − −+ − + − ϕ ϕ ψ κ γκ γ ′ ′ (9.16) 其中 3 4 3 1 v v v κ ⎧ − ⎪ = ⎨ − ⎪ ⎩ + 平面应变 平面应力 。由此可见，如果位移场给定，必须 C k = 0, ' 0 γ − = γ ，实 际上，i Cz ( 1) κ − 代表刚体转动，γκ γ − ′ 代表平移。 9.5 平面问题的复变函数表达 应力、位移的复数表示，已满足弹性力学的全部方程，尚需考虑的只有边界条件的满足。 前面已经导出了边界上面力的合力和合力矩的复数表示形式。 0 0 ( ) [ ( ) ( ) ( )] P P x y nn P P F iF X iY ds i z z z z + = + =− + + ϕ ϕψ ′ ∫ (9.17) 0 Re[ ( ) ( ) ( )]P M P = −− χψ ϕ z z z zz z ′ (9.18)