4.1.6多项式的运算性质 定理设/(x)和g(x)是数环R上两个多项式并且 f(x)≠0,g(x)≠0那么 (i)当f(x)+g(x)≠0时, o"(/(x)+(x)≤max("(/(x)a"(g(x) (i)o"(/(x)g(x)=(/(x)+o(g(x) 11【首页[上页返回【下页匚结束铃
11 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.1.6 多项式的运算性质 定理 设f (x)和g(x) 是数环R上两个多项式,并且 f (x) 0, g(x) 0 .那么 （i）当 f (x)+ g(x) 0 时, (f (x) g(x)) ( (f (x)) (g(x))) 0 0 0 + max , （ii） (f (x)g(x)) (f (x)) (g(x)) 0 0 0 = +
证:设o"((x)=n,O(g(x)=m f(x)=a+a1x+a2x2+…+anx",an≠0 g(x)=b+bx+b2x2+…+bnxm,bn≠0 且m≤n那么 f(x)+g(x)=(ao+b)+(a1+b)x+(a2+b)2+…+(n+b)x(1) f(xig(x)=aob+(aob,+a,bo )x+.+a, bmx"tm (2) 由(1),f(x)+g(x)的次数显然不超过n,另一方面, 由an≠0,bn≠0得anbn≠0,所以由(2得f(x)g(x) 的次数是n+m 12首页上页【返回下页结束铃
12 首页 上页 返回 下页 结束 铃 证: (f (x)) = n (g(x)) = m 0 0 设 , ( ) , 0 2 = 0 + 1 + 2 + + n n f x a a x a x an x a ( ) , 0 2 = 0 + 1 + 2 + + m m g x b b x b x bm x b 且 m n 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x + g x = a + b + a + b x + a + b x ++ a + b x 2 0 0 1 1 2 2 （1） ( ) ( ) ( ) n m n m f x g x a b a b a b x a b x + = 0 0 + 0 1 + 1 0 ++ （2） 由（1）， f (x)+ g(x) 的次数显然不超过n，另一方面， 由an 0, bm 0得an bm 0 ，所以由(2)得 f (x)g(x) 的次数是n + m
推论1(x)(x)=0÷f(x)=0或8(x)=0 证若是(x)和g(x)中有一个是零多项式,那么由多项 式乘法定义得f(x)g(x)=0.若是f(x)≠0g(x)≠0 那么由上面定理的证明得f(x)g{x)≠0 推论2f(x)g(x)=f(x)1(x)(x)≠0→g()=hx) 证由/(xg(x)=(x(得(x(x)-b(x)。但f(x)≠=0 所以由推论1必有g(x)h(x)=0,即 (x)=h(x) 13【首页[上页返回【下页匚结束铃
13 首页 上页 返回 下页 结束 铃 推论2 f (x)g(x) = f (x)h(x), f (x) 0 g(x) = h(x) 证 由 f (x)g(x) = f (x)h(x) 得 f (x)(g(x)−h(x)) 。但 f (x) 0 所以由推论1必有 g(x)− h(x) = 0 ,即 g(x) = h(x) 证 若是 f (x)和g(x) 中有一个是零多项式，那么由多项 f (x)g(x) = 0 . 若是 f (x) 0且g(x) 0 那么由上面定理的证明得 f (x)g(x) 0 式乘法定义得 推论1 f (x)g(x) = 0 f (x) = 0 或 g(x) = 0
例当abc是什么数时,多项式 f()=ax+bx2+c+b(x3+x2) (1)是零多项式? (2)是零次多项式? 14【首页[上页返回【下页匚结束铃
14 首页 上页 返回 下页 结束 铃 当 a,b,c 是什么数时，多项式 ( ) ( ) 3 2 3 2 f x = ax + bx + c + b x + x （1）是零多项式？ （2）是零次多项式？ 例
4.2多项式的整除性 内容分布 4.2.1多项式的整除概念 4.22多项式整除性的一些基本性质 4.2.3多项式的带余除法定理 4.24系数所在范围对整除性的影响 二、教学目的 掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2.熟练运用带余除法。 三、重点、难点 多项式的整除概念,带余除法定理 15【首页[上页【返回【下页匚结束铃
15 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.2 多项式的整除性 一、内容分布 4.2.1 多项式的整除概念 4.2.2 多项式整除性的一些基本性质 4.2.3 多项式的带余除法定理 4.2.4 系数所在范围对整除性的影响 二、教学目的 1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。 三、重点、难点 多项式的整除概念，带余除法定理