常见的矩阵范数 定理343设矩阵A=(an1)mn∈R",xC∈R, 则于向量范数x(D=12,∞)相容的矩阵范数是 1-范数:4=max∑|a 1≤j≤ 2-范数:A|2=√2m(A) -范数:42=max∑an
常见的矩阵范数 = = − = − = − = = = n j i j i n T n i i j j n p n n n i j n n A a A AA A a p A a R R x x 1 1 2 max 1 1 1 || || max | | 2 || || ( ) 1 || || | | ( 1,2, ) 3.4.3 ( ) , max 范数： 范数： 范数： 则于向量范数 相容的矩阵范数是 定理 设矩阵 ，
常见的矩阵范数 F-范数4=C∑∑a j=l i=l 般称4为矩阵的列范数,4为矩阵的行范数, 为矩阵的谱范数或欧几里德范数 推论设A为对称矩阵,则‖A|2=2m(4) 又若A非奇异,则‖A|2=Amn(A)‖
常见的矩阵范数 又若 非奇异 则 。 推论 设 为对称矩阵 则 为矩阵的谱范数或欧几里德范数。 一般称 为矩阵的列范数， 为矩阵的行范数， 范数： , || || || ( )|| , || || | ( )|, ( ) 1 2 min 1 2 max 2 1 2 1 1 1 2 A A A A A A A A A F A a n j n i F i j − − = = = = − =
对称矩阵范数 证明:由A=A知 A12-2.m(A)=m(A2)=2m(A)1 所以有‖A|2=2m(A 又因为A非奇异,则(A)≠0,由A(A)=2(4得 A2=‖aax(A)‖‖xmn(A
对称矩阵范数 || || || ( )|| || ( )|| ( ) 0, ( ) ( ) || || | ( )| || || ( ) ( ) | ( )| 1 min 1 2 max 1 1 -1 2 max 2 max 2 max max 2 2 A A A A A A A A A A A A A A A A T T − − − − = = = = = = = = 又因为 非奇异，则 由 得 所以有 证明：由 知
例题 例34.1设矩阵A= 求‖A1(p=12,∞)及‖A 解A‖1=max{2+|-2||-14}=5 A|l=max{2+|-1,-2|+4}=6 因为4=/2 24 1017 由|12-47A 10-17 解得=23466,42=1534,故‖A|2=√23466=4844 Al=[22+(-1)2+(-2)2+412=5
例题 || || [2 ( 1) ( 2) 4 ] 5 23.466, 1.534 || || 23.466 4.844 0 10 17 8 10 | | 10 17 8 10 2 4 2 1 1 4 2 2 || || max{2 | 1|,| 2 | 4} 6 :|| || max{2 | 2 |,| 1| 4} 5 , || || ( 1,2, ) || || 2 4 2 1 3.4.1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 = + − + − + = = = = = = − − − = − − = − − − − = = + − − + = = + − − + = = − − = F T T p F A A I A A A A A A A A p A 解得 ，故 。 由 因为 解 例 设矩阵 求 及
3.4.3矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 定义34.5设=12,…,m为矩阵A的特 征值,则称 P(A)=max n D Isi<n 为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径p(4)不是4的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系
3.4.3 矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 但可能与 的任何一种范数有某种关系。 矩阵 的谱半径 不是 的一种范数 为矩阵 的谱半径。 征值 则称 定义 设 为矩阵 的特 A A A A A A λ (i , ,...,n) A i i n i ( ) , ( ) max{| |} , 3.4.5 1 2 1 = =