沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第2章 矩阵及其运算

线性代数教案第2章矩阵及其运算13111-1)1齐211-1131王3111-11311-1114策-1131115略(11-13116二、讲授新课（一）加（减）法定义1（矩阵加法）设A=(a）和B=(b,）是mxn的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个m×n的矩阵(ai+bai2+bi2...ain+bma2+b21 a22+b22 ... a2n+b2nC= (c,)= A+B =.........+(am+bmlam2+bm2..amn+bmn例1设5-1C:4=B=020计算A+B；若已知C=A+B，求出a,b,c,d负矩阵设A=(a,）mx，称矩阵车-A={-a,）为矩阵A的负矩阵。(a-ba2-b2.. a,-bna2-b21a22-b22.. a2n-b2n矩阵的减法 A-B=A+(-B)=....(aml-bmlam2-bm2...amm-bmn）由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中A,B,C,O为同型矩阵）。（1）交换律A+B=B+A(2）结合律（A+B)+C=A+(B+C）(3) A+O=A(4) A-A=O计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3   −   − − − −   − . 二、讲授新课 （一）加（减）法 定义 1 （矩阵加法）设 { } A = aij 和 { } B = bij 是 m n 的矩阵，A 与 B 的加法（或称和），记作 A+B，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A+ B               + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 . 例 1 设         − = 0 2 5 1 A ,        − = 0 4 2 1 B ,         = b d a c C ， 计算 A+ B ；若已知 C = A + B ， 求出 a,b,c,d . 负矩阵 设 A = aij mn { } ，称矩阵 { } − A = −aij 为矩阵 A 的负矩阵。 矩阵的减法 A − B = A + (−B)               − − − − − − − − − = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中 A, B, C, O 为同型 矩阵）。 （1）交换律 A + B = B + A （2）结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3） A + O = A （4） A − A = O 齐 王 策 略

线性代数教案第2章矩阵及其运算（二）数乘定义2（矩阵数乘）数与矩阵A=(aj）mxn的乘积（称之为数乘），记作A或Aa，定义为一个mxn的矩阵(NauNai2.. NanAa21 Ja22.. Ja2nC=(c,)= A = AL =(Aamlam2..Namn由定义，数乘运算满足下列运算法则（设A,B，O是同型矩阵，2，μ是数）：(1）数对矩阵的分配律2(A+B)=2A+2B(2）矩阵对数的分配律(+μ)A=A+μA（3）结合律(Aμ)A= (μA)(4)0.A=0(1-20)7826例2设A：B :且有2A+X=B-2X,求(435)(5 3X.解由2A+X=B-2X得X=:(B-2A)3-18-43 9Y:所以31-[3 9-6 8]-( : 2-(312)724（三）乘法定义3（矩阵乘法）设A=(a）是一个m×s矩阵，B=(b,）是一个s×n矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个m×n的矩阵C=AB=(c,}，其中计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 （二）数乘 定义 2 （矩阵数乘） 数  与矩阵 A = aij mn { } 的乘积（称之为数乘），记作 A 或 A ，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A = A               = m m m n n n a a a a a a a a a                 1 2 21 22 2 11 12 1 。 由定义，数乘运算满足下列运算法则（设 A, B, O 是同型矩阵， ,  是数）： （1）数对矩阵的分配律 (A + B) = A + B （2）矩阵对数的分配律 ( + )A = A + A （3）结合律 ()A = (A) （4） 0  A = O 例 2 设 1 2 0 4 3 5   − =     A , 826 5 3 4   =     B ，且有 2 2 A X B X + = − , 求 X . 解 由 2 2 A X B X + = − 得 1 ( 2 ) 3 X B A = − 所以 X               − −        = 4 3 5 1 2 0 2 5 3 4 8 2 6 3 1               − −        = 8 6 10 2 4 0 5 3 4 8 2 6 3 1         − − − = 3 3 6 6 6 6 3 1         − − − = 1 1 2 2 2 2 . （三）乘法 定义 3（矩阵乘法） 设 { } A = aij 是一个 m s 矩阵， { } B = bij 是一个 s  n 矩阵，A 与 B 的乘法，记作 AB，定义为一个 m n 的矩阵 { }ij C = AB = c ， 其中

