相容范数 定义344设x|,A分别为R和R 的一种范数,如果 Ax|‖A‖xll 则称该矩阵范数‖A‖与此向量范数‖x是相容的
相容范数 则称该矩阵范数 与此向量范数 是相容的。 的一种范数 如果 定义 设 分别为 和 || || || || || || || || || || , 3.4.4 || ||,|| || A x Ax A x x A R R n n n
算子范数 定理342设x∈R",A∈R,并在R上 定义向量范数‖x,则 Ax ‖A|=max max‖Ax x≠0|xl 为R"上的矩阵范数,且称其为算子范数
算子范数 为 上的矩阵范数 且称其为算子范数。 定义向量范数 则 定理 设 并在 上 , max || || || || || || || || max || ||, 3.4.2 , , 0 | | | | 1 n n x x n n n n R A x x A x A x x R A R R = = =
算子范数 证明:由向量范数‖AXC‖的连续性知,Axl‖ 在有界闭集{xx=上一定能达到最大值 所以‖4‖定义了A∈R到R的一个对应法则 所以下面只要验证范数定义的四个条件。 A‖|=max Ar ≥0显然成立, x≠0 xC‖ 若‖A|=0,则‖AX|=0,因为x≠0,只有可能4=0
算子范数 若 则 ，因为 只有可能 。 显然成立， 所以下面只要验证范数定义的四个条件。 所以 定义了 到 的一个对应法则。 在有界闭集 上一定能达到最大值 证明：由向量范数 的连续性知， || || 0, || || 0 0, 0 0 || || || || 1) || || max || || { 1} || || || || 0 = = = = = + A A A A A A A R R A A x x x x x x x x x n n
2)‖kA|=max kAr k‖!Ax maX kⅢ!A‖l x≠0 ‖xC‖l xC‖ 3)由A/=mar∥Ax.则/Ax|sAmx‖x∈R x≠0‖xC‖ 于是 (4+B)|=‖Ax+BC|s‖Amx+‖Bl!x‖ (‖A+‖B1D)‖x
(|| || || ||) || || || ( ) || || || || |||| || || |||| || || || || |||| || || || || || 3) || || max | ||| || || || | ||| || max || || || || 2) || || max 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x A B A B A B A B A A R A A k A k A k A k A n x x x = + + = + + = = = = 于是 由 ，则
算子范数 所以对x≠0有 ∥(A+B)xN∠A‖+BN X 即‖A+B‖=max ‖(A+B)x‖ ‖A|:+B‖ x≠0 同理可证‖AB|s‖Al!B‖ 推论对R呻中任何矩阵算子范数,/为单位矩阵,则 I|=max‖DC‖=1
算子范数 || || max || || 1 , , || || || |||| || || || || || || || || ( ) || || || max || || || || || || || ( ) || 0 1 0 = = + + + = + + = x x I x I R I AB A B A B x A B x A B A B x A B x n n x 推论 对 中任何矩阵算子范数 为单位矩阵 则 同理可证 。 即 所以对 有