注3:罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个,例如: x‘sin21,x≠0 f(x) 0,x=0 x=0.2:0.005:0.2;y=(x.4).*(sin(1./x)).2) plot(x,y,’r3) axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在[-1,1]上满足罗尔定理的条件, xsin2￥-2x2sin￥cos 显然f(x)= 0.5 0. 在(-1,1)内存在无限多个Cn=(n∈z) -0.20.15-0.1-0.05 0.050.10.150.2 2n丌 -0.5 使得∫(cn)=0
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10 注 3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如： = = 0 ,x 0 x sin , x 0 f(x) x 4 2 1 x =-0.2:0.005:0.2; y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2); plot(x,y,'r') axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件， 显然 = − = 0, x 0 4x sin 2x sin cos f (x) x 1 x 1 x 3 2 1 2 在（-1，1）内存在无限多个 n c = ( ) 2 1 n z n 使得 ( ) n f c =0
2、拉格朗日( Lagrange)中值定理:若函数f满足如下条件: (i)f在闭区间[a,b]上连续; (ii)f在开区间(a,b)内可导; y y=f(x) 在(a,b)内至少存在一点ξ, B 使得 r)=(b)-/a (分析)罗尔定理是拉格朗日 中值定理:f(a)=f(b)时的特殊情况,应用 罗尔定理证明此定理要构造辅助函数F(x),使得F(x)满足罗尔定理的条件 (i)-(iii)H.(x)=f(r)-/(b)-f(a
1 x 2 b o x y y = f (x) A B 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件： （i）ƒ在闭区间[a,b ]上连续； （ii）ƒ在开区间(a,b )内可导； 则在（a，b）内至少存在一点ξ， 使得 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) （分析）罗尔定理是拉格朗日 中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用 罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 F(x) ，使得F(x) 满足罗尔定理的条件 （i）-(iii) 且 b a f b f a F x f x − − = − ( ) ( ) ( ) ( )