线性代数教案第2章矩阵及其运算C,=a.b,+azb2,+..+a.b,=Zaibk=l(i=1,2,",m, j=1,2,,n)由定义，不难看出（强调）：（1）只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB：（2）矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；（3）矩阵C=AB在（i，j）位置上的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和。(100)-11120例3设AB=，求AB0解(3x1+(-1)×1+1x23×0+(-1)×2+1x1 3×0+(-1)×0+1x3)AB=-2×1+0×1+2×2-2×0+0×2+2×1-2×0+0×0+2×3(4 -1 3)(22 6)注意这里BA是无法计算的(4-2例4设A=求AB及BA-2 32解AB:3BA=-2(10)(00)00,B=例5设A求AB及AC01(1000107001700解 AB==同样AC=(10。但是B￥C由上述例子可知：（1）一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，因为AB与BA可能一个有意义，一个没有意义：也可能二者都有意义，但AB≠BA.当AB=BA时，称A与B是可交换的计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 = = + + + = s k ij ai b j ai b j aisbsj aikbkj c 1 1 1 2 2  (i =1, 2,  , m; j =1, 2,  , n ). 由定义，不难看出（强调）： （1）只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB； （2）矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数； （3）矩阵 C=AB 在 (i , j ) 位置上的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。 例 3 设 3 1 1 2 0 2   − =     − A ， 1 0 0 1 2 0 2 1 3     =       B ， 求 AB. 解 3 1 ( 1) 1 1 2 3 0 ( 1) 2 1 1 3 0 ( 1) 0 1 3 2 1 0 1 2 2 2 0 0 2 2 1 2 0 0 0 2 3    + −  +   + −  +   + −  +  =     −  +  +  −  +  +  −  +  +  AB         − = 2 2 6 4 1 3 注意 这里 BA 是无法计算的. 例 4 设 4 2 2 1   − =     − A ， 3 6 2 4   =     − − B ，求 AB 及 BA. 解 4 2 3 6 16 32 2 1 2 4 8 16      − = =           − − − − − AB 3 6 4 2 0 0 2 4 2 1 0 0      − = =           − − − BA 例 5 设 1 0 1 0   =     A ， 0 0 0 1   =     B ， 0 0 1 0   =     C ，求 AB 及 AC ． 解 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0                AB = = 同样 0 0 0 0       AC = 但是 B C 由上述例子可知： （1）一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律．因为 AB 与 BA 可能一个有 意义，一个没有意义；也可能二者都有意义，但 AB  BA ．当 AB = BA 时， 称 A 与 B 是可交换的．

线性代数教案第2章矩阵及其运算由定义可知，EA=AE=A，BE=EB=B，即单位矩阵和任何矩阵都可交换（2）矩阵中存在A±0，B≠0，有BA=0：反之BA=O，不一定有A=0或B=0（3）矩阵乘法不满足消去律，即AB=AC，且A±O，不能导出B=C.矩阵的乘法运算满足下列的运算律：（假定运算是可行的，入是数）(1）结合律A(BC)=（AB)C(2)分配律A(B+C)=AB+AC：(A+B)C=AC+BC(3）数乘结合律(AB)=(αA)B=A(aB)例6证明n阶数量矩阵与所有n阶方阵都可交换(k0...o0k..0证明设n阶数量矩阵为K=(oo...k)aa2..a21a22..a2nA=又设：(amlan2....amm(kau kai2 ..kaun)kazika2.. kazn则KA== kA.：(kamkan2..kamm同样可得AK=kA，所以有AK=KA，即n阶数量矩阵与n阶方阵可交换.矩阵的幕幂设A是n阶矩阵，定义：A'=A, A? =AA, -., A*+I =A(A*),其中，k是正整数：特别规定A°=I由于乘法成立分配律结合律，有A*+I = A*A', (A*)'=A",但由于不成立交换律，故一般（AB)*≠A*Bk。(1 1)"例7算(0 1)计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 由定义可知， EA AE A = = ， BE EB B = = ，即单位矩阵和任何矩阵都 可交换. （2）矩阵中存在 A O ，B O ，有 BA O= ；反之 BA O= ，不一定有 A O= 或 B O= . （3）矩阵乘法不满足消去律，即 AB = AC ，且 A O ，不能导出 B C= . 矩阵的乘法运算满足下列的运算律：（假定运算是可行的，  是数） （1）结合律 A BC AB C ( ) = ( ) （2）分配律 A B C AB AC ( ) + = + ； ( ) A B C AC BC + = + （3）数乘结合律    ( ) AB A B A B = = ( ) ( ) 例 6 证明 n 阶数量矩阵与所有 n 阶方阵都可交换. 证明 设 n 阶数量矩阵为 0 0 0 0 0 0 k k k       =       K 又设 A=               n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 则 KA =               n n nn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka       1 2 21 22 2 11 12 1 = kA. 同样可得 AK A = k ，所以有 AK KA = ，即 n 阶数量矩阵与 n 阶方阵可交 换. 矩阵的幂 设 A 是 n 阶矩阵，定义： , , , ( ) 1 2 k 1 k A = A A = AA A = A A  + , 其中， k 是正整数；特别规定 A = I 0 . 由于乘法成立分配律结合律，有 k l k l A = A A + ， k l kl (A ) = A ， 但由于不成立交换律，故一般 k k k (AB)  A B 。 例 7 算 1 1 0 1 n       ．

线性代数教案第2章矩阵及其运算1解设4--6 06 D-C6 3)则4-6 308 -6 )(1 n-1)A"I=[假设(o1(1 n-1)(1 1) (1A"=A"-IA=((1n则()J(o 1于是由归纳法知，对于任意正整数n，有(68-6 )三、巩固练习1024(214)B=3-101已知矩阵3，求：AB及BA.(536(0213)四、小结1.矩阵的加法；2.矩阵的数乘；3.矩阵的乘法。五、布置作业学习通作业教学反思：计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 解 设 1 1 0 1   =     A 则 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1      = = =           A AA 3 2 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1      = = =           A A A 假设 1 1 1 0 1 n n −   − =     A 则 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 n n n n −      − = = =           A A A 于是由归纳法知，对于任意正整数 n ，有         =         0 1 1 0 1 1 1 n n . 三、巩固练习 已知矩阵         = 5 3 6 2 1 4 A ，           = − 0 2 1 3 3 1 0 1 1 0 2 4 B ，求： AB 及 BA． 四、小结 1.矩阵的加法； 2.矩阵的数乘； 3.矩阵的乘法。 五、布置作业 学习通作业 教学反思：