概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率(2)乘法原理若做某件事情要分k步完成，第i步有m,种方法，i=1,2,*",k，则做这件事情共有m×m2××m种方法.(3)排列不可重复的排列从n个不同元素中任取m（m≤n）个（元素不可重复）按照一定n!顺序排成一列，排列的总数为A"=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=(n-m)!A"=n(n-1)(n-2)...3.2-1=nl.可重复的排列从n个不同元素中任取m（m≤n）个（元素可重复）按照一定顺序排成一列，排列的总数为n"，(4)组合从n个不同元素中任取m(m≤n）个构成一组，组合的总数为Cn=4=—nl注意Amm!(n-m)!0!=1③古典概型的基本模型实例计算古典概率一般按下列步骤进行：C"=Cn-m(）正确判断试验是否符合古典概率的条件（有限、等可能）：C+C, +...C" =2"(2)计算样本空间Q中样本点的个数n及事件A包含的样本点个数m；注举与抽球问题类似的(3)用公式P(A)="计算。n例子（1）有放回抽样、无放回抽样模型①有15名新生，其中有3名优秀生.今从15例2盒中有10个球，其中4个红球6个白球．从中抽取3个球，试就下列两种不名新生中任意选出3同的抽取方法，分别求出恰好抽取3个白球的概率，名（1）每次从盒中抽取一球，取后放回，再抽取下一球（称放回抽样）：②一批产品共N件，（2）每次从盒中抽取一球，取后不放回，再抽取下一球（称不放回抽样）其中M件次品，从中(2）样本放入指定的容量有限或容量无限的容器模型任意选取n件，设例3（分球入盒问题）将n个球随机地放入N个盒子中（n≤N），设盒子的容量不B=(恰有k件次品)限。计算下列事件的概率：注分球入盒问题（1）每个盒子中至多有一个球：注（2）某个指定的盒子中恰有m个球：生日问题、住房分配问题都属这一模型（3）某指定的n个盒子中各有一个球：（4）至少有两个球在同一个盒子中例4设有k个人，k≤365，并设每人的生日在一年365天中的任意一天的可能注性是均等的：问此k个人生日都不相同的概率是多少？标号样本排列模型与(3)随机取数模型随机取数模型是同一例5在1到9的整数中可重复的随机取6个数组成6位数，求下列事件的概率，-11-
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 11 - (2)乘法原理 若做某件事情要分 k 步完成，第 i 步有 mi 种方法， i k =1,2, , ， 则做这件事情共有 m m m 1 2 k 种方法． (3)排列 不可重复的排列 从 n 个不同元素中任取 m ( ) m n 个(元素不可重复)按照一定 顺序排成一列，排列的总数为 ! ( 1)( 2) ( 1) ( )! m n n A n n n n m n m = − − − + = − . ( 1)( 2) 3 2 1 ! n A n n n n n = − − = ． 可重复的排列 从 n 个不同元素中任取 m ( ) m n 个(元素可重复) 按照一定顺 序排成一列，排列的总数为 m n ． (4)组合 从 n 个不同元素中任取 m ( ) m n 个构成一组，组合的总数为 ! !( )! m m n n m m A n C A m n m = = − ． ③古典概型的基本模型实例 计算古典概率一般按下列步骤进行： (1) 正确判断试验是否符合古典概率的条件（有限、等可能）； (2) 计算样本空间 中样本点的个数 n 及事件 A 包含的样本点个数 m ； (3) 用公式 ( ) m P A n = 计算． (1)有放回抽样、无放回抽样模型 例 2 盒中有 10 个球，其中 4 个红球 6 个白球．从中抽取 3 个球，试就下列两种不 同的抽取方法，分别求出恰好抽取 3 个白球的概率． （1）每次从盒中抽取一球，取后放回，再抽取下一球（称放回抽样）； （2）每次从盒中抽取一球，取后不放回，再抽取下一球（称不放回抽样）； (2)样本放入指定的容量有限或容量无限的容器模型 例 3 (分球入盒问题)将 n 个球随机地放入 N 个盒子中 (n N) ，设盒子的容量不 限．计算下列事件的概率： （1）每个盒子中至多有一个球； （2）某个指定的盒子中恰有 m 个球； （3）某指定的 n 个盒子中各有一个球； （4）至少有两个球在同一个盒子中． 例 4 设有 k 个人， k 365 ，并设每人的生日在一年 365 天中的任意一天的可能 性是均等的．问此 k 个人生日都不相同的概率是多少？ (3)随机取数模型 例 5 在 1 到 9 的整数中可重复的随机取 6 个数组成 6 位数，求下列事件的概率． 注意 0! 1 = m n m C C n n − = 0 1 + + = 2 n n C C C n n n 注 举与抽球问题类似的 例子 ①有 15 名新生，其中 有 3 名优秀生.今从 15 名新生中任意选出 3 名 ②一批产品共 N 件， 其中 M 件次品，从中 任 意 选 取 n 件 ， 设 B ={恰有 k 件次品} 注 分球入盒问题 注 生日问题、 住房分配 问题都属这一模型 注 标号样本排列模型与 随机取数模型是同一
