《常微分方程习题答案》讲解

I-2cos xlg2+18(-)-1+2c g2=0, 12)sin_(csc 2y) cot(2y)+c=0 3)y= 14)arct 2-Inx+c=0, 15)er-Inx+C=0 C+arctge 16,17,18,19提示:令分母,分子分别等于零,解出交点(x0,y),做y=y-y0,X=x-x0, 代回原方程,再令=1,求导代入即可化成变量可分离的方程 1)y=2+v6x3+27x2+36x-332) x2+sinx+y3+2y2-3=0 4)actg 2y=-arctgx+5)y=xe 31),yx =ce,c>0 2)y=ce+r,2 ,3)(1+y)=x2+3x+c )arctgx=---t+c,5)x+1+x2=ce 4证明(略)方程解是1)y=cx√x2y2+2,2) 4y +c 5.f(x)=± 6.x(D)=g[x(0 7.y=cx,代入y(0)=0,则y≡0,存在区间是(-∞,+∞) 8.证明:方程解是y= 当y≠0,≠一时 (1)当y>0,极限是,当y=时,是显然成立的 (2)当y。=0,由解的唯一性知极限是“0” (3)当y<0,满足条件的x0是x0=-ln(1-)

11) 0 2 ) 1 2 4 ( 2 2cos 1 2 − + − + = y c tg y tg y xtg ，12) cot(2 ) 0 2 ln(csc2 ) sin − − y + c = y x 13) x c arctge y + − = 1 ，14) − ln x + c = 0 x y arctg ，15) e − ln x + c = 0 x y 16，17，18，19 提示：令分母，分子分别等于零，解出交点( , ) 0 0 x y ，做 0 0 Y = y − y , X = x − x ， 代回原方程，再令 u X Y = ，求导代入即可化成变量可分离的方程 2. 1) 6 27 36 33 3 1 2 3 2 y = + x + x + x − ,2) 2 1 1 2 2 2 − = − x e y ， 3 ） sin 2 3 0 2 3 2 x + x + y + y − = 4） 4 2 2 π arctg y = −arctgx + 5） 1 1 − − = x y xe 3.1） , 0 1 2 2 2 2 = > + ce c y y x 2） 2 1 2 (1 ) − + = x y ce ，3） (1+ y) = x + 3x + c 3 1 3 2 4） t c t arctgx = − − + 1 ，5） 1 , 0 2 2 x + + x = ce c > t 4.证明（略）方程解是1） 2 2 2 y = cx x y + ，2） x y c x y = + 2 2 4 1 ln 5． x f x 2 1 ( ) = ± 6． ( ) [ (0) ] ' x t = tg x t 7． 2 sin x y y ce − = ，代入y（0）＝0，则 y ≡ 0，存在区间是(−∞,+∞) 8. 证明：方程解是 σ σ ε ε ε − + = − x e y y ( ) 0 当 σ ε y ≠ 0,≠ 时 （1） 当 y0 > 0，极限是 σ ε ，当 σ ε y = 时，是显然成立的 （2） 当 y0 = 0，由解的唯一性知极限是“0” （3） 当 0, y0 < 满足条件的 0 x 是 ln(1 ) 1 0 0 y x σ ε ε = −

9.解:设任一时刻B点的坐标是(x,y),A点的坐标是(X,0),则由题意知 得x2+y=6Ax20+-,经过点Qb,联立存中。、b-y,解 (X-x)2+y2=b2 dy 0.y=-x+3 11.1)8倍,2)1250个 12.提示:温度变化率与温差成正比。23点视为零时刻,则方程为C=28+28e09,而 人正常体温是36.5左右,代入可得t=-1.2,因此说明受害者的死亡时间是在22:20左右。 13.假设一天服药n次,时间间隔为T,则在 1<T 方程是x()=ae T<t<2T 方程是x()=(a+ae)ek=n nT≤t<(n+1)7方程是x()=(a+ae++a时)ek(=mn 上面的当n→>∞,可以求出a+ae++a的极限是a 因此在等间隔服药的过程中,药的浓度在人体中呈上升趋势,最后稳定在一定的水平 图象如下所示 其中A是浓度的最大值 浓度 0 T 21 31

