沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第2章 矩阵及其运算

线性代数教案第2章矩阵及其运算授课题目82.2矩阵的运算课次：61.知识目标（1）掌握矩阵的加法，数乘，乘法。（2）理解转置行列式的概念。（3）掌握方阵的行列式和方阵乘积的行列式。2.能力目标（1）提高矩阵运算能力：通过大量的练习和实践，学生能够熟练掌握矩阵的基本运算，并能够快速准确地解决相关的数学问题。教学目标（2）培养逻辑思维和抽象思维能力：通过学习矩阵的运算，学生能够培养自己的逻辑思维和抽象思维能力，学会从复杂的问题中抽象出数学模型，并运用矩阵运算进行求解。3.情感与态度目标（1）激发学习兴趣：通过生动有趣的矩阵运算案例和实践活动，激发学生的学习兴趣和好奇心，使他们愿意主动探索和学习矩阵运算的相关知识。（2）培养严谨的数学态度：在学习矩阵运算的过程中，学生需要保持严谨的数学态度，认真对待每一个数学概念和运算规则，确保自己的解题过程和结果准确无误。教学重点矩阵的运算、方阵的行列式教学难点矩阵的乘法、方阵的行列式教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法案例教学法、情境教学法、讲授法教学时数2课时教学过程备注一、复习引入田忌赛马是一个广为人知的故事.传说战国时期，齐王与其手下大将田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜.田忌采用了孙滨的建议：用下等马对付齐王的上等马，用上等马对付齐王的中等马，用中等马对付齐王的下等马.结果三场比赛完后，田忌1负2胜，最终赢得齐王的千金赌注事实上这是一个对策问题，在比赛中，齐王和田忌的马匹可以随机出阵，每次比赛双方的胜负情况，要根据双方的对阵情况来定.双方出阵的可能策略为：策略1（上、中、下）；策略2（中、上、下）；策略3（下、中、上）；策略4（上、下、中）：策略5（中、下、上）：策略6（下、上、中）。说明：策略1（上、中、下）表示按先后出阵的顺序派上等马、中等马、下计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §2.2 矩阵的运算 课次：6 教学目标 1.知识目标 （1）掌握矩阵的加法,数乘,乘法。 （2）理解转置行列式的概念。 （3）掌握方阵的行列式和方阵乘积的行列式。 2.能力目标 （1）提高矩阵运算能力：通过大量的练习和实践，学生能够熟练掌握矩阵的基本运 算，并能够快速准确地解决相关的数学问题。 （2）培养逻辑思维和抽象思维能力：通过学习矩阵的运算，学生能够培养自己的逻 辑思维和抽象思维能力，学会从复杂的问题中抽象出数学模型，并运用矩阵运算进行 求解。 3.情感与态度目标 （1）激发学习兴趣：通过生动有趣的矩阵运算案例和实践活动，激发学生的学习兴 趣和好奇心，使他们愿意主动探索和学习矩阵运算的相关知识。 （2）培养严谨的数学态度：在学习矩阵运算的过程中，学生需要保持严谨的数学态 度，认真对待每一个数学概念和运算规则，确保自己的解题过程和结果准确无误。 教学重点 矩阵的运算、方阵的行列式 教学难点 矩阵的乘法、方阵的行列式 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 案例教学法、情境教学法、讲授法 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 田忌赛马是一个广为人知的故事.传说战国时期，齐王与其手下大将田忌各 有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.但田忌的上、中 等马分别比齐王的中、下等马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛 三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜.田忌采用了孙膑的建 议：用下等马对付齐王的上等马，用上等马对付齐王的中等马，用中等马对付齐 王的下等马.结果三场比赛完后，田忌 1 负 2 胜，最终赢得齐王的千金赌注. 事实上这是一个对策问题，在比赛中，齐王和田忌的马匹可以随机出阵， 每次比赛双方的胜负情况，要根据双方的对阵情况来定.双方出阵的可能策略为： 策略 1（上、中、下）；策略 2（中、上、下）；策略 3（下、中、上）； 策略 4（上、下、中）；策略 5（中、下、上）；策略 6（下、上、中）. 说明：策略 1（上、中、下）表示按先后出阵的顺序派上等马、中等马、下

