第6章 常微分方程数值解法
第6章 常微分方程数值解法
绪论 在工程和科学计算中,所建立的各 种常微分方程的初值或边值问题,除很 少几类的特殊方程能给出解析解,绝大 多数的方程是很难甚至不可能给出解析 解的,其主要原因在于积分工具的局限 性。因此,人们转向用数值方法去解常 微分方程,并获得相当大的成功,讨论 和研究常微分方程的数值解法是有重要 意义的
绪论 在工程和科学计算中，所建立的各 种常微分方程的初值或边值问题，除很 少几类的特殊方程能给出解析解，绝大 多数的方程是很难甚至不可能给出解析 解的，其主要原因在于积分工具的局限 性。因此，人们转向用数值方法去解常 微分方程，并获得相当大的成功，讨论 和研究常微分方程的数值解法是有重要 意义的
6.1初值问题的Euer方法 设一阶常微分方程初值问题 dv y(o) 记xn=a+mh(m=0,1,2,)h>0为步长,一般总 假定为常数。该式的数值解是指通过某种方法 去获得解y(x)在点xn上的近似值yn,即 y(xn) (n=0,32,)
6.1 初值问题的Euler方法 ( ) ( 0,1,2,...) ( ) , ( 0,1,2,...), 0 ( ) ( , ) 0 0 = = + = = = y x y n y x x y x a nh n h y x y f x y dx dy n n n n n 去获得解 在点 上的近似值 即 假定为常数。该式的数值解是指通过某种方法 记 为步长，一般总 设一阶常微分方程初值问题
初值问题的 Euler方法 为实现这一目标, Euler方法首先将微分算子离 散化,并用x代替x2于是该式可离散为: y(xn+h)-y(n) n≈f(xn,y(xn) 以y表示y(xn)的近似值,则有 yn=yn+hf(xn2yn)(n=0,1,2,)(1) 这就是显式的 Euler公式,它可以从y出发,逐次 算出y,y2,y3
初值问题的Euler方法 算出 。 这就是显式的 公式，它可以从 出发，逐次 （ ） 以 表示 的近似值，则有 散化，并用 代替 于是该式可离散为： 为实现这一目标， 方法首先将微分算子离 , , ... `Euler ( , ) 0,1,2,... (1) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) , Euler 1 2 3 0 1 0 y y y y y y hf x y n y y x f x y x h y x h y x x x n n n n n n n n n n n = + = + − +
初值问题的 Euler方法 如果用xn代替x,于是该式可离散为: y(xn+h)-y(≈∫(xy(xn,) 以y表示y(xn)的近似值,则有 yn+I=yn+ hf(x n+15yn+1 )(n=0,2,)(2) 这就是隐式的Euer公式或向后Euer方法,它与显式 的不同在于,它每算一步要解函数方程(2)才能得到 n+1°
初值问题的Euler方法 。 的不同在于，它每算一步要解函数方程 才能得到 这就是隐式的 公式或向后 方法，它与显式 （ ） 以 表示 的近似值，则有 如果用 代替 于是该式可离散为： 1 1 1 1 1 1 1 0 (2) `Euler Euler ( , ) 0,1,2,... (2) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) , + + + + + + + = + = + − n n n n n n n n n n n n y y y hf x y n y y x f x y x h y x h y x x x