概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率模型(1)6个数完全不同；(2)6个数不含奇数；(3)6个数中5恰好出现4次3.几何方法如果一个随机试验的样本空间是一个大小可以度量的几何区域．向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的”，则称这类随机试验为几何概型几何概型的概率可由下式计算：A的度量P(A)==(3.2)2的度量一维样本空间的维数二维三维度量线段的长度平面区域的面积空间立体的体积例6（1）有长度为L的线段MN，其上有长度为/的线段CD，向线段MN上D随意投点，求点落在线段CD上的概率：90（2）如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，求钻到石油的概率；31906090120x（3）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，求含有麦锈病种子的概率，例7甲乙两人约定8点到10点之间在预定地点会面，先到的人等候另一人30分钟后离去。假设两人可在约定的两小时内的任意时刻到达，求甲乙两人能会面的概率李固珠司1.设AB为对立事件，则A成立.A. P(AB)= 0B. P(AB)=0C. P(AUB)=0D.P(AUB)=12.将标号为1，2，3，4，5的五本书随机的排放在书架上，设A=(1号书正好排在中间)，B=1号书与2号书相邻)，C=(1号书不排在两端).求P(A)，P(B)，P(C)3.某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？4.有15名新生，其中有3名优秀生.今从15名新生中任意选出3名，设A=(三名都不是优秀生），求P(A)5.一批产品共N件，其中M件次品，从中任意选取n件，设B=（恰有k件次品）（k≤M),求P（B)*小结1.概率的公理化定义：规范性、非负性、可列可加性：2.概率的性质：有限可加性、加法公式、减法公式；3.古典概型的基本模型：抽样、标号样本排列、样本放入容器（配对问题）：-12-
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 12 - (1) 6 个数完全不同； (2) 6 个数不含奇数； (3) 6 个数中 5 恰好出现 4 次． 3.几何方法 如果一个随机试验的样本空间 是一个大小可以度量的几何区域．向区域内任意 投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的”，则称这类随机试验为几何概型． 几何概型的概率可由下式计算: ( ) A P A = 的度量 的度量 ． （3.2） 样本空间的维数 一维 二维 三维 度量 线段的长度 平面区域的面积 空间立体的体积 例 6 （1）有长度为 L 的线段 MN ，其上有长度为 l 的线段 CD ，向线段 MN 上 随意投点，求点落在线段 CD 上的概率； （2）如果在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏着石 油，假如在这海域里随意选定一点钻探，求钻到石油的概率； （3）在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10 毫升，求 含有麦锈病种子的概率． 例 7 甲乙两人约定 8 点到 10 点之间在预定地点会面，先到的人等候另一人 30 分 钟后离去．假设两人可在约定的两小时内的任意时刻到达，求甲乙两人能会面的概率． 模型 *巩固练习 1.设 AB 为对立事件，则_A_成立. A. P AB ( ) 0 = B. P AB ( ) 0 = C. P A B ( ) 0 = D. P A B ( ) 1 = 2.将标号为 1，2，3，4，5 的五本书随机的排放在书架上， 设 A ={1 号书正好排在中间}， B ={1 号书与 2 号书相邻}，C ={1 号书不排在两端}．求 P A( )， P B( )， P C( ) ． 3.某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断 接待时间是有规定的? 4.有 15 名新生，其中有 3 名优秀生.今从 15 名新生中任意选出 3 名，设 A ={三名都不是优秀生}，求 P A( ). 5.一批产品共 N 件，其中 M 件次品，从中任意选取 n 件，设 B ={恰有 k 件次品} ( ) k M ,求 P B( ). *小结 1.概率的公理化定义：规范性、非负性、可列可加性； 2.概率的性质：有限可加性、加法公式、减法公式； 3.古典概型的基本模型：抽样、标号样本排列、样本放入容器（配对问题）；
概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率n个相同的球中抽取m个球样本空间Q包含的样本点个数不放回抽样n(n-1)...(n-m+1)放回抽样n一次全部抽样n!=n(n-1).(n-m+1)C(n-m)!会面问题4.几何概型的基本模型：一维-取数问题，二维-净作业习题1.3-P185，6，7，8，9s1.4条件概率与乘法公式S1.4条件概率与乘法公式第4讲(1)授课题目教学目的理解条件概率的概念：掌握概率的乘法公式。教学重点条件概率、乘法公式教学难点条件概率备注教学过程中复习引入概率的定义与性质：古典概型的典型题型中知识框款条件概率：条件概率的计算方法：P(AB)①在原样本空间Q中，分别计算P(AB)与P(A）P(A)>0, P(BIA)=P(A)②在缩小的样本空间Q，中计算B发生的概率P(AB)P(A|B)-P(B|A).P(B)>0,P(B)→乘法公式：P(A)> 0, P(AB)= P(A)P(BA)P(B)>0,P(AB)=P(B)P(AB)-13-
