则 12 k141+a242+…+anAn= aw→>第i行 k 2 右端的行列式含有两个相同的行,值为0
11 则， ak1Ai1 + ak 2Ai 2 ++ aknAin = n n nn k k kn k k kn n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 → 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，值为0
综上,得公式 a,A,+1,A,+∵+a,A ∫D,(当k=D 如-0,(当k≠i 1,A41;+a,A.+(n2n ∫D,(当=j) 0,(当≠j 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算,因为把一个阶行列式换成n个(n-1)阶行列 式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某 列含有较多的零时,应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。 12
12 综上，得公式 ak1Ai1 + ak 2Ai 2 ++ aknAin = = ，（当 ） （当 ） k i D k i 0 , a1lA1 j + a2lA2 j ++ anl Anj = = ，（当 ） （当 ） l j D l j 0 , 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的
利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简 化行列式计算:计算行列式时,可先用行列式的性质将某 行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开, 变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或 二阶行列式。 13
13 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式
例1:计算行列式 31-12 513-4 D 20 53-3 51-11 +(-2)c-1113i 0…0…1… 5-53:0 (-1) 3+3 5-50
14 例1: 计算行列式 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − D = 5 5 3 0 0 0 1 0 11 1 3 1 5 1 1 1 − − − − − ( ) 1 2 3 c + − c 4 3 c + c 5 5 0 11 1 1 5 1 1 ( 1) 3 3 − − = − − − +
5…1 620 1+3 5-50 5-5 82 40. 0-5 例2:证明范德蒙德( Vandermonde)行列式 2 D ∏I(x-x(1) i>j≥l 15
15 5 5 0 6 2 0 5 1 1 − − − 5 5 6 2 ( 1) 1 3 − − − = − + 0 5 8 2 − − = = 40. 2 1 r + r 例2: 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 − − − = = − 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 ( ). 1 1 1 n i j i j n n n n n n n x x x x x x x x x x x D (1)