线性系统理论——定理2-6

定理2-6 1◇→4今>6证明如下 1→4 系统可控,要证 ranklE AB "B=n 反证法:若 rankB AB A"B<n 彐c≠0 CIB 4B 4-1B O C4B=0 利用(1-48)式

1 4 6 证明如下： 14 系统可控，要证 rankB AB A B n n =  −1 反证法：若   0 1    − rank B AB A B n  n   0 1,2, , 1 0 1 = = − = − A B i n B AB A B i n     利用(1-48) 式 定理2-6

Φ(t2z) A(to-T) P(t0-)A(1-48) i=0 (t2)B=∑p,(to-r)aB=0 Φ(to,z)B行线性无关,与可控矛盾。 l<-4 若 rank AB…A"B」=n 要证系统可控。 反证法:若不可控, Vt, >t 彐a≠0ce(o0B=0r∈

  − = − = −  = − =  = = − − 1 0 0 0 1 0 0 ( ) 0 ( , ) ( ) 0 ( , ) ( ) (1 48) 0 n i i i n i i i A t t B t A B t e t A          (t 0 , )B 行线性无关，与可控矛盾。 14 要证系统可控。 rankB AB A B n n 1 =  − 若 反证法：若不可控，   0 1 ( ) 1 0 0 0 0 t t e B t t A t     =  −    

上式对τ求导,再求导.,依次可得 ce A(to-T)AB=0 ce(o-T)A-B=0 令 OB=aAB=…=04B=0 a|BAB…AnB|=0 与rmk|BAB AnB=n矛盾 4→6 若 rankB AB A"B=n

上式对τ求导，再求导…，依次可得 0 0 ( ) 1 ( ) 0 0 = = − − − e A B e AB A t n A t      0 1 = 0 = = = = − t B AB A B n 令        0 1 = − B AB A B  n  rankB AB A B n n =  −1 与 矛盾。 4  6 rankB AB A B n n =  −1 若

要证 V41∈A()mk[4-,IB]=n 用反证法,若有一个0,使ramk[A-4B<n 彐a≠0 a[4-01B=0→a4-201]=0aB=0 C4B=10B=0 a42B=0B=0 aA"B=0 →a|BAB A-B=0 与 rank[B AB…AB]=n矛盾

i  A() rankA− i I B = n 要证 用反证法，若有一个 0 ，使 rankA− 0 I B  n       0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0  = = = = = = − =  − = =   − − B AB A B A B A B AB AB B A I B A I B n n                 rankB AB A B n n = 与  −1 矛盾

4<6 V∈A(o)ramk[4-2B]=n,要证 rankB AB A-B=n 反证法:若 rank B AB…AnB=n1<n k 存在可逆矩阵T,T是将U=BAB AB 的后k行化为零行的行变换矩阵,即 TIB AB B=TB TAB TA B

46 i  A() rankA− i I B = n ，要证 rankB AB A B n n =  −1 反证法：若   n n k rank B AB A B n n n − = =  − 1 1  1 存在可逆矩阵T，T是将 U B AB A B n−1 =  的后k行化为零行的行变换矩阵，即 TB AB A B TB TAB TA B n−1 n−1  = 