③运筹学 第二章多目标规划 △例2:【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元, 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1,……,n) 个项目要用资金a万元,预计可得到收益b;万元。问应如 何使用总资金A万元,才能得到最佳的经济效益? 决定投资第i个项目 设x 1,2, g n 0决定不投资第个项目 问题的约束条件为 」∑ ax<A (X;-1)=0 1,2 x.=0或1
http://www.tju.edu.cn 第二章 多目标规划 例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，……，n) 个项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如 何使用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？ n i i i=1 i i i 1 i i=1 2 n 0 i ax A x (x 1) 0 i=1 2 n x =0 1 i x ⎧ = ⎨⎩ ⎧⎪ ≤ ⎨⎪⎩ − = ∑ 决定投资第 个项目 设 ，，……， 决定不投资第 个项目 问题的约束条件为 ，，……， 或
③运筹学 第二章多目标规划 所谓“最佳的经济效益”,如果理解为“少花钱多办事” 则变为两个目标的问题,即投资最少,收益最大: f(x,…,xn)=∑bx→max f1(x,……x)=∑x→min 这是具有两个目标的0一1规划问题
http://www.tju.edu.cn 第二章 多目标规划 所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办事” 则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大： 这是具有两个目标的0－1规划问题。 1 1 1 2 1 1 ( )m a x ( )m i n n n ii i n n ii i f x x bx f x x ax = = = → = → ∑ ∑ ，……， ，……
③运筹学 第二章多目标规划 例3:【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成矩形 横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应力及强度条 件,要求木梁的高度不超过H,横截面的惯性矩不少于给 定值W,且横截面的高度要介于其宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸,可使木 梁的重量最轻,并且成本最低。 设所设计的木梁横截面的 图1 高为x1,宽为x2(图1)。 2 为使具有一定长度的木梁重量最轻,应要求其横截面 面积x1x2为最小,即要求x1x2→min
http://www.tju.edu.cn 第二章 多目标规划 例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成矩形 横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应力及强度条 件，要求木梁的高度不超过H，横截面的惯性矩不少于给 定值W，且横截面的高度要介于其宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸，可使木 梁的重量最轻，并且成本最低。 设所设计的木梁横截面的 高为x1 ，宽为x2（图1）。 为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横截面 面积x1x2为最小，即要求x1x2→min x1 x2 r 图1
③运筹学 第二章多目标规划 由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成 的,故其成本与树干横截面面积x2=z[(x/2)2+(x/2)2] 成正比。由此,为使木梁的成本最低还应要求x2+x)4 尽可能的小,或即:(x1+x2)>min 根据问题的要求,应满足下述约束条件:(x≤H x2≥W ≥0 ≥0 这是具有两个目标的非线性规划问题 x1≥0,x,≥0
http://www.tju.edu.cn 第二章 多目标规划 由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成 的，故其成本与树干横截面面积 成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求 尽可能的小，或即： 根据问题的要求，应满足下述约束条件： 这是具有两个目标的非线性规划问题。 2 22 1 2 π π rx x = + ⎡( / 2) ( / 2) ⎤ ⎣ ⎦ 2 2 1 2 π( )/ x x+ 4 2 2 1 2 ( ) min x x + → 1 1 2 1 2 2 1 1 2 0 4 0 0, 0 x H xx W x x x x x x ⎧ ≤ ⎪ ≥ ⎪ ⎪ ⎨ − ≥ ⎪ − ≥ ⎪ ⎩ ⎪ ≥ ≥
③运筹学 第二章多目标规划 由以上实例可见,多目标最优化模型与单目标最优化 模型的区别主要是目标多于一个。在这些目标中,有的是 追求极大化,有的是追求极小化,而极大化与极小化是可 以相互转化的。因此,我们不难将多目标最优化模型统 成一般形式: 决策变量:x1, ,Ⅹ 函数:minf1(x1, minf (X1, ,Ⅹ 81(x1 ,xn)≥0 约束条件: gn(x,……,x)≥0
http://www.tju.edu.cn 第二章 多目标规划 由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标最优化 模型的区别主要是目标多于一个。在这些目标中，有的是 追求极大化，有的是追求极小化，而极大化与极小化是可 以相互转化的。因此，我们不难将多目标最优化模型统一 成一般形式： 决策变量：x 1，……，x n 标函数：minf 1(x 1，……，x n ) ……………… minf p(x 1，……，x n ) 1 1 1 ( )0 ( )0 n m n gx x gx x ⎧ ≥ ⎪ ⎨ ⎪ ≥ ⎩ ，……， 约束条件： ……………… ，……