1.8毕达哥拉斯定理 ·27· 在《九章》一书的第九章中，这一章是专门讨论直角三角形问题的，在所有这些问题中都预先假定 有毕达哥拉斯定理.例如，在问题6中，已知一个正方形的池塘，边长为10尺，芦苇生在水中央，其顶 高出水面1尺.把芦苇拉到池岸，其顶刚刚碰到岸边，求水深和芦苇的长.在图1.25中，y=5,x+a =d,其中a=1.一个现代的解可能是这样来开始的，令d2=x2+y2.用简短的计算就可得出x= 2.将所给的数值代入，得x=12,从而d=13. 2a 《九章》中的解法是这样讲的：“半池方自乘，以出水1 尺自乘，减之，余，倍出水得水深.加出水数，得葭 长”4.将这个算法译成公式就是我们已经推导出的 =。心然而有一点不清楚的是，到底九章》的 G 作者是用了上述代数解法，还是用了如图所示的几何 解法，从图中可见有y2=AC2=AB2-BC2=BD2- 图1.25池塘中芦苇的长度.摘自《九章》第 EG2=DE2+2CE×BC=a2+2ax.但有一点可以肯 九章，问题6. 定的是，作者在使用毕达哥拉斯定理上是非常熟练的， 我们还要进一步指出，与《九章》第九章中的所有问题一样，问题6中的答数都是有理数.因为 在每个问题中都含有直角三角形，可由此推知，正如在巴比伦泥板教材中一样，问题就是特意这样 来编的，使得这些直角三角形的各边长都为有理数.不仅用到了(3,4,5)和(5,12,13)这样一些人们 所熟知的三数组，还用到一些不太明显的三数组，如(55,48,73)和(91,60,109).作者是怎样算出这 些三数组而使他的问题能得出有理数答案的呢？ 该章第14题给了我们一点线索.现有A,B二人从同一地点出发.A的速率为7，B的速率为3. B向东走；A先向南走了10步，再向东北方向走，直至与B相遇.问：A,B各走了多远？作一个直角 边为和，斜边为：的直角三角形，我们有y=10,:+y=子.作者然后算得 27+3 220,x=7.3u. 式中v是一个任意常数.由于y=10,v必定为1/2，因而有z=141/2步，x=101/2步作为所求 的答案，这里重要的一点是，作者表明了如何来一般地计算毕达哥拉斯的三组数.因为如果z+y= 合x,以及2-子=，则有：-y=/(z+）=号，以及 26*,ysa263 2abx. 由此得出公式 t=b,y=2-62 2 在a,b为奇数和a>b的情况下，x,y,z必定为一毕达哥拉斯的三数组.例如，三数组(55,98,73)可 通过取a=11,b=5得到，而三数组(91,60,109)可以由取a=13,b=7得到 在求边为整数的直角三角形上，毕达哥拉斯三数组非常有用.如果这确是这种三数组发展的理 由，那么就可以认为毕达哥拉斯定理的几何意义是早已为人所知.接下来很自然的问题就是，这个 定理是怎么被发现和怎样“被证明”的.和在许多其他领域中一样，没有对这一发现的记载.在所有 提到过的课本中都是把它当作已知的.然而，关于“证明”倒是有迹可循 印度的《纯法经》在它的构造圣坛的法则中给出了这样一个论断：“一个正方形的两相对顶点
·28· 第1章 古代数学 的连线所产生的面积是该正方形面积的二倍”.5这个 论断使人想到图1.26(a),从这张图可以明显地看出该 论断的证明来.由于这只是毕达哥拉斯定理的一个特 例，可以猜想，普遍情形下的毕达哥拉斯定理可以通过 改进这个图来证明.事实上，在至少是公元前数百年中 国人的一本《周髀算经》中就确有这样一张改进的图 (a) (b) (图1.26(b)).附带有一段注文如下： 图1.26(a)印度人对毕达哥拉斯定理的一 故折矩，以为句广三，股修四，径偶五.既方 个特例的证明：(b)中国人对毕达哥拉斯定理 之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五.两矩共 的证明 长二十有五，是谓积矩.26 尽管注文和图形是对特殊三角形(3,4,5)来讲的，（在最后两行中的）证明却具有普遍意义.用 a来记宽度，用b记长，用c记对角线长.则可论证如下：(a+b)2-2ab=c2;由于(a+b)2=a2 +b2+2b,立即就得到了毕达哥拉斯定理.从几何上来看，论证直接有赖于用两种方式对大的正方 形进行剖分，第一种是将它分成一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，加两个面积为ab 的矩形；而第二种剖分是将它分成一个边长为c的正方形加两个面积为b的矩形.同样立即可以推 得所要的结论. 上述论证能否算是证明呢？要想满足现代的标准，还必须证明，内接的图形（边长为c的正方 形)和外接的图形（边长为α+b的正方形）的确是正方形.