4.2.1多项式的整除概念 设F是一个数域.F[x是F上一元多项式环 定义1 设(xg(x)∈Fx,如果存在H(x)Fx,使得 f(x)=g(x)(x),则称g(整除∫(x),记为 g(x)f(x),此时称g(x)是f(x)的因式,否则称 g()不能整除/(x),记为K+x 16【首页[上页返回【下页匚结束铃
16 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.2.1 多项式的整除概念 设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环. 定义1 设f (x), g(x) F[x] ，如果存在 h(x) F[x] ，使得 f (x) = g(x)h(x) ，则称 整除 ，记为 g(x)| f (x) ，此时称 g(x) 是 f (x) 的因式，否则称 g(x) 不能整除 f (x) ，记为 g(x) f (x)
4.2.2多项式整除性的一些基本性质 (1)h()lg(x)gx)lf(x)=hx)lf(x) (2)H(x)|f(x)(x)g(x)→hx)((x)±gx) (3)H(x)f(x)vg(x)∈Fx]→hx)f(x)g(x) (4)H(x)f(x)6=12,…,k)vg(x)=1,2…k)→(x)(/:g1±…±f8) (5)V0≠c∈F,V(x)∈Fx→c|f(x) (6)V0≠c∈F,V(x)∈Fx→f(x)f(x) (7)f(x)g(x)g(x)f(x)→f(x)=cg(x)0≠c∈F) 17首页上页【返回下页结束铃
17 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.2.2 多项式整除性的一些基本性质 （1） h(x)| g(x), g(x)| f (x) h(x)| f (x) （2） h(x)| f (x),h(x)| g(x) h(x)|(f (x) g(x)) （3） h(x)| f (x),g(x) F[x] h(x)| f (x)g(x) （4） ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) i i k k h x f x i = k g x i = k h x f g f g 1 1 | 1,2, , , 1,2, , | （5） 0 c F,f (x) F[x] c | f (x) （6） 0 c F,f (x) F[x] cf (x)| f (x) （7） f (x)| g(x), g(x)| f (x) f (x) = cg(x)(0 c F)
4.2.3多项式的带余除法定理 定理设x)g(x)∈Fx],且8()≠0,则存在 q(x)r(x)∈Fx,使得f(x)=g(x1(x)+x) 这里r(x)=0,或者"((x)<a(8(x) 并且满足上述条件的qx)和(x)只有一对 注1:3))分别称为()除(x所得的商式和 余式 注2:g(x)≠0,g(x)(x)en(x)=0 18匚首页上页【返回匚下页结束铃
18 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.2.3 多项式的带余除法定理 定理 设f (x), g(x)F[x] ，且 g(x) 0 ，则存在 q(x), r(x)F[x], 使得 f (x) = g(x)q(x)+ r(x) 这里 r(x) = 0 ，或者 ( ( )) ( ( )). 0 0 r x g x 并且满足上述条件的 q(x)和r(x) 只有一对。 注1： q(x), r(x) 分别称为 g(x)除f (x) 所得的商式和 余式 注2： g(x) 0, g(x)| f (x) r(x) = 0
证:先证定理的前一部分 (i)若f(x)=0,或。(()<o"(g(x).则可以取 q(x)=0.,r(x)=f(x) i)若f(x)≠0,且(()2(g()把/(x)g(x) 按降幂书写: f(x)=aox"+a,xnl+.+am-x+a 8(x)=bxm+b,xml+.+bm_x+b 这里an≠0,b0≠0,并且n≥m 令q1(x)= a b x”m,并记f(x)=f(x)-g(x(x) 咄性口
19 首页 上页 返回 下页 结束 铃 证：先证定理的前一部分. （i）若 f (x) = 0 , 或 (f (x)) (g(x)) 0 0 . 则可以取 q(x) = 0, r(x) = f (x) （ii）若 f (x) 0 ,且 ( ( )) ( ( )). 0 0 f x g x 把f (x)和g(x) 按降幂书写: ( ) n n n n f x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( ) m m m m g x = b x + b x + + b − x + b − 1 1 0 1 这里 a0 0, b0 0 ,并且 n m ( ) n m n m q x a b x − − = 1 令 1 ，并记 ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 f x = f x −q x g x f (x) 则 1 有以下性质：
或者f(x)=0或o"(f(x)<o(/(x) 若是f()≠O且a((x)≥a(g(x)则对f(x) 重复上面的过程。如此进行,我们得出一列多项式: f(x)2(x)…f(x)…及q(x)q2(x)…,q(x) 使得f1(x)=f(x)-qa(x)g(x) 而 o"((x)>a((x)…>o"(g(x) 由于多项式f(x)(x)…的次数是递降的,故存在k使 f(x)=0或O((x)<o"(g(x),于是 q(x)=q1(x)+…+q1(x)及r(x)=f(x) 绘出了所说的小■贝结】铃 20 上页
20 首页 上页 返回 下页 结束 铃 或者 f (x) (f (x)) (f (x)) 0 1 0 1 = 0或 若是 f (x) (f (x)) (g(x)) 0 1 0 1 0且 . 则对 f (x) 1 重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式： f 1 (x), f 2 (x), , f k (x), 及 q1 (x),q2 (x), ,qk (x), 使得 f (x) f (x) q (x)g(x) k+1 = k − k+1 而 (f (x)) (f (x)) (g(x)) 0 1 0 0 由于多项式 f 1 (x), f 2 (x), 的次数是递降的, 故存在k使 f (x) (f (x)) (g(x)) k k 0 0 = 0或 ，于是 q(x) q (x) q (x) r(x) f (x) = 1 ++ k 及 = k 便给出了所说的表示