ˇ典型例题、习题精选详解 例2.1-1设g(0)=g(0)=0,f(x)=g()sin x,了关0 ,求f(0) 0, 0 例21-2若f(x)存在,试求mm+4)=(x=2△x r→ 例21-3设f是定义在R上的函数,且对任何x,x∈R,都有fx1+21)=f(x)fx),且 f(0-1.证明对任何x∈R都有/(x)=fx 例21-4若f()>,试证36>,Vr∈(a;a+8,成立fr)>/a, 6215求下列函数的导数:(3)y=√r+√x+cm 12
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sn==0 【解】im f(x+4x)-f(x-2 (f(r6+△x)-fx)-(f(x-24x)-f(x) △r floo+ Ar)-/(zo +hi t m 二 2△r f(rs) 【证】由∫(x1+n)=f(x)f(x2),令=x:=0,得f0)=f2(0),则f(0)=0或f(0)=1. 若f f(0)=0,则f(x)∞f(x+0)=f(x)f(0)=0,Vx此时命题显然成立 设f(0)=1,则 f(x)=lim I+ar)=f2)e lim (2) f(ar)=r) 1 f(△x) f(△x)-f(0 13 Ar f(x)=f(0)f(x)=f(x)
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【证】因 f'a)lim 4-14>0 t I-a 由保号性可知]b>0,当x∈(a;a+》时, ()-f(a) >,即∫(x)>f(a 9-++s+3++,) 14
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例2.1-6求下列函数的导数:(1)y=f(e)e(-) (3)y= arctan 例2.1-7用对数求导法求下列函数的导数: (1)y r厂x+ 例21-8求下列函数的导数,D/x== 1-xV1+x+x2 e"sint (3) arctan 2=In 15
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【解】(1)y=f(e")ee+f(e)e"f(x) 元2(2)2①B干 e(x)中(x) (3)y P(r + 1十 【解】(1)y=hn—=xyi+x+x Iny s 2lnT-In(l-r)+ain(x+1) ln(1+x+x2) -2++一量 y√1(2+x 2x+x+ (2)w=x=c,a'(x)=e(1+lnx) ny rInx y(x)=(x)lnr+x=r(i+lnx)hnr+ y(x)=r[r(1+Inz)Inr+rJ 16
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