例1证明f(z)=Re在复平面上的任何点都不可导 证明对于复平面上任意一点 4f_Re(=0+△)-Re(=0)x+4x-x △ △ △z Ax+i小y △x+iy 当△取实数趋于时,Δ/z→1 △f厂 当△取纯虚数趋时4A→0处不存在 即(=)在z不可导,由于z的任意性,f()在复平面上 任何点都不可导 注意:f()在整个复平面上处处连续
例1 证明 f (z) = Rez在复平面上的任何点都 不可导. z Re( z z ) Re( z ) z f z + − = 0 0 证明 对于复平面上任意一点 0 x i y x x x + + − = x i y x + = → → z , f z ; z , f z ; 0 0 0 1 当 取纯虚数趋于时 当 取实数趋于 时 . z f lim z 不存在 →0 ( ) ( ) . f z z z f z 任何点都不可导 即 在 0 不可导，由于 0 的任意性， 在复平面上 注意：f ( z )在整个复平面上处处连续
二、解析函数的概念与求导法贝 1、解析函数的概念 定义22如果()在2及的某邻域内处处可导, 则称f(二)在=处解析如果f()在=0不解析,则 称z0为f()奇点 如果∫(z)在区域D内处处解析,则称(z 在D内解析,我们也()是D内解析函数 如果f(z)在区域G内解析,而闭区域上每 点都属子G,那么称f(z)在闭区域D上解析
二、解析函数的概念与求导法则 称 为 的奇点。 则称 在 处解析如果 在 不解析，则 如果 在 及 的某邻域内处处可导， ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z f z f z z f z z f z z z D f (z) D . f ( z ) D f ( z ) 在 内解析，我们也说 是 内解析函数 如 果 在区域 内处处解析，则称 G, f ( z ) D . f ( z ) G D 一点都属于 那么称 在闭区域 上解析 如 果 在区域 内解析，而闭区域 上 每 定义2.2 1、解析函数的概念
注1“解析”有时也称“全纯”、“正则 注2函数解析性不是函数在一个孤立点的性质, 而是函数在一个区域上的性质 注3若函数在一点解析,则一定在这个点可导,反 之,在一个点的可导不能得到在这个点解析 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 城的一个更大的区域内解析
注1 “解析”有时也称“全纯” 、 “正则” . 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析
2、求导法则 (1)四则运算法则 如果f(z和g(z)在区域D内解析则 f(x)±8(x),(xg(z),(g(x)≠0)在区域D内解析, g 并且有[()±82)=r(x)±g(2) r(g()=r(2(2)+falg() )_f(a()-f()(a) gz g
（1）四则运算法则 如果f (z )和g(z )在区域D内解析,则 ( ) ( ) 并且有 ( g(z ) )在区域D内解析， g z f z f (z ) g(z ), f (z )g(z ), 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g (z) f z g z f z g z g z f z 2 − = 2、求导法则
(2)复合函数求导法则 设函数ξ=f(z)在区域D内解析,函数 w=g(2)在区域G内解析,又f(D)cG(∫(D, 则复合函数=8(f(z)=h(z)在区域D内解析, 并且有: h(x)=[g(f(z)=g'(f(z)∫"(z)
（2）复合函数求导法则 在区域 内解析，又 ， 设函数 在区域 内解析，函数 w g( ) G f ( D ) G( f ( D )) f (z ) D = = h'(z) = [g( f (z))]' = g'( f (z)) f '(z) 并且有： 则复合函数w = g( f (z )) = h(z )在区域D内解析