第七章平面问题的基本理论和直角坐标解法 7.1平面问题的分类及基本方程 弹性力学一般的三维问题有几何方程、平衡方程和本构关系15个未知量，15个方程， 求解非常复杂，即使简单几何形状的物体，求解也很烦琐。严格地说，任何弹性力学都是空 间问题，也就是说应力、应变和位移都是空间坐标(x,y,)的函数，但如果物体具有某种特 殊的几何形状，载荷分布呈一定规律，三维问题就可以简化为二维问题。 设物体x,y,z方向的尺寸为1,1，1，考察下面两种情况。 (1)1,之1，如果1，是常量，就是等厚度薄板。只在板边作用有平行于板面的面力，体力 也平行于板面，板面内没有载荷作用。面力、体力沿板的中面且不随厚度变化，如果板的厚 度很小，可以假设与中面垂直的应力分量均为零，其余的应力分量沿厚度保持不变，称为平 面应力问题。（如图1所示） 选取坐标系使x,y平面与板中面重合，z方向是厚度方向，则有 0.=0(x,y),0,=0,(x,y)tg=t(x,y,te=t==0:=0 (7.1) 代入本构关系，= 1+y。y EogE0u,得 1 -Fo,- 6x 1 6,=E0,E0: (7.2) 、上 E(c,+a,) 1+y 6wE 广义平面应力问题：如果应力分量沿厚度不是均匀分布的而是关于中面对称的（如果不对称 将产生弯矩就不是平面问题而是弯曲问题)，称为广义平面问题，这时可采用平均化的方法， h/2 J(x.y)= f(x,y,),h为薄板的厚度，各物理量平均化后可以看成平面问题。 h 平面应力状态的近似之处：从应变协调方程 0'6=0 O6s0606) axdy dz dy dz ox 20686, 08: ox2 (7.3) 0yoz 022 0s-2020s ov2 0x0 02
1 第七章 平面问题的基本理论和直角坐标解法 7.1 平面问题的分类及基本方程 弹性力学一般的三维问题有几何方程、平衡方程和本构关系 15 个未知量，15 个方程， 求解非常复杂，即使简单几何形状的物体，求解也很烦琐。严格地说，任何弹性力学都是空 间问题，也就是说应力、应变和位移都是空间坐标(, ,) x y z 的函数，但如果物体具有某种特 殊的几何形状，载荷分布呈一定规律，三维问题就可以简化为二维问题。 设物体 x, , y z 方向的尺寸为 , , x y z lll ，考察下面两种情况。 (1) , x y z ll l ，如果 zl 是常量，就是等厚度薄板。只在板边作用有平行于板面的面力，体力 也平行于板面，板面内没有载荷作用。面力、体力沿板的中面且不随厚度变化，如果板的厚 度很小，可以假设与中面垂直的应力分量均为零，其余的应力分量沿厚度保持不变，称为平 面应力问题。(如图 1 所示) 选取坐标系使 x, y 平面与板中面重合， z 方向是厚度方向，则有 ( , ), ( , ), ( , ), 0 x x y y xy xy xz yz z σ = = = === σ σσ τ τ τ τ σ xy xy xy (7.1) 代入本构关系 1 ij ij kk ij E E ν ν ε σ σδ + = − ，得 1 1 ( ) 1 x x y y yx z xy xy xy E E E E E E ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε τ = − = − =− + + = (7.2) 广义平面应力问题：如果应力分量沿厚度不是均匀分布的而是关于中面对称的(如果不对称 将产生弯矩就不是平面问题而是弯曲问题)，称为广义平面问题，这时可采用平均化的方法， / 2 / 2 1 (, ) (, ,) h h f x y f x y z dz h − = ∫ ， h 为薄板的厚度，各物理量平均化后可以看成平面问题。 平面应力状态的近似之处：从应变协调方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 xz xy yz z z yz y z xz x x y zy z x x yz z y xz z ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = −+ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂∂ ∂ (7.3)
可知0=0.0s=0,0g=0,即E是xy的线性函数，也就是说0，+0，是xy的线 Oxoy 0x2 性函数。但一般来说按平面应力条件求出的解并不满足这样的条件，就是说平面应力状态应 变协调方程未严格满足。为什么会出现这样的情况呢？其原因就是平面应力的假设 t:=ts=O:=0过强，实际上这三个应力分量是存在的，但板的上下表面自由，这三个应 力分量在上下表面为零，由于板足够薄，沿厚度方向不可能有很大的应力梯度，因此 t=,t=,O这三个应力分量即使存在也是很小的，可以通过量纲分析证明xx,t=是面内应力 的2备：。，是面内应力的宁信，其中方是板厚，L是海板中面的最大尺寸。所以。虽然 平面应力假设并不严格满足应变协调方程，但仍能得到精度很高的结果。 图1平面应力问题 (2)I,1,≤1，等截面长柱体，如水坝、隧道等。所受载荷与轴线垂直，沿轴线方向均匀分 布，如果柱体两端受到刚性约束，则可以认为柱体内每一点都没有轴向位移，每个横截面的 变形都发生在截面内，这类问题称为平面应变问题（如图2所示），可以假设 u=(x,y),v=v(x,y),w=0,由此可推出 auav1,au,ov、 8x= w=5( +,Ex=6==6:=0 (7.4) oy' 2 dy ox 入本构关系&：=二o.-（(o,+0,),得C:=(o,+0),代入本构关系其它 2
