3.初等矩阵的性质 (①)初等矩阵都是可逆矩阵： (2)初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵： (3)初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵； E(i,j)=E(i,j); E()'=E(册 j,i)1=E-,). 4初等矩阵在矩阵乘法中的作用 对矩阵进行初等变换，可通过左乘或右乘相应的初 等矩阵来表示
3.初等矩阵的性质 (1)初等矩阵都是可逆矩阵； (2)初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵； (3)初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵； 1 E i j E i j ( , ) ( , ); − = 1 1 E i k E i ( ( )) ( ( )); k − = 1 E j k i E j k i ( ( ), ) ( ( ), ) . − = − 4.初等矩阵在矩阵乘法中的作用 . , 等矩阵来表示 对矩阵进行初等变换 可通过左乘或右乘相应的初
例如 L11 l12 。 ai di2 4- j1 。 d in 用m阶初等矩阵E,m(i,)左乘A,得
11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn m m mn a a a a a a A a a a a a a = 例如 ( , ) 用m E i j A 阶初等矩阵 m 左乘 ，得
W 2 : ←第i行 E(i,j)A= : aa ←第j行 mn 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换： 把A的第i行与第j行对调（分）：
11 12 1 1 2 1 2 1 2 ( , ) n j j jn m i i in m m mn a a a a a a E i j A a a a a a a = 第 i 行 第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调 相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：
类似地， 以n阶初等矩阵En(亿，j》右乘矩阵A, j n 21 AE,(i,j)= 2i 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换： 把A的第i列与第j列对调(c,分C):
( , ) n E i j A n 类似地， 以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 11 1 1 1 21 2 2 2 1 ( , ) j i n j i n n m mj mi mn a a a a a a a a AE i j a a a a = ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调 相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：