沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第2章 矩阵及其运算

线性代数教案第2章矩阵及其运算A'=A, A?=AA, , A*+I=A(A*),其中，k是正整数；特别规定A°=I由于乘法成立分配律结合律，有Ak+l=A*A',(A*)'=All但由于不成立交换律，故一般（AB)*≠A*Bk。(1 1)"例7算011解设A= 4--(c 06 D-6 )4-4-6 0 -6 )A"I=(1 n-1)假设(o 1)A'"=A'IA= n-1)(1 1)1r则(-1)于是由归纳法知，对于任意正整数n，有(a)-c6)（四）转置运算定义1（转置矩阵）设(aa2...aina21 a22 . a2nA=.....(aml am2... amn)(aa..am)a12a22.am2AT -.(ana2n... amn)将A的行和列对应互换得到的n×m矩阵，定义为A的转置矩阵，记作A'，。计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 , , , ( ) 1 2 k 1 k A = A A = AA A = A A  + , 其中， k 是正整数；特别规定 A = I 0 . 由于乘法成立分配律结合律，有 k l k l A = A A + ， k l kl (A ) = A ， 但由于不成立交换律，故一般 k k k (AB)  A B 。 例 7 算 1 1 0 1 n       ． 解 设 1 1 0 1   =     A 则 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1      = = =           A AA 3 2 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1      = = =           A A A 假设 1 1 1 0 1 n n −   − =     A 则 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 n n n n −      − = = =           A A A 于是由归纳法知，对于任意正整数 n ，有         =         0 1 1 0 1 1 1 n n . （四）转置运算 定义 1 (转置矩阵) 设               = m m m n n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n n m n m m T a a a a a a a a a A        1 2 12 22 2 11 21 1 将 A 的行和列对应互换得到的 n m 矩阵，定义为 A 的转置矩阵，记作 T A

线性代数教案第2章矩阵及其运算由定义可知，（AT）=（A)，即AT在位置(i,j)上的元素是矩阵A在位置(j,i)上的元素。例8设矩阵0A=求（AB)"，BIA和A"BT。上述例子成立（AB)=BAT，而并不成立(AB)=A'BT。这是转置运算的性质。矩阵的转置满足下列运算法则：(1) (AT)=A:;(2) (A+B) = A + BT ;(3）（2A)=(A),是数：(4) (AB)"=B"A"定义2（对称矩阵）设A=α是n阶矩阵。若其元素满足：AT=A,aj=ai,jD若其元素满足： A =-A,a,=-aji,j则称A是反对称矩阵。此时成立an=0i。(0-1)(-1 1)例如A=是一个对称矩阵，而B=是一个反对称矩阵。(10)10显然，对角矩阵一定是对称矩阵。下面是（反）对称矩阵的一些基本性质。性质1设A，B为（反）对称矩阵，则A土B仍是（反）对称矩阵。但注意，此时AB不一定是（反）对称矩阵。-1 1701B=不是对称矩阵。例如A=10(10下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得。计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 由定义可知， ij ji T (A ) = (A) ，即 T A 在位置 (i, j) 上的元素是矩阵 A 在位置 ( j,i) 上的元素。 例 8 设矩阵         =           − − = 3 4 2 1 , 3 2 0 2 4 1 A B , 求 T (AB) ， T T B A 和 T T A B 。 上述例子成立 T T T (AB) = B A ，而并不成立 T T T (AB) = A B 。 这是转置运 算的性质。 矩阵的转置满足下列运算法则： （1） A A T T ( ) = ； （2） T T T (A + B) = A + B ； （3） ( ) ( ),  T T A = A 是数； （4） ( ) . T T T AB = B A 定义 2 (对称矩阵) 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵。若其元素满足： a a i j A A T ij = ji  ,  = ， 若其元素满足： a a i j A A T ij = − ji  ,  = − ， 则称 A 是反对称矩阵。此时成立 a i ii = 0  。 例如        − = 1 0 1 1 A 是一个对称矩阵，而         − = 1 0 0 1 B 是一个反对称矩阵。 显然，对角矩阵一定是对称矩阵。下面是（反）对称矩阵的一些基本性质。 性质 1 设 A， B 为（反）对称矩阵，则 A  B 仍是（反）对称矩阵。 但注意，此时 AB 不一定是（反）对称矩阵。 例如         =        − = 1 0 0 1 , 1 0 1 1 A B ，但         − = 0 1 1 1 AB 不是对称矩阵。 下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得

线性代数教案第2章矩阵及其运算性质2设A、B是对称矩阵，则AB（或BA）是对称矩阵的充分必要条件AB=BA。性质3设A为（反）对称矩阵，则A’，A也是（反）对称矩阵。(A+A), S=性质4对任意方矩阵A，则H=（A－A）分别是对称矩阵和反对称矩阵：且A=H+S。（五）矩阵的行列式auai2.aina2na21a22...定义3（矩阵的行列式）设A={a,）是n阶矩阵，称.anian2..amn为矩阵A的行列式，记作IAI或det(A)。[A"I=|A|性质1性质2【ΛA|="[AI（由矩阵的数乘和行列式性质3)(2 -1)(6 -3)例如A=B=，即B=3A。而|A=5,IB=453319即[B|=|3A=3°|A=9×5=45成立。初学者容易犯的一个错是：[ZA]= Z[A]。性质 3|AB|=|AB|。例9设A=3，且AB+2E=0，E为2阶单位阵，求B解由AB+2E=0得AB=-2E,：[AB|=|-2E],[4|B|= (-2) [E| = 4 , 4因此（8=亨计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 性质 2 设 A、 B 是对称矩阵，则 AB （或 BA ）是对称矩阵的充分必要条 件 AB = BA。 性质 3 设 A 为（反）对称矩阵，则 A A T ,  也是（反）对称矩阵。 性质 4 对任意方矩阵 A ，则 ( ) 2 1 T H  A + A ， ( ) 2 1 T S  A − A 分别是 对称矩阵和反对称矩阵；且 A = H + S 。 （五）矩阵的行列式 定义 3 (矩阵的行列式) 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵，称 n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 为矩阵 A 的行列式，记作 | A | 或 det( A) 。 性质 1 | A | | A| T = 性质 2 | A| | A| n  =  （由矩阵的数乘和行列式性质 3） 例如         − = 3 1 2 1 A ，         − = 9 3 6 3 B ，即 B= 3A 。而 | A |= 5, | B |= 45 ， 即 | B | = | 3 | 3 | | 9 5 45 2 A = A =  = 成立。初学者容易犯的一个错是： | A |=  | A | 。 性质 3 | AB |=| A|| B |。 例 9 设 A = 3 ，且 AB E + = 2 0 ， E 为 2 阶单位阵，求 B . 解 由 AB E + = 2 0 得 AB E = −2 ，  AB E = −2 ， 2 A B E = − = ( 2) 4 ， 因此 4 3 B =