2 可知 222 2 2 0, 0, 0 z zz xy x y ∂∂∂ εεε === ∂∂ ∂ ∂ ，即 z ε 是 x, y 的线性函数，也就是说σ x +σ y 是 x, y 的线 性函数。但一般来说按平面应力条件求出的解并不满足这样的条件，就是说平面应力状态应 变协调方程未严格满足。为什么会出现这样的情况呢？其原因就是平面应力的假设 0 xz yz z τ === τ σ 过强，实际上这三个应力分量是存在的，但板的上下表面自由，这三个应 力分量在上下表面为零，由于板足够薄，沿厚度方向不可能有很大的应力梯度，因此 , , xz yz z τ τ σ 这三个应力分量即使存在也是很小的，可以通过量纲分析证明 , xz yz τ τ 是面内应力 的 h L 倍；σ z 是面内应力的 2 ( ) h L 倍，其中 h 是板厚，L 是薄板中面的最大尺寸。所以，虽然 平面应力假设并不严格满足应变协调方程，但仍能得到精度很高的结果。 图 1 平面应力问题 (2) , x y z ll l ，等截面长柱体，如水坝、隧道等。所受载荷与轴线垂直，沿轴线方向均匀分 布，如果柱体两端受到刚性约束，则可以认为柱体内每一点都没有轴向位移，每个横截面的 变形都发生在截面内，这类问题称为平面应变问题 ( 如 图 2 所 示 ) ，可以假设 u uxy v vxy w == = ( , ), ( , ), 0，由此可推出 1 , , ( ), 0 2 x y xy xz yz z u v uv x y yx ε ε ε εεε ∂ ∂ ∂∂ = = = + = == ∂ ∂ ∂∂ (7.4) 代入本构关系 1 ( ) z z xy E E ν ε =− + σ σσ ，得 ( ) σ z xy =νσ σ+ ，代入本构关系其它方程
+yg-1+2(o,+o,) 6x= 0x- E E +y。-l+2(o,+o,) 8= -0 (7.5) E E 1+y E 8y= 形式与平面应力不同。 5总=亡品-气.脸女变先调写 E (6,+0,) E 1+6,E Ey (o,+0y) (7.6) E 1+yt对 w E 这样就和平面应力问题的本构关系形式相同。 如果柱体两端不是刚性约束（可以自由伸缩或受载荷），称为广义平面应变问题，这时可能 O:≠V(o,+O,),可以通过叠加一组在横截面上线性分布的轴向力σ：=ax+by+c来解 决，使σ+V(σ+0，)与实际载荷o静力等效，即 ∬(a:+(a.+o,》dk=∬od ∬(a+v(o,+o,》xd=J∬oxds (7.7) a:+(a,+a,k=∬ob 2为柱体的截面，以上三个方程，正好确定三个待定常数α，b,c,广义平面应变问题的解 就是按平面应变问题解出的Ox,O,T,和O=O!+V(o,+O,)。按照圣维南原理，这样做 除了端面附近外与真实情况无太大差别。 平面应力问题和平面应变问题的平衡方程，几何方程相同，本构关系形式相同，可以合 在一起研究，统称为平面问题。 3
3 1 (1 ) ( ) 1 (1 ) ( ) 1 x x xy y y xy xy xy E E E E E ν ν ν ε σ σσ ν νν ε σ σσ ν ε τ + + =− + + + =− + + = (7.5) 形式与平面应力不同。 如果令 1 11 1 1 2 2 1 1 (1 2 ) ,(, ) 1 1 1 (1 ) E E E E ν ν ν ν ν ν νν ν + = == = − −+ + ，则应力-应变关系(7.5)可以写成 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 x x xy y y xy xy xy E E E E E ν ν ε σ σσ ν ν ε σ σσ ν ε τ + = −+ + = −+ + = (7.6) 这样就和平面应力问题的本构关系形式相同。 如果柱体两端不是刚性约束(可以自由伸缩或受载荷)，称为广义平面应变问题，这时可能 ( ) σ z xy ≠ + νσ σ ，可以通过叠加一组在横截面上线性分布的轴向力 z σ′ =++ ax by c 来解 决，使 ( ) σ z xy ′ + + νσ σ 与实际载荷 * σ z 静力等效，即 * * * ( ( )) ( ( )) ( ( )) z xy z z xy z z xy z ds ds xds xds yds yds σ νσ σ σ σ νσ σ σ σ νσ σ σ Ω Ω Ω Ω Ω Ω ′ ++ = ′ ++ = ′ ++ = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (7.7) Ω 为柱体的截面，以上三个方程，正好确定三个待定常数 abc , , ，广义平面应变问题的解 就是按平面应变问题解出的 , , σ x σ τ y xy 和 ( ) σ z z xy =σ νσ σ ′ + + 。按照圣维南原理，这样做 除了端面附近外与真实情况无太大差别。 平面应力问题和平面应变问题的平衡方程，几何方程相同，本构关系形式相同，可以合 在一起研究，统称为平面问题
