《线性代数》第二章习题解答 (3)若AX=AY,且A≠0，则X=Y 解：D取A=11门 -1-1 0，而2=0 2)取4=07 则A≠0，A≠E,而A=A 00 3)取A=0 00=01 则X≠Y,A≠0，而AX=A 8.已知n阶方阵A,B可交换，即AB=BA,证明： (1)(A+B}=A2+2AB+B2 (2)-B2=(A+BA-B) (3)(AB)m三AmB",m为正整数 证：(1)(A+B)Y=(A+B(A+B)=AP+AB+BA+B =2+2AB+B2 (2)(A+BX(A-B)=A-AB+BA-B:=4-AB+AB-B2 =A42-B2: (3)归纳法：当m=1时，显然AB=AB:设： (AB)=A-B,则 (AB)"=(AB)-(AB)=A-BM-BA=A"-B"A 注意到4=884B,放B=4= [010 9.设A=001,求所有与A交换的矩阵B 000 解：设B=b1b2b: 「010h1b2b]「bb2b AB=00 1 ba bxz bas =bat bez bas 000 「h010]「0b:21 BA=ba ba3 001=0bb2 bbbL0000b1b」 由AB=BA得到：b1=b1=b2=0,b2=么：，b=b2 b2=b,b:=b2=1因此： 「b,h2b, 00 B 6
《线性代数》第二章习题解答 6 - - （3）若 AX AY A X Y = = , 0 且 ，则 . 解：（1）取 2 1 1 0, 0 1 1 A A = = − − 而 （2）取 2 1 0 , 0, , 0 0 A A A E A A = = 则 而 （3）取 1 0 1 0 1 0 , , 0 0 0 0 0 1 A X y = = = ， 则 X Y A AX AY = , 0,而 . 8．已知 n 阶方阵 AB, 可交换，即 AB BA = ，证明： （1） 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B + = + + （2） 2 2 A B A B A B − = + − ( )( ) （3） ( )m m m AB A B = ，m 为正整数。 证：（1） 2 2 2 ( ) ( )( ) A B A B A B A AB BA B + = + + = + + + 2 2 = + + A AB B 2 ； （2） 2 2 2 2 ( )( ) A B A B A AB BA B A AB AB B + − = − + − = − + − 2 2 = − A B ； （3）归纳法：当 m =1 时，显然 AB AB = ；设： 1 1 1 ( )m m m AB A B − − − = ，则 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m m m AB AB AB A B BA A B A − − − − = = = 注意到 m m m B A B B A AB = = 个 ，故 1 ( )m m m m m AB A AB A B − = = 9．设 0 1 0 0 0 1 000 A = ，求所有与 A 交换的矩阵 B . 解：设 11 12 13 21 22 23 31 32 33 b b b B b b b b b b = 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 b b b b b b AB b b b b b b b b b = = ， 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 b b b b b BA b b b b b b b b b b = = ， 由 AB BA = 得到： b b b 21 31 32 = = = 0 ，b b 22 11 = ，b b 23 12 = ， 32 21 33 22 11 b b b b b = = = , 因此： 11 12 13 11 12 11 0 0 0 b b b B b b b =