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 13 - n 个相同的球中抽取 m 个球 样本空间 包含的样本点个数 不放回抽样 n n n m ( 1) ( 1) − − + 放回抽样 m n 一次全部抽样 ! ( 1) ( 1) ( )! m n n C n n n m n m = = − − + − 4. 几何概型的基本模型：一维——取数问题，二维——会面问题. *作业 习题 1.3- P18—5，6，7，8，9 §1.4 条件概率与乘法公式 授课题目 §1.4 条件概率与乘法公式 第 4 讲(1) 教学目的 理解条件概率的概念；掌握概率的乘法公式。 教学重点 条件概率、乘法公式 教学难点 条件概率 教 学 过 程 备注 *复习引入 概率的定义与性质；古典概型的典型题型 *知识框架 条件概率： P(A) 0 ， P(B | A) = ( ) ( ) P AB P A P B( ) 0 ， ( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = ． 乘法公式： P(A) 0 ， P AB P A P B A ( ) ( ) ( ) = P(B) 0 ， P AB P B P A B ( ) ( ) ( ) = 条件概率的计算方法： ①在原样本空间 中，分别计算 P AB ( ) 与 P A( ) ②在缩 小的 样本 空间 A 中计 算 B 发生 的概率 P(B | A) ．
概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率*讲投新保一、条件概率1. 引例例1投般子试验中，设A={点数小于6)，B=（偶数点)，求P(BA)2.条件概率的定义定义设A,B是两个事件，且P(A)>O，称P(B/A)=P(AB)(4. 1)注P(A)P(B[4)=2的分母是为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率5A的样本点总数，分P(AB)P(B)>0时，P(A|B)(4. 2)P(B)子是AB的样本点总数.条件概率满足概率的三条公理：若分子、分母同时除以(1)规范性：P(2A)=1;原样本空间2的样本(2)非负性：对任意事件B，有P(BA)≥0点总数，则有(3)可加性：对任意可数个两两互不相容的事件B,B.,B..，有22P(B|A)=P(UB,[4)=Z P(B,[4).53i=li=l6P(AB)(4) P(BA)=1-P(B|A)P(A)(5) P(BUC|A)= P(BA)+ P(CIA)-P(BCIA)3.条件概率的计算P(AB)计算(1)在原样本空间中用定义P(B|A)P(A)(2）在缩小后的样本空间中直接计算，例2某产品共有10件，其中3件次品，其余为正品，任意抽取两次，每次抽取件，抽出后不再放回，已知第一次抽取的是次品，求第二次抽取的仍是次品的概率，例3人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知，某城市的人由出生存活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135.问现在已经50岁的人，能存活到51岁的概率是多少？二、乘法公式-14-
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 14 - *讲授新课 一、条件概率 1.引例 例１ 投骰子试验中，设 A={点数小于 6}， B ={偶数点}，求 P B A ( ) ． ． 2.条件概率的定义 定义 设 A,B 是两个事件，且 P(A) 0 ，称 P(B | A) = ( ) ( ) P AB P A (4.1) 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率． P B( ) 0 时， ( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = ． (4.2) 条件概率满足概率的三条公理: (1)规范性： P A ( ) 1 = ； (2)非负性：对任意事件 B ，有 P B A ( | ) 0 ； (3)可加性：对任意可数个两两互不相容的事件 1 2 , , , , B B B n ，有 1 1 ( ) ( ) i i i i P B A P B A = = = ． (4) P B A P B A ( ) 1 ( | ) = − (5) P B C A P B A P C A P BC A ( ) ( | ) ( | ) ( | ) = + − 3.条件概率的计算 (1) 在原样本空间中用定义 P(B | A) = ( ) ( ) P AB P A 计算． (2) 在缩小后的样本空间中直接计算． 例 2 某产品共有 10 件，其中 3 件次品，其余为正品．任意抽取两次，每次抽取 一件，抽出后不再放回．已知第一次抽取的是次品，求第二次抽取的仍是次品的概率． 例 3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的 概率．根据统计资料可知，某城市的人由出生存活到 50 岁的概率为 0.90718, 存活到 51 岁的概率为 0.90135．问现在已经 50 岁的人，能存活到 51 岁的概率是多少? 二、乘法公式 注 2 ( ) 5 P B A = 的分母是 A 的样本点总数，分 子是 AB 的样本点总 数． 若分子、分母同时除以 原样本空间 的样本 点总数，则有 2 2 6 ( ) 5 5 6 ( ) ( ) P B A P AB P A = = =