对古人来说，对今天大多数的学生来说 可能也一样，这是显然的.中国人没有用一个公理体系来证明定理的观念.“证明”只不过是意味着 令人信服的论证.事实上，在希腊文中，定理(theorem)这个字来自“theorein'”,它表示“注视”的意 思.如果你注视着这个图形，你立即就会看出这个定理，巴比伦人对这个定理的最早记载也根本没 有对它的论证.然而，这里所讲的论证，那些书记员们肯定也是能够做到. 1.9 二次方程 含有两个未知量的乘积或一个未知量的平方的问题会导出我们今天称为二次方程的方程.例 如，涉及毕达哥拉斯定理的问题就通常会导致这样的方程.这种方程是古代巴比伦人的一个主要研 究领域，它们也出现在中国的文献资料中.在这两个文明中，解题的方法是以几何概念为基础的，就 是说，以几何的正方形和矩形这些概念，而不是以算术上的平方和乘积的概念为基础的 中国的《九章》中的第九章，讲直角三角形的那一章，有几个问题，翻译过来就是二次方程.例 如，问题20要求解方程x2+34x=71000.遗憾的是，该书的作者在这里只讲了解为x=250,方法 一点也没有讲.然而在第六章中有一个解这种问题的方法，它与先前讨论过的中国人求平方根的算 法有密切的关系，这个算法有它的几何根源.换言之，它是一种递归算法，每一步得出一个更接近正 确答案的近似， 《九章》中的多数二次方程问题翻译过来都是有两个方程的方程组问题.例如，问题11是这样 一个问题：有一扇门，高度比宽度多6.8尺，两对角顶点间距为10尺，问门高和宽各是多少.应用毕 达哥拉斯定理，这个问题就可译成下述方程组： x-y=6.8, x2+y2=100. 中国人的解法是以先前已提出的对毕达哥拉斯定理的“证明”为基础的.如果我们将这个问题重写
1.9二次方程 ·29 成更一般的形式：x-y=d,x2+y2=c2,则在那个证明中所采用的图形表明有(x+y)2=4y+ (x-y)2以及2=2xy+(x-y)2,因而有4xy=2c2-2(x-y)2.由此推得(x+y)2=2c2- (x-y)2,即x+y=√2c2-(x-y,或最终有 =√-( 2 由此式确定的步骤使得作者能首先定出x+y=12.4,然后，将此式与x-y=6.8相结合，得出解 为x=9.6,y=2.8 尽管《九章》中还包括了其他一些可解释成线性和二次方程组的问题，但来自古代的大多数二 次方程的例子都是出自巴比伦的文献.”.事实上，许多古巴比伦泥板上列有大量的二次方程.某些 这种巴比伦问题的标准形式 x+y=b,x·y=c 使人想到，这些巴比伦人原来是想处理一个矩形的面积与其周长之间的关系.看来在古代很多人以 为一块田的面积只与它的周长有关.有各式各样的故事表明，那些懂得更多的人就利用这一点来占 那些持有这种错误认识的人的便宜.于是不难想到，那些巴比伦的书记员为了说明周长相同的矩形 可以有各种不同的面积，编制了一给定周长为2b,但长x与宽y各不相同的矩形面积c的表.研究这 种表中各种长x=号+：和宽y=合-z与矩形面积c=(受+川受-)=(2)-2之间的 关系，可以得出这样的结论，就是他们已经注意到了：=√(2)-c,从而得知 =+√}-,=9-√(- 是上述方程的解.总之，巴比伦的书记员们就是用我们这些现代公式所描述的算法来求解这类问 题的. 自然，巴比伦人不会写出公式来.每个问题都是用在长度、宽度和面积上标记数字的方式提出， 再指示特定的数值计算方法，这种方法我们可以用上述公式来解释.例如，拿泥板YBC4663上的一 个问题x+y=61/2,x·y=71/2来讲.书记员首先将61/2取半得31/4.然后将31/4平方得 109/16.将它减去71/2，余31/16.取其平方根得 x 13/4.于是长度为31/4+13/4=5，宽度则为 x-y 31/4-13/4=11/2.无论这个方法的最终根源何 b/2 在，仔细阅读泥板上的文字似乎表明，书记员的脑子 里已经有一个几何方法（图1.27），为了具有普遍性， b/2 其中各条边已经按照一般方程x+y=b,x·y=c x-y 来作标记.8书记员开始将和b取半，然后再作这一 2 半的平方.由于号×-2=y+2之，号的平 图1.27 解方程x+y=b,x·y=c的几何方法. 方比原矩形的面积e要大过一个2)的平方，即 (支）”=9+（色2）2 那么由图1.27可见，如果将这个正方形的边，即√（受》-c,加到？上，就得到了长度x,如果从号