线性代数教案第2章矩阵及其运算等马，其他策略解释类似.每场比赛中，如果齐王的马匹三战全胜，则用数3表示：如果两胜一负，则用数1表示：如果一胜两负，则用数-1表示.如果齐王和田忌依次使用上面6种策略进行比赛，那么齐王的胜、负情况就可以用下面的矩形数表来表示.其中齐主采用的策略用横向行表示，由忌采用的策略用纵向列表示.田忌策略123456113111-1)齐 1-123111王11-13113131-1141策-1113115略1136二、讲授新课（一）加（减）法定义1（矩阵加法）设A=(a）和B=(b,）是mxn的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个m×n的矩阵(ai+bia2+b2.. au+bha21+b2i a22+b22 ... a2n+bnC=(c,)=A+B =.....(aml+bmlam2+bm2... amn+bm例1设5--21acC:B=0b计算A+B；若已知C=A+B，求出a,b,c,d负矩阵设A={a,)mxn，称矩阵-A={-a,）为矩阵A的负矩阵。(ar-baiz-b2..an-bna21-b1 a22 -b2 ... a2n -b2n矩阵的减法A-B=A+(-B)=...........(aml-bmlam2-bm2..amn-bmm）计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 等马，其他策略解释类似.每场比赛中，如果齐王的马匹三战全胜，则用数 3 表 示；如果两胜一负，则用数 1 表示；如果一胜两负，则用数-1 表示.如果齐王和 田忌依次使用上面 6 种策略进行比赛，那么齐王的胜、负情况就可以用下面的矩 形数表来表示.其中齐王采用的策略用横向行表示，田忌采用的策略用纵向列表 示. 田 忌 策 略 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3   −   − − − −   − . 二、讲授新课 （一）加（减）法 定义 1 （矩阵加法）设 { } A = aij 和 { } B = bij 是 m n 的矩阵，A 与 B 的加法（或称和），记作 A+B，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A+ B               + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 . 例 1 设         − = 0 2 5 1 A ,        − = 0 4 2 1 B ,         = b d a c C ， 计算 A+ B ；若已知 C = A + B ， 求出 a,b,c,d . 负矩阵 设 A = aij mn { } ，称矩阵 { } − A = −aij 为矩阵 A 的负矩阵。 矩阵的减法 A − B = A + (−B)               − − − − − − − − − = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 齐 王 策 略

线性代数教案第2章矩阵及其运算由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中A,B,C,O为同型矩阵)。（1）交换律A+B=B+A(2）结合律（A+B)+C=A+（B+C)(3) A+O=A(4) A-A=O(二）数乘定义2（矩阵数乘）数入与矩阵A=(amxn的乘积（称之为数乘），记作A或Aa，定义为一个m×n的矩阵(NaNai2.. NaumNa21 Na2 .. Ma2nC=(c,)=^A= AA =........(aamlNam2..Namn)由定义，数乘运算满足下列运算法则（设A,B,O是同型矩阵，入，μ是数）：（1）数对矩阵的分配律Λ(A+B）=ΛA+2B(2）矩阵对数的分配律（+μ)A=A+μA（3）结合律(Mμ)A= R(μA)(4)0·A=0(1-20)7826例2设A=B:且有2A+X=B-2X,求(435)(534X.解由2A+X=B-2X得1X=!-(B-2A)3-(819-47 9)X=所以(435)31[(3 9-6 8]计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中 A, B, C, O 为同型 矩阵）。 （1）交换律 A + B = B + A （2）结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3） A + O = A （4） A − A = O （二）数乘 定义 2 （矩阵数乘） 数  与矩阵 A = aij mn { } 的乘积（称之为数乘），记作 A 或 A ，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A = A               = m m m n n n a a a a a a a a a                 1 2 21 22 2 11 12 1 。 由定义，数乘运算满足下列运算法则（设 A, B, O 是同型矩阵， ,  是数）： （1）数对矩阵的分配律 (A + B) = A + B （2）矩阵对数的分配律 ( + )A = A + A （3）结合律 ()A = (A) （4） 0  A = O 例 2 设 1 2 0 4 3 5   − =     A , 826 5 3 4   =     B ，且有 2 2 A X B X + = − , 求 X . 解 由 2 2 A X B X + = − 得 1 ( 2 ) 3 X B A = − 所以 X               − −        = 4 3 5 1 2 0 2 5 3 4 8 2 6 3 1               − −        = 8 6 10 2 4 0 5 3 4 8 2 6 3 1