概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率定理1设A、B为随机试验E中的两个事件，且P(A)>0，则有P(AB)= P(A)P(BA)这个公式称为概率的乘法公式。若 P(B)>0，则有 P(AB)=P(B)P(AB)注推广：若P(A,A,"",A,)>0，则抽签公平原则P(A,)= P(A,A,)P(A .A.)= P(A,)P(A|A)P(AA,A,)... P(A,|A, .A-I)=P(A,A, +A,A,)例4设某地区位于甲、乙两河流下游某汇合点附近，当任一河流泛滥时，该地区=即会被淹没：设在雨季时期内，甲河流泛滥的概率为0.2，乙河流泛滥的概率为0.18P(A可又当甲河流泛滥时，引起乙河流泛滥的概率为0.25，求在此时期内该地区被淹没的概已经成为确定性事件。率例5有一张演唱会票，5个人都想要，他们用依次抓阎的办法分配这张票，求第三个人得到票的概率，中固珠习1.先后将一枚硬币抛两次，已知第一次抛出正面，问两次都为正面的概率是多少？1P(AB)P((正,正)).4.1解方法一:P(BIA)=22P(A)P((正,正)(正,反))4B中样本点个数_1方法二：（缩小的样本空间）P(B|A)=2,中样本点个数22.一箱中有12件同类产品，其中10件正品，2件次品.任意抽取两次，每次抽取一件，抽出后不再放回.已1知第一次抽取的是次品，则第二次抽取的仍是次品的概率是多少？P(BA)=113.设盒中有10个同种规格的球，其中4个蓝球和6个红球。任意抽取两次，一次抽取1球，抽取后不再放1回，问两次都取到红球的概率是多少？P(AB)=P(A)P(BA)34.一批零件共有100个，其中有10个次品。每次从这批零件中任意抽取一个，取后不再放回，求第三次才11452~0.0083.取到合格品的概率P(AA,A)=P(A)P(AA)P(AAA)=101149*小结条件概率：P(A)>0,P(B[A)=P(AB)P(AB)P(B)>0, P(A|B)=P(A)P(B)乘法公式：P(A)>0，P(AB)=P(A)P(BA);P(B)>0,P(AB)= P(B)P(AB)专作业习题1.4-P22—2，4，6-15 -
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 15 - 定理 1 设 A 、 B 为随机试验 E 中的两个事件，且 P(A) 0 ，则有 P AB P A P B A ( ) ( ) ( ) = 这个公式称为概率的乘法公式． 若 P(B) 0 ，则有 P AB P B P A B ( ) ( ) ( ) = ． 推广：若 P( A A An , , , 1 2 ) 0 ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 3 1 2 1 −1 = P A An P A P A A P A A A P An A An 例 4 设某地区位于甲、乙两河流下游某汇合点附近，当任一河流泛滥时，该地区 即会被淹没．设在雨季时期内，甲河流泛滥的概率为 0.2，乙河流泛滥的概率为 0.18， 又当甲河流泛滥时，引起乙河流泛滥的概率为 0.25，求在此时期内该地区被淹没的概 率． 例 5 有一张演唱会票，5 个人都想要，他们用依次抓阄的办法分配这张票,求第 三个人得到票的概率． 注 抽签公平原则 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) = ( + ) P A P A A P A A A A = 与 2 1 P A A ( ) 不同， A1 已经成为确定性事件。 *巩固练习 1.先后将一枚硬币抛两次，已知第一次抛出正面，问两次都为正面的概率是多少? 解 方法一: ( , ) ( , ),( , ) 1 ( ) 1 4 ( | ) ( ) 2 2 4 P AB P P B A P A P = = = = 正 正 正 正 正 反 ． 方法二:（缩小的样本空间） 1 ( | ) 2 A B P B A = = 中样本点个数 中样本点个数 ． 2.一箱中有 12 件同类产品，其中 10 件正品，2 件次品．任意抽取两次，每次抽取一件，抽出后不再放回．已 知第一次抽取的是次品，则第二次抽取的仍是次品的概率是多少？ 1 ( ) 11 P B A = 3.设盒中有 10 个同种规格的球，其中 4 个蓝球和 6 个红球．任意抽取两次，一次抽取 1 球，抽取后不再放 回，问两次都取到红球的概率是多少？ 1 ( ) ( ) ( ) 3 P AB P A P B A = = ． 4.一批零件共有 100 个，其中有 10 个次品．每次从这批零件中任意抽取一个，取后不再放回，求第三次才 取到合格品的概率． 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 1 45 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.0083 10 11 49 P A A A P A P A A P A A A = = ． *小结 条件概率： P(A) 0 ， P(B | A) = ( ) ( ) P AB P A