说明: (1)函数/(的导数形式 f(z)=+i=十会 (2)cR条件是复变函数可导的必要条 件 而非充分条件
说明: （1）函数 的导数形式： ( ) u v v v x x y x u u v u x y y y f z i i i i = + = + = − = − （2）C-R条件是复变函数可导的必要条 件 而非充分条件. f (z)
xy 例取m(x,y)=v(x,y)={ x2+y2≠0 0x2y2=0 令f(x)=以(x,y)+iv(x,y),则n(x,y),v(x,y)在点0满足 C-R方程: 0 Ou 0 但u(x,yv(x,y)在点0,0)不连续,所以复变 函数f(z)在z=0不连续从而f)在z=0不可导
+ = + = = + 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 x y x y u( x, y ) v( x, y ) x y x y 例 取 方程： 令 ， 则 在 点 满 足 C R f z u x y i v x y u x y v x y − ( ) = ( , ) + ( , ) ( , ), ( , ) (0,0) 0 0 u v u v x y y x = = = − = f (z ) z , f (z ) z . u( x, y ) v( x, y ) ( , ) 函 数 在 不连续 从 而 在 不可导 但 、 在 点 不连续，所以复变 0 0 0 0 = =
柯西资料 Augustin-Louis Cauchy Born 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux(near Paris), France
18 Augustin-Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France 柯西资料
黎曼资料 Riemann Born 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy
19 Riemann 黎曼资料 Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy
定理22函数∫(z)=(x,y)+iv(x,y)区域D内 解析的充分必要条件是 1)以(x,y)和v(x,y)在区域D内处处可微; Qw(x,yv(x,y)在区域D内满足C-R方程: dyson
（1）u(x, y)和v(x, y)在区域D内处处可微； （2）u( x, y )和v( x, y )在区域D内满足C − R方程： x v y u y v x u = = − . 解析的充分必要条件是 定理2.2 函数 f (z) = u(x, y) + i v(x, y)区域D内