线性代数教案第2章矩阵及其运算-3 -3 -)-1 -1 -2（三）乘法定义3（矩阵乘法）设A=(a）是一个mxs矩阵，B=(b）是一个sxn矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个m×n的矩阵C=AB=(c，其中C, =ab +ab,+ab, -aabk=l(i=1,2,..,m; j=1,2,..,n)由定义，不难看出（强调）：（1）只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB：（2）矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数：(3)矩阵C=AB在（i，Jj）位置上的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和。1001例3设20求AB解(3×1+(-1)×1+1×23×0+(-1)×2+1×1 3×0+(-1)×0+1×3AB=-2×1+0×1+2×22-2×0+0×2+2×1-2×0+0×0+2×3(4 -1 3)(226)注意这里BA是无法计算的4-2例4设A：:家AB及BA(-2 1解BBA计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜         − − − = 3 3 6 6 6 6 3 1         − − − = 1 1 2 2 2 2 . （三）乘法 定义 3（矩阵乘法） 设 { } A = aij 是一个 m s 矩阵， { } B = bij 是一个 s  n 矩阵，A 与 B 的乘法，记作 AB，定义为一个 m n 的矩阵 { }ij C = AB = c ， 其中 = = + + + = s k ij ai b j ai b j aisbsj aikbkj c 1 1 1 2 2  (i =1, 2,  , m; j =1, 2,  , n ). 由定义，不难看出（强调）： （1）只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB； （2）矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数； （3）矩阵 C=AB 在 (i , j ) 位置上的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。 例 3 设 3 1 1 2 0 2   − =     − A ， 1 0 0 1 2 0 2 1 3     =       B ， 求 AB. 解 3 1 ( 1) 1 1 2 3 0 ( 1) 2 1 1 3 0 ( 1) 0 1 3 2 1 0 1 2 2 2 0 0 2 2 1 2 0 0 0 2 3    + −  +   + −  +   + −  +  =     −  +  +  −  +  +  −  +  +  AB         − = 2 2 6 4 1 3 注意 这里 BA 是无法计算的. 例 4 设 4 2 2 1   − =     − A ， 3 6 2 4   =     − − B ，求 AB 及 BA. 解 4 2 3 6 16 32 2 1 2 4 8 16      − = =           − − − − − AB 3 6 4 2 0 0 2 4 2 1 0 0      − = =           − − − BA

第2章矩阵及其运算线性代数教案(10)700)(0 0)例5设A：求AB及AC.B:(1 0001(1(0.01000000解AB=同样AC=(10八0 1)(000但是B≠C由上述例子可知：（1）一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律.因为AB与BA可能一个有意义，一个没有意义：也可能二者都有意义，但AB±BA.当AB=BA时，称A与B是可交换的.由定义可知，EA=AE=A，BE=EB=B，即单位矩阵和任何矩阵都可交换（2）矩阵中存在A≠O，BO，有BA=O：反之BA=O，不一定有A=0或B=0（3）矩阵乘法不满足消去律，即AB=AC，且A≠O，不能导出B=C矩阵的乘法运算满足下列的运算律：（假定运算是可行的，入是数）(1)结合律A(BC)=(AB)C(2)分配律A(B+C)=AB+AC：(A+B)C=AC+BC（3）数乘结合律(AB)=(A)B=A(B例6证明n阶数量矩阵与所有n阶方阵都可交换(k0..o)0k0证明设n阶数量矩阵为K=：(o0..k)aa2..ana21a22..a2n又设A=::am2...am)am(kau kai2..kam)kazika22...kazn则KA== kA.……：(kamkam2...kamm)同样可得AK=kA，所以有AK=KA，即n阶数量矩阵与n阶方阵可交换矩阵的幂设A是n阶矩阵，定义：计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 例 5 设 1 0 1 0   =     A ， 0 0 0 1   =     B ， 0 0 1 0   =     C ，求 AB 及 AC ． 解 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0                AB = = 同样 0 0 0 0       AC = 但是 B C 由上述例子可知： （1）一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律．因为 AB 与 BA 可能一个有 意义，一个没有意义；也可能二者都有意义，但 AB  BA ．当 AB = BA 时， 称 A 与 B 是可交换的． 由定义可知， EA AE A = = ， BE EB B = = ，即单位矩阵和任何矩阵都 可交换. （2）矩阵中存在 A O ，B O ，有 BA O= ；反之 BA O= ，不一定有 A O= 或 B O= . （3）矩阵乘法不满足消去律，即 AB = AC ，且 A O ，不能导出 B C= . 矩阵的乘法运算满足下列的运算律：（假定运算是可行的，  是数） （1）结合律 A BC AB C ( ) = ( ) （2）分配律 A B C AB AC ( ) + = + ； ( ) A B C AC BC + = + （3）数乘结合律    ( ) AB A B A B = = ( ) ( ) 例 6 证明 n 阶数量矩阵与所有 n 阶方阵都可交换. 证明 设 n 阶数量矩阵为 0 0 0 0 0 0 k k k       =       K 又设 A=               n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 则 KA =               n n nn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka       1 2 21 22 2 11 12 1 = kA. 同样可得 AK A = k ，所以有 AK KA = ，即 n 阶数量矩阵与 n 阶方阵可交 换. 矩阵的幂 设 A 是 n 阶矩阵，定义：