第三章非线性规划 Maxz=cx 请回顾线性规划 AX≤b,其目标与约束函数 x≥0 均为线性的。线性规划具有相对完美的理论与方法,应用 也很广泛,但它终究不能穷尽各种优化问题,因为世界是 非线性的 非线性规划( Nonlinear Programming)研究具有非线 性构成函数的优化问题,是运筹学中相对活跃的重要研究 分支
第三章 非线性规划 请回顾线性规划: ,其目标与约束函数 均为线性的。线性规划具有相对完美的理论与方法，应用 也很广泛，但它终究不能穷尽各种优化问题，因为世界是 非线性的。 非线性规划（Nonlinear Programming）研究具有非线 性构成函数的优化问题，是运筹学中相对活跃的重要研究 分支。 = 0 . . X AX b st Maxz CX
第一节基本概念 非线性规划问题与模型 1.问题 1)生产计划问题 x:产量;P(x)价格;C(x)成本 max f(x)=xP(x)xC() s(8(20 h,(x)=0
第一节 基本概念 一、非线性规划问题与模型 1. 问题 ⑴生产计划问题 max ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . . ( ) 0 i j f x xP x xC x g x s t h x = − = x:产量;P(x):价格;C(x)成本
(2投资决策问题 第i种股票的购买量;P:第i种股票的价格 B:总资金;H,:第种股票的每股平均收益 β:风险系数;σn:第i种与第j种股票收益的协方差 max(x)=∑x1-B∑∑x Px.≤B ≥0
⑵投资决策问题 1 1 1 1 : : : : : : max ( ) . . 0 j j j ij n n n j j i j j i j n j j j j x j P j B j i j f x x x x P x B s t x = = = = = − 第 种股票的购买量； 第 种股票的价格 总资金； 第 种股票的每股平均收益 风险系数； 第 种与第 种股票收益的协方差
2模型 min f(X) (NLP)St ∫h(X)=0,=1 g(X)≥0,j=1,…,l 其中X=[x1…,x 记D={X∈R|1(X)=0,9(X)≥0} 则(NP)也可以表示为minf(X) X∈D 其中D称为(NLP)的约束集或可行域 当D=R时,(NLP)称做无约束极值问题; 当D≠R咐时,(NLP)称做约束极值问题
2.模型 1 n n min ( ) ( ) 0, 1, , ( ) . . ( ) 0, 1, , [ , , ] { | ( ) 0, ( ) 0} min ( ) D NLP D R NLP D R NLP i j T n n i j X D f X h X i m NLP s t g X j l X x x D X R h X g X NLP f X = = = = = = 其中 记 则（ ）也可以表示为 其中 称为（ ）的约束集或可行域。 当 ＝ 时，（ ）称做无约束极值问题； 当 时，（ ）称做约束极值问题
模型的解及相关概 1.可行解与最优解 ★可行解:约束集D中的X ★最优解:如果有ⅹ∈D,对于任意的X∈D, 都有f(X)≤f(X),则称X为(NLP)的最优 解,也称为全局最小值点。 ★局部最优解:如果对于X"∈D,使得在X的邻 域B(X0,E)={X‖X-X‖<e}中的任意X∈D 都有(X)≤f(X),则称X0为(NLP)的局部最 优解,也称为局部最小值点
二 、模型的解及相关概念 1.可行解与最优解 ★可行解：约束集D中的X。 ★最优解：如果有 ，对于任意的 ， 都有 ，则称 为（NLP）的最优 解，也称为全局最小值点。 * X D X D * f X f X ( ) ( ) * X ★局部最优解：如果对于 ，使得在 的邻 域 中的任意 都有 ，则称 为（NLP）的局部最 优 解，也称为局部最小值点。 0 X D 0 X X D 0 f X f X ( ) ( ) 0 0 B X X X X ( , ) { | } = − 0 X