二,李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定 首先研究齐次方程 X=AX (A-4 它的解为ek(0),这是(A-2)式中的第一项,也是u=0 时x(t)的表达式。当x(0)=0时,(A-4)有解:x=0,它称 为(A4)的零解 定义对任意的x(0),均有x(t)有界则称(A-4)的零解是 李雅普略夫意义下稳定的; 若对任意的x(O),均有limx(t)=0, 称(A4)的零解为渐近稳定
6 二，李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定 首先研究齐次方程 x = Ax (A-4) 它的解为e A tx (0)，这是(A-2)式中的第一项 , 也是u=0 时x (t)的表达式。当x(0)=0时，(A-4)有解：x=0，它称 为(A-4)的零解。 定义 对任意的x(0) , 均有x(t)有界,则称(A-4)的零解是 李雅普略夫意义下稳定的； 若对任意的x(0), 均有 ， 则 称(A-4)的零解为渐近稳定。lim ( ) = 0 → x t t
说明:这里一个时间函数x(t)称为有界的,是指存 在与t无关的常数K,使得当t∈(0,∞),均有kx(t)<K 成立。 定理A-1对方程(A-4)零解的稳定性有下列充分必 要条件成立 (1)李雅普略夫意义下稳定←→A的实部为零的特征值 对应的若当块是一阶块,其余特征值均具有负实部; (2)渐近稳定◆A的特征值均具有负实部; (3)不稳定〈→A或有正实部特征值;或实部为零的 特征值有非一阶若当块
7 说明：这里一个时间函数x(t) 称为有界的，是指 存 在与 t无关的常数K，使得当t∈(0, ∞), 均有|x(t)|<K 成立。 定理A-1 对方程(A-4) 零解的稳定性有下列充分必 要条件成立： (1)李雅普略夫意义下稳定 A的实部为零的特征值 对应的若当块是一阶块，其余特征值均具有负实部； (2) 渐近稳定 A 的特征值均具有负实部； (3) 不稳定 A或有正实部特征值；或实部为零的 特征值有非一阶若当块
例题A-2下面给出的三个系统矩阵A,分别对应于稳 定、渐近稳定、不稳定的情况。对于同属于不稳定情 况的第三、四个矩阵,发散的情况有所不同,前者按t 规律发散,后者按指数规律(et)发散。 1+j 三,有界输入、有界状态(BIBS)稳定 本节研究(A-2)式中的第二项,并综合研究第一、二项
8 例题A-2 下面给出的三个系统矩阵Ａ，分别对应于稳 定、渐近稳定、不稳定的情况。对于同属于不稳定情 况的第三、四个矩阵，发散的情况有所不同，前者按t 规律发散，后者按指数规律(e t ) 发散。 − − − − − − − + − − 1 3 5 1 0 0 1 5 1 1 0 1 1 1 j j 三,有界输入、有界状态（BIBS）稳定 本节研究(A-2)式中的第二项,并综合研究第一、二项
定义若x(0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下,均有 x(t)有界,则称系统(A-1)BBS稳定 若对任意的x(),及在任意有界输入u(t)作用下 均有x(t)有界,则称系统(A-1)BIBS全稳定 定理A-2系统(A-1)BIS稳定系统(A-1)全体可 控模式收敛 系统(A-1)BIBS全稳定(→系统(A-1)全体 可控模式收敛.全体不可控模式无发散 定理A-2可以用可控性分解式来说明,不妨假定, (A-1)式中的矩阵A,B具有可控性分解形式。这时有
9 定义 若x (0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有 x(t)有界, 则称系统(A-1)BIBS稳定。 若对任意的x(0), 及在任意有界输入u(t)作用下, 均有x(t)有界, 则称系统(A-1)BIBS 全稳定。 定理A-2 系统(A-1)BIBS稳定 系统(A-1)全体可 控模式收敛. 系统(A-1)BIBS 全稳定 系统(A-1)全体 可控模式 收敛. 全体不可控模式 无发散。 定理A-2 可以用可控性分解式来说明, 不妨假定， (A-1)式中的矩阵A,B具有可控性分解形式。这时有
x=e×xo)1+ca()rx 4x2(O) 0 当x(0)=0时,x(t)的表达式中只有第二项,这项与不 可控模式无关,而 JeB()d|≤k∫l= B, ldt 这里K是u(t)的界,上式若有界当且仅当A1的特征值 均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计 及,故需加上e|有界的条件,而这个条件就是A4李 氏稳定的条件
10 + = − 0 ( ) (0) (0) ( ) 0 1 ( ) 2 1 1 4 1 t A t A t A t e B u d x x e e x t 当x(0)=0时，x(t)的表达式中只有第二项，这项与不 可控模式无关，而 − 0 1 0 1 ( ) 1 1 e B u( )d K e B dt A t t A t 这里K是u(t)的界，上式若有界当且仅当A1的特征值 均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计 及，故需加上| |有界的条件，而这个条件就是A4李 氏稳定的条件。A t e 4