9 ． 解：设任一时刻 B 点的坐标是 (x, y) ， A 点的坐标是 (X,0) ，则由题意知： 2 2 2 (X − x) + y = b ，且 X x y dx dy − = − ，经过点 (0,b) 。联立有： y b y dx dy 2 2 − = − ，解 得 x + y = b , x ≥ 0, y ≥ o 2 2 2 且 10． y = −x + 3 11．1）8倍，2）1250个 12．提示：温度变化率与温差成正比。23点视为零时刻，则方程为 0.934 28 2.8 t C e− = + ，而 人正常体温是36.5左右，代入可得t = −1.2 ，因此说明受害者的死亡时间是在22：20左右。 13．假设一天服药n次，时间间隔为T，则在 0 ≤ <t T 方程是 ( ) kt x t ae− = Tt T ≤ < 2 方程是 ( ) () ( ) kT k t T x t a ae e − − = = + 。。。。。。 nT t n T ≤< + ( 1) 方程是 ( ) ( ) ( ... ) kT nkT k t nT x t a ae a e − − −= = + ++ 上面的当 n → ∞ ，可以求出 ... kT nkT a ae a − − + ++ 的极限是 1 kT a e− − 。 因此在等间隔服药的过程中，药的浓度在人体中呈上升趋势，最后稳定在一定的水平。 图象如下所示 其中 A 是浓度的最大值 浓度 A 0 T 2T 3T t

返回目录 习题答案23 1.1)不是,2)是3)是4)是5)不是6)是7)c=2b,是;否则不是8)是,9)不是 (→P(m(x)y 2.1)=x,2)H=y-,3)=x3,4)=e 3.1)y=(x2+c) x C 3)xsin(x+y)=c 4)xy+xy=c,5)e xcosx+e'(-lsinx=c f(x) 5。a=1,方程解是x- e sin y=c 6.1)(有错误) 2)H=x3,方程解是:t2 3)凵=x+1,方程解是:x3y+x2y2+2x2y+2xy2+xy+y2=c 4)H=x2,方程解是x3y3-2=c 7.显然只需要证明fxyyφ(x,y)对y的偏导等于g(xy)yp(x,y)对x的偏导 a(f(x, y)o'(x,y) f ,(x,y)g(x,y)+f(x, y)g, (x, y) 同样我们得到 ∫(x,y)-g(x,y) (f(xy)(x,y)=f(x,y)g(x,y)+f(x,y)g,(x,y)则(x,y)是其积分因子。 (f(,y)-g(x,y)) f(x+y) 8(xy) N-M N-xM 9. a(M(x, y)u(x,y))/ ay=(yM, N-MN-yMNyV(XM+yN) a(N u) ax((MX -MN)(xM+yN 验证让二者相等即可 0证明:因为以(x,y)G(F(xy)Mx+Ndy)=G(F(x,y)dF=dG(F(x,y)dF) 所以H1,2(x,y)G(x,y)也是(232)的一个积分因子 11F=,则有①=gM,=gN,确定 2

返回目录 习题答案 2.3 1．1）不是，2）是 3）是 4）是 5）不是 6）是 7）c = 2b ，是；否则不是 8）是,9)不是 2．1） μ = x ，2） −4 μ = y ，3） 3 μ = x ，4） ) 1 ( ) ( ( ) ' 1 ' + − − = = a g x y p x y a μ e 3. 1） 2 ( ) 2 x y x c e− = + ，2） 2 3 x x c y = − + ，3） x sin(x + y) = c 4） x y + x y = c 4 2 3 5 ，5）e x x e y x c y y cos + ( −1)sin = 4． 2 ( ) x f x = ， 5。 a = 1,方程解是 x e y c x − = − sin 6． 1）（有错误） 2） −3 μ = x ， 方程解是： c x t t − x + = 2 −2 2 1 2 3 3） μ = x＋1，方程解是： x y + x y + x y + xy + xy + y = c 3 2 2 2 2 2 2 2 4） −2 μ = x ， 方程解是 c x y x y − = 3 3 3 1 7.显然只需要证明 f(x,y)/ϕ(x, y) 对 y 的偏导等于 g(x,y)/ ϕ(x, y) 对 x 的偏导 = ∂ ∂ y (f(x, y) (x, y)) -1 φ 2 ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y g x y f x y g x y f x y g x y y y − + , 同样我们得到： x x y ∂ ∂(f(x, y) ( , )) = -1 φ 2 ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y g x y f x y g x y f x y g x y y y − + ，则ϕ(x, y) 是其积分因子。 8. ( ) M N y x f x y N M − = + − ; g(xy) yN xM M y Nx = − − 9．∂ (M(x,y) μ (x,y))/ ∂ y=(yMyN-MN-yMNy)/(xM+yN)2 ∂ (N μ )/ ∂ x=(x(MxN-MNx)-MN)/ (xM+yN)2 验证让二者相等即可 10.证明：因为 μ( , ) ( ( , ))( ) ( ( , )) ( ( ( , )) ) x y G F x y Mdx Ndy G F x y dF d G F x y dF += = ∫ 所以 1 2 μ ,μ μ(, ) (, ) x yGxy 也是（2.3.2）的一个积分因子 11. 记 1 2 F μ μ = ，则有 , F F gM gN x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ，确定 g 即可

