性质6设M及m分别是函数f(x)在区间|a,b 上的最大值及最小值, 则m(b-a)s!f(xtsM(b-a 性质7(定积分中值定理) 如果函数∫(x)在闭区间[a,b上连续, 则在积分区间[a,b上至少存在一个点 使!f(x)t=f(5b-a)(a≤5≤b) 积分中值公式
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) (a b) 性质7 (定积分中值定理) 设M 及m分别是函数 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 性质6 f (x) 在区间[a,b] 上的最大值及最小值， 积分中值公式
5、牛顿莱布尼茨公式 定理1如果f(x)在a,b上连续,则积分上限的函数 Φ(x)=f(M在a,b上具有导数,且它的导数 是Φ(x) d x a ∫(t)d=∫(x)( ases) 定理2(原函数存在定理)如果f(x)在a,b上 连续,则积分上限的函数①(x)=f(M就是 f∫(x)在a,b上的一个原函数
5、牛顿—莱布尼茨公式 如果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导数 是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 定理1 定理 2（原函数存在定理） 如 果 f ( x) 在[a,b] 上 连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 就 是 f ( x)在[a,b]上的一个原函数
定理3(微积分基本公式)如果F(x)是连续函数 ∫(x)在区间a,b上的一个原函数,则 f∫(x)x=F(b)-F(a) 也可写成(x)d=F(x) 牛顿一莱布尼茨公式 表明:一个连续函数在区间[a,b上的定积分等于 它的任一原函数在区间[a,b上的增量
定理 3（微积分基本公式） 如果F( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = − ( ) [ ( )] . b a b a f x dx = F x 也可写成 牛顿—莱布尼茨公式 [ , ] . : [ , ] 它的任一原函数在区间 上的增量 表明 一个连续函数在区间 上的定积分等于 a b a b
6、定积分的计算法 (1)换元法 Iof(r x=lo fip(t)lp(tdt 换元公式 (2)分部积分法 b b udy=uv 分部积分公式
6、定积分的计算法 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) 换元公式 （1）换元法 （2）分部积分法 分部积分公式 = − b a b a b a udv [uv] vdu
7、广义积分 (1)无穷限的广义积分 f(x)dr=lim f(x)dx b-》+Ja f(r)dc=lim f(r)dx →-00·a 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散
７、广义积分 (1)无穷限的广义积分 ( ) lim ( ) b a a b f x dx f x dx + →+ = 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx − →− =