《线性代数》第二章习题解答 10.设：x)=3E-5x+,A-33 「2-11 ,证明：f(A)=0 证：f(4)=3E-5A+A2 6gs-B8副 「10r 10「10r101_「10] 解：（归纳法）当n=2时.久22月 及w [可-e:a 12设A是反对称矩阵，B是对称矩阵，试证： 1)?是对称矩阵： 2)AB一BA是对称矩阵： 3)AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 证：1)因A=-A,∴(A)=(A4)'=AA=(-A(-A)=A，故A为对称矩阵。 2)因：A=-AB=B∴(AB-BA0=(AB)-(BA0 =BAI-AB=B(-A)-(-A)B=AB-BA,.AB-BA是对称矩阵。 3)必要性：若AB是反对称矩阵，即(AB)T=一AB,由此得到： BAT=B(-A)=-BA=-AB,:.BA=AB 充分性：若AB=BA,则(AB)=BA=B(-A)=-BA=-AB即AB为反对称矩阵， 13.若n阶方阵A满足：A+2A一4E=0,试证，A+E是可逆矩阵，并求(A+E) 证：由A+2A-4E=0,得到：A+2A+E=5E,即(A+E)2=5E,(A+E(A+E)=E 所以A+E可逆，且(A+E)=(A+E) 14.设n阶方阵A满足：-4A2+3A-E=0,试证：A可逆，并求A 证：由-4P+3A-E-0,得到A(A-4A+3E)=E故A可逆，且 A1=P-4A+3E 15.设：A=(a,)m,且4=-l,又4=，试证：A+E不可逆 证：因(A+E)=E+=E+A=(A+E了，两边取行列式得到： rk4+B-r4+E-a+B=+,国r到=-l,代入上式得到： A+E=0,故A+E不可逆. 「3011 16.(1)设矩阵A=110满足AX=A+2X,求矩阵X 014 7
《线性代数》第二章习题解答 7 - - 10．设： 2 2 1 ( ) 3 5 , 3 3 f x E x x A − = − + = − ，证明： f A( ) 0 = . 证： 2 f A E A A ( ) 3 5 = − + 3 0 10 5 7 5 0 0 . 0 3 15 15 15 12 0 0 − − = − + = − − 11．计算： 1 0 1 n 解：（归纳法） 当 n = 2 时， 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1 = = ； 设： 1 1 0 1 0 1 ( 1) 1 n n − = − ；则 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 ( 1) 1 1 1 n n n n − = = = − . 12.设 A 是反对称矩阵， B 是对称矩阵，试证： 1） 2 A 是对称矩阵； 2） AB BA − 是对称矩阵； 3） AB 是反对称矩阵的充分必要条件是 AB BA = . 证：1）因 2 2 , ( ) ( ) ( )( ) T T T T T A A A AA A A A A A = − = = = − − = ，故 2 A 为对称矩阵。 2）因： , , ( ) ( ) ( ) T T T T T A A B B AB BA AB BA = − = − = − ( ) ( ) , T T T T = − = − − − = − − B A A B B A A B AB BA AB BA 是对称矩阵。 3）必要性：若 AB 是反对称矩阵， 即 ( )T AB AB = − ，由此得到： ( ) , T T B A B A BA AB BA AB = − = − = − = 充分性：若 AB BA = . ，则 ( ) ( ) T T T AB B A B A BA AB = = − = − = − 即 AB 为反对称矩阵。 13．若 n 阶方阵 A 满足： 2 A A E + − = 2 4 0 ，试证， A E + 是可逆矩阵，并求 1 ( ) A E − + . 证：由 2 A A E + − = 2 4 0 ，得到： 2 A A E E + + = 2 5 ，即 2 ( ) 5 A E E + = ，1 5 ( )( ) A E A E E + + = ， 所以 A E + 可逆，且 1 1 5 ( ) ( ) A E A E − + = + . 14. 设 n 阶方阵 A 满足： 3 2 A A A E − + − = 4 3 0 ，试证： A 可逆，并求 1 A − . 证 ： 由 3 2 A A A E − + − = 4 3 0 ，得到 2 A A A E E ( 4 3 ) − + = 故 A 可逆， 且 1 2 A A A E 4 3 − = − + . 15. 设： 1 ( ) , 1, T A a A A A ij m n − = = − = 且 又 ，试证： A E + 不可逆. 证：因 1 1 ( ) ( ) T T A A E E A E A A E − − + = + = + = + ，两边取行列式得到： 1 1 ( ) ( ) ( )T A A E A A E A E A E − − + = + = + = + ， 因 1 1 A 1 A − = = − ， 代 入 上式 得 到 ： A E + = 0 ，故 A E + 不可逆. 16． （1）设矩阵 3 0 1 1 1 0 0 1 4 A = 满足 AX A X = + 2 ，求矩阵 X