(2)设D的第i行除了an外都是0。 D=0 0把D转化为(1)的情形 nI nn 把D的第i行依次与第i-1行,第i-2行, 第2行,第1行交换;再将第j列依次与第j-1列, 第j-2列,……第2列,第1列交换,这样共经过 (-1)+(j-1)=i+j-2次交换行与交换列的步骤
6 (2) 设 D 的第 i 行除了 ij a 外都是 0 。 n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 i 行依次与第 i − 1 行，第 i − 2 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j − 1 列， 第 j − 2 列，······，第2列，第1列交换，这样共经过 (i − 1) + ( j − 1) = i + j − 2 次交换行与交换列的步骤
由性质2,行列式互换两行(列)行列式变号, 得, 0 0 D=(-1) =(-1)anMn=(-1)An
7 由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得， nj n j nn i j i j i n i j i j a a a a a a a D , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 ( 1) − − − − − + − = − ij i j ij ij i j a M A + + = (−1) = (−1)
(3)一般情形 n D=ai ai2 n 2 n 1 In =an1+0+…+00+a2+…+0…0+…+0+an 2
8 (3) 一般情形 n n nn i i in n a a a a a a a a a D 1 2 1 2 11 12 1 = n n nn i i i n n a a a a a a a a a 1 2 1 2 11 12 1 = + 0 + + 0 0 + + + 0 0 + + 0 +
In 11 n In 0+0 0+…+00 il 2 2 2 =anAn+a242+…+anA(i=1,2,,n)证毕。 3-53 例如,行列式D=0-10按第一行展开,得 D=-3 +3
9 n n nn i n a a a a a a a 1 2 1 11 12 1 = 0 0 n n nn i n a a a a a a a 1 2 2 11 12 1 + 0 0 n n nn in n a a a a a a a 1 2 11 12 1 + + 0 0 = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin (i = 1,2, ,n) 例如，行列式 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − D = 7 2 1 0 3 − D = − 按第一行展开，得 7 2 0 0 + 5 7 7 0 1 3 − + 证毕
定理2:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零,即 an141+ak2412+…+amAn=0,k≠i 证明:由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 2 在D 中,如果令第i行的元素等于 2 an另外一行,譬如第k行的元素
10 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即 0, . 1 1 2 2 a A a A a A k i k i + k i ++ kn i n = 定理2： 证明： 由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 在 n n nn k k kn i i in n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = 中，如果令第i 行的元素等于 另外一行，譬如第k 行的元素