·30· 第1章古代数学 减去这个值，就得宽度y,因此这个算法正好就是上一节中所指出的方法 对巴比伦人为其他类型的二次方程问题所研究出来的算法可以作类似的几何解释.例如，方 程组 x-y=b, x2+y2=c 可以用下述现代公式所表述的算法来求解. =√-(T+,y=√号-(}-多， 尽管这个问题和《九章》中一个关于门的问题形式相同，看来巴比伦人是用了一种不同的几何概念 来求它的解.图1.28表明有 2+y=2)+22 由此得出e=2支+2()，从而有之-√号-(}因为x=支+2，以及 y=Y-,Y,即得要求的结果 2 b/2 2 bx x-y b/2 2 图1.28求解方程组x-y=b,x2+y2=c的 图1.29方程x2+bx=c根的公式的几何意义. 几何方法. 除了方程组，巴比伦人也求解单个的方程.在泥板BM13901上就有这样的问题，其中有一个如 下：一正方形的面积与它的一条边的4/3之和为11/12.求其边长.用现代的术语来说，要解方程 x2+（4/3)x=11/12.为了求解，书记员告诉我们取4/3的一半，得2/3，取2/3的平方，得4/9，然后 将这个结果加到11/12上去，得113/36.这个值是7/6的平方.从7/6中减去2/3得1/2，这就所需要 的边长.这个巴比伦的算法可以容易地翻译成现代解方程x2+bx=c的公式，即 x=A (+e- 可以认得出来这就是二次方程求根公式的一种形式.然而，问题是巴比伦人是怎样来阐释他们的方 法的呢？初看起来，这个问题的陈述不具有几何性质，因为要我们做的是将一边的一个倍数加到一 个面积上去.但解的几何解释似乎提示我们，这个倍数可以看成是一个长度为x,宽为43的矩形， 这个矩形要加到边长为x的正方形上去（图1.29）.在这个解释之下，解法就相当于将这个拼在该正 方形某一边上的矩形切成两半，并将切下的一半挪到这个正方形的底部.加上边长为b/2的正方形 就可以将所述图形“补成正方形”.于是未知长度x显然等于这个新的正方形的边长与b/2之差，完 全与公式所讲的一样
巴 题 ·31· 对于巴比伦人得出方程x2-bx=c的解x=√(b2P+c+之的算法，其几何意义也可以类 似地来说明.不过，应该记住，根的“二次式”对巴比伦的书记员们来说，它的意义和我们今天所指 的不一样.首先，书记员们在解这两种类型的方程x2+x=c或x2-bx=c时所用的算法是不同 的，因为这两类问题不一样；它们有不同的几何意义.另一方面，对一个现代的数学家来说，这些问 题却是一样的，因为x前的系数可以取正数，也可以取负数.其次，在这两种情况下现代的二次式对 每个方程都会给出一个正的解和一个负的解，然而，负的解没有几何意义，因而被巴比伦人所完全 忽视.有趣的是，有两个正根的，形式为x2+c=bx的方程也被巴比伦人忽略了.在泥板中没有出 现过这种方程.尽管能把方程写成这种形式的问题的确存在，书记员们显然想不到，单个方程居然 能使同一未知量获得两个不同的值.所以他们想尽一切办法阻止这种可能性出现.做到这一点的最 简单的办法就是把问题重新写成这样的形式：x+y=b,x·y=c,这样两个解分属两个未知量.方 程+e=a只在(》° c这个惟一特殊的情况下求解过，因为在这种情形下只有一个解 有很多巴比伦的泥板上有许多分成组的二次方程的问题.这种一组一组的问题代数上常常很 复杂.有些问题组是以“抽象”的形式写出来的，另一些则从前后文来看似乎是“真实世界”中的问 题，例如工程中的问题.这后一类二次方程的问题实际上是人为编制的，和我们在当今代数教科书 中所遇到的有些问题是一样的这些作者也知道这些问题是编造的，这一点从给定一组中所有问题 有相同的解这一典型情况就可以看出来.所以看来这些泥板是用来培养解题技巧的.换言之，解各 种问题的目的不是为了确定答案是什么，而是为了学习把复杂问题约化为简单问题的各种方法.因 此，可以这样设想，一般的数学泥板，特别是这些二次方程泥板，是用来培训那些未来国家的领袖人 物的大脑的.换言之，解二次方程并不是在实际上有那么重要一一没有多少实际情况需要它们.重 要的是用来培养学生解决一般问题的能力，一种用来处理一个国家领导人需要解决的日常问题的 能力.这种能力不仅包括能够实施已经开发出来的算法，而且包括懂得如何和在何时去修正这些方 法，以及如何把比较复杂的问题归结为一些已经解决了的问题.今天的学生常常被告知，学习数学 是为了“训练大脑”.看来在过去的四千年来老师们一直在教导他们的学生这同一条真理 习 题 计数 1.确定在你和你的同学所知的语言中数18和40是用什么词来表示的.比较这些词汇的构造.有没有任何本质上不 同于补遗1.1中的那些词汇的形式？ 2.将125用埃及象形文字和巴比伦楔形文字表示出来 3.在至少大约公元前450年，希腊人用了一个以他们的字母为基础的数码系统.表示法如下： 1 10 100 B 2 20 200 2 3 入 30 300 4 40 400