0 图2平面应变问题 >平面问题的基本方程 1 几何方程：8=2aA+"ea)(a,B=12) 平衡方程：0.B+f。=0(a,B=1,2) 本构关系： E=E,V=V plane stress E -兰ondw(a,B,7=l2 plane strain 应变协调方程： + 06g ©2 Oxoy 加上边界条件，就构成了平面问题求解的基本要素。 >以位移表示的平面问题的方程 整体形式： ++业vw+f=0 72u (7.8) 1-1 4
4 图 2 平面应变问题 ¾ 平面问题的基本方程 几何方程： , , 1 ( ) ( , 1,2) 2 u u αβ α β β α ε αβ =+ = 平衡方程： , f 0 ( , 1,2) σ αβ β α += = α β 本构关系： 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , plane stress 1 ( , , 1,2) , plane strain (1 ) 1 E E E E E E αβ αβ γγ αβ ν ν ν ν ε σ σ δ αβγ ν ν ν ν ⎧ = = + ⎪ =− = ⎨ = = ⎪ ⎩ − − 应变协调方程： 2 2 2 2 2 2 x y xy y x xy ∂ ε ∂ ∂ ε ε + = ∂ ∂ ∂∂ 加上边界条件，就构成了平面问题求解的基本要素。 ¾ 以位移表示的平面问题的方程 整体形式： 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 ν ν μ + ∇ + ∇∇ + = − u u f0 i (7.8)
分量形式： +yau+o必)+1f=0 Vu+ 1-v dx dx dy 1+yau+0)+1f,=0 (7.9) 1-v ay ax dy 其中V2= 3+、 是=维Laplace算子，了= i+j二维Hamlon算子。 8x >以应力表示的平面问题的方程 将本构关系 E _4(6,+0,) E +6,E y= (o,+0y) (7.10) E 1+yt对 w E 代入应变协调方程： 0型，得 axdy s ⊙2 8o-v dx2 0+0）=20+wa 2 (7.11) 从平衡方程 t型+f.=0 00x+ Ox y (7.12) a0z+,=0 a7.12+7.122得 y + d2 o+2 +头+=0 (7.13) Oxoy dx oy (7.11)八(7.13)消去t,得( *家a,+a,J+0+yx+）=0,即 2 Ox oy 72(o.+o,)+(1+y)7f=0 (7.14) 无体力时，72(o+0,)=0。 7.2Airy应力函数
5 分量形式： 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 () 0 1 1 1 () 0 1 x y u v u f xx y u v v f yx y ν ν μ ν ν μ ⎧ + ∂∂ ∂ ∇+ + + = ⎪ ⎪ −∂∂ ∂ ⎨ + ∂∂ ∂ ⎪∇+ + + = ⎪ −∂∂ ∂ ⎩ (7.9) 其中 2 2 2 2 2 x y ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ 是二维 Laplace 算子， x y ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ i j 二维 Hamilton 算子。 ¾ 以应力表示的平面问题的方程 将本构关系 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 x x xy y y xy xy xy E E E E E ν ν ε σ σσ ν ν ε σ σσ ν ε τ + = −+ + = −+ + = (7.10) 代入应变协调方程： 2 2 2 2 2 2 x y xy y x xy ∂ ε ∂ ∂ ε ε + = ∂ ∂ ∂∂ ，得 2 2 2 22 22 22 1 1 ( ) 2(1 ) x x y y xy y x x y xy σ σ σ σ τ ν ν ∂ ∂ ∂ ∂∂ + − + =+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ (7.11) 从平衡方程 0 0 x xy x xy y y f x y f x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.12) 1 2 (7.12) (7.12) x y ∂ ∂ + ∂ ∂ 得 2 2 2 2 2 2 0 x x y xy y f f x y xy x y ∂ ∂ σ ∂∂ ∂ σ τ + + ++= ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ (7.13) (7.11)、(7.13)消去 xy τ 得 2 2 2 2 1 ( )( ) (1 )( ) 0 x y x y f f x y xy σσ ν ∂ ∂ ∂ ∂ + + ++ + = ∂ ∂ ∂∂ ，即 2 1 ( ) (1 ) 0 ∇ + ++ ∇= σσ ν x y if (7.14) 无体力时， 2 ( )0 ∇ += σ σ x y 。 7.2 Airy 应力函数