返回目录 答案2.4 1.1)y-x=c(y+x)3,2)x+2y3 3)x-cye-x, 4) xy-Iny+c=0, 5)y=2x+ arcsin(ce 6)y-arcg(x+y)=c,7)(x-c(l-g(x-y)-2=0 8)arcg(√3(3y+2x)=2√3+c 2.1)-ln ln(-+1)+lnv+c=0 2)ln(x2-y2+1)-n(2x2-y2+3)+c=0 3)+c=04) +--Inx+c=0 3) 5)y3 0,6)ln in y +In 0 1+xy In xy 7)In =0 3.1) in y -e +x=0, 2)In(cos x)+sin 3x +=sin x In(cos y)+C=0 x+1 3)4x-8sin y+3=ce xsin(x+y) 4.1)x(2+xy)=c(1+xy),2)Inx+c 2xy-1 3) acctg I+I+c=0. 4)Inx+c+ 0 1+ 5)1)u=xy, du/dxxdy/dx+u/x=(u)x+/x(fu++u/X 2)uy/x du/dx(dy/dx)/x-2x*x uf(u)/x-2u/x(f(u)-2u)/x; 返回目录 习题2.5 1)令

返回目录 答案 2.4 1．1） 3 y − x = c( y + x) ， 2） x y x c x y − + + = + + ln 4 8 1 2 3 2 2 3） xy x cye− − ，4） xy − ln y + c = 0，5） 2 arcsin( ) 2 2 x y = x + ce 6） y − arctg(x + y) = c ，7） ( )) 2 0 2 1 (x − c)(1− tg x − y − = 8）arctg( 3(3y + 2x)) = 2 3 + c 2．1） 1) ln 0 2 ln( 4 1 ln 2 1 + + + v + c = v u v u 2） ln(2 3) 0 2 3 ln( 1) 2 2 2 2 x − y + − x − y + + c = 3） ln( 3) 0 4 1 ln( 1) 4 5 2 2 2 2 x − y − − x + y − + c = ， 4） ln 0 1 2 2 2 2 − + − x + c = y x x x y 5） 0 2 3 3 3 − − = x c x a y ， 6） ln ln 0 2 1 ln 2 2 = + − − + x x y x y x c 7） 0 4 1 ln ln = + + − xy xy xy x c 3．1） 0 1 sin − + = + e x x y x ，2） sin ln(cos ) 0 4 3 sin 3 12 1 ln(cos x) + x + x + y + c = 3） 9 4 8sin 4 8sin 3 x y x y ce − − − + = 4） x sin(x + y) = c 4．1） x(2 + xy) = c(1+ xy) ，2） 2 1 2 ln − + = xy x c 3） 0 1 + + c = x x y acctg ，4） 0 1 1 ln = + + + xy x c 5) 1）u=xy,du/dx=xdy/dx+u/x=xf(u)/x2 +u/x=(f(u)+u)/x; 2）u=y/x2 ,du/dx=(dy/dx)/x2 -2x-3*x2 u=f(u)/x-2u/x=(f(u)-2u)/x; 返回目录 习题 2.5. 1．1） x t t y t t c t y = = + = + 2 + 2 3 ; , 令 ‘ 1 3 2 2

2)y=-X+C或y=2x+Cx+c2,3)y=-4(mnx)+C或y=C+ 5)y2-4x2=c,或y=C1x2+c2,6)y=c1x+c2 2.1)y=tgg y=a(1+cos 20),x=-1(20+sin 2o)+c,y=2a 2)令P=D则y=±√2,y=2(512+2)2,x=-arcg1{+c 3)令p=tx则x=±(1+32),y= 6(1+3r) 4)x=1,y=t2-2+2+ce 412(4-8 P t+c (1+13) 令p=e则x= 1)x+2p=0y=xp+p2,消去p,我们得到:y=x24 2)2x+2p=0y=2xp+p2,消去p,我们得到:y=y 3)p=0,(y-1)2p2=4y,消去p,我们得到:y=0 4)x-1/p2=0y2=x2p2+l/p2+2x,消去p,我们得到:y=4x 1)以(x,y,c)=-cx-c2=0,aq(x,y,c)/=-x-2c=0,消去c我们得到原曲线族的包络 x2/4 2)p(x,y,c)=c2y+cx21=0,00(x,y,c)/ac=2cy+x2=0,消去c我们得到原曲线族的包络: 3)p(x,y,c)=(x-c)+(yc)=4,o(x,y,c)/Oc=2(cx)+2(c-y)=0,消去c我们得到原曲线 族的包络:(xy)=8 4)p(x,y,c)=(xc)+y2=4c,ag(x,y,c)/ac=2(cx)4=0,消去c我们得到原曲线族的包 络:y2-4x-4=0 录 答案26 1:=1+int(x*y0,x=0..x);

2） 1 2 2 2 2 1 y = −x + c或y = x + c x + c ，3） 1 2 (ln ) 4 1 y x c y ce c x = − + = + 或 − 4） 5） 2 2 1 2 2 2 1 y − 4x = c,或y = c x + c ，6） y = c x + c y = + x + c 2 1 2或 1 2．1） y tg ; y a(1 cos 2 ), x 1(2 sin 2 ) c, y 2a ' 令 = φ = + φ = − φ + φ + = 2） p = ty y = ± y = t + x = − arctg t + c − 2 5 2 5 , 2 2(5 2) , 令 则 ， 2 1 3） c t p tx x t y + + − = = ± + = − 6(1 3 ) 1 (1 3 ) , 2 令 则 2 1 4） t x t y t t ce− = , = − 2 + 2 + 2 5） ∫ + + − = + = = dt c t t t y t t p tx x 3 3 2 3 3 (1 ) 4 (4 8 ) , 1 4 令 ,则 6）令 t p = e 则 x t e y e t c t t = + = − + − , 3. 1) x+2p=0,y=xp+p2 ，消去 p，我们得到：y=-x 2 /4; 2) 2x+2p=0,y=2xp+p2 ，消去 p，我们得到：y=-x 2 ; 3) p=0,(y-1)2 p 2 =4y/9，消去 p，我们得到：y=0; 4) x-1/p2 =0,y2 =x 2 p 2 +1/p2 +2x， 消去 p，我们得到：y=4x. 4. 1）φ(x, y,c) =y-cx-c 2 =0, ∂ϕ(x, y,c)/ ∂c = -x-2c=0,消去 c 我们得到原曲线族的包络： y+x2 /4=0. 2）φ(x, y,c) =c 2 y+cx2 -1=0, ∂ϕ(x, y,c)/ ∂c = 2cy+x2 =0, 消去 c 我们得到原曲线族的包络： x 4 /(4y)+1=0. 3）φ(x, y,c) =(x-c)2 +(y-c)2 =4, ∂ϕ(x, y,c)/ ∂c = 2(c-x)+2(c-y)=0, 消去 c 我们得到原曲线 族的包络：(x-y)2 =8. 4）φ(x, y,c) =(x-c)2 +y2 =4c, ∂ϕ(x, y,c)/ ∂c = 2(c-x)-4=0, 消去 c 我们得到原曲线族的包 络：y 2 -4x-4=0. 返回目录 答案 2.6 1．1）y0:=1; y0 := 1 y1:=1+int(x*y0,x=0..x);