(3)反函数求导法则 设函数=∫(z)在区域D内解析, 且f(z)≠0,又反函数 z=f(w)=g()在且为连续 则有: p(m)= ∫(z) z=(v) f(o(w))
（3）反函数求导法则 且 ，又反函数 设函数 在区域 内解析， 0 = f'( z ) w f ( z ) D '( ( )) 1 '( ) 1 '( ) ( ) f z f w w z w = = = 则有： z = f −1 ( w ) = ( w )存在且为连续
函数解析的一个充分必要条件 定理21 设函数(z)=u(x,y)+iVx,y)在区域D内有定义, 那么f(z)在点z=x+门∈D可微的必要与充分条們是 (1)u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微, (2)u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处满足柯西-黎曼方 程(简称C-R方程): a0νou三一ax Oy ax ay ay
三、函数解析的一个充分必要条件 (1) u(x, y)和v(x, y)在点(x, y)处可微， 程（简称 方程）： 和 在点 处满足柯西 黎曼方 C R u x y v x y x y − (2) ( , ) ( , ) ( , ) - x v y u y v x u = = − 那么 在点 可微的必要与充分条件是 设函数 在区域 内有定义， f z z x iy D f z u x y iv x y D = + = + ( ) ( ) ( , ) ( , ) 定理2.1
证明(必要性) 设f(x)在=x+ⅳ处可导,记作'(z)=a+沥, 则有 f(x+4z)-f(x)=(+ib)4+0(4z =(a+ib)(4x+i4y)+0(4zD 其中f(z+△z)-∫(z)=△n+v,按实部 和虚部整理得:
证明（必要性） 则 有 设f (z)在z = x + i y处可导，记作f '(z) = a + i b， ( )( ) (| |) ( ) ( ) ( ) (| |) a i b x i y o z f z z f z a i b z o z = + + + + − = + + 和虚部整理得： 其 中f (z + z )− f (z ) = u + iv，按实部
u(+Ax, y+ Ay)-u(x, y)=adx- bAy +o( Az d v(x+Ax, y+ Ay)-v(x, y)=bAr+aAy+O( 4z D; 因此,u(x,y)及v(x,y)在(x,y)处可微, 并有C-R方程成立: a=ou=av -b=a OX (充分性) 设u(x,y)及v(x,y)在(x,y)处可微,并有-R方 程成立,则有
并 有 方程成立： 因此， 及 在 处可微， C R u( x, y ) v( x, y ) ( x, y ) − -b= u v u v x y y x a = = = − u(x + x, y + y) − u(x, y) = ax − by + o(| z |)； v(x + x, y + y) − v(x, y) = bx + ay + o(| z |)； （充分性） 程成立，则有 设u( x, y )及v( x, y )在( x, y )处可微，并有C − R方
Au=u'l(r, y)Ax+u'l(, y)4y+O( 4z dE Av=v(, y)Ax+v(, y)Ay+(Az d: 由C-R方程可得: Aw=Au tiAn l(x,y)+2(x,y)(4x+i△y)+0(4=D 所以Iim=lx(x,y)+m(x,y)=a+ib 即f(z)在z=x+j处可导。 ou 且f(z) +I ax ax
( , ) ( , ) (| |) x y u u x y x u x y y o z = + + ； ( , ) ( , ) (| |) x y v v x y x v x y y o z = + + ； 由C − R方程可得: [ ( , ) ( , )]( ) (| |) x x w u i v u x y iv x y x i y o z = + = + + + 所以 0 lim ( , ) ( , ) w z x x z u x y iv x y a ib → = + = + ( x y ) ( x y ) x v i x u f z f z z x i y , , ( ) ( ) + = = + 且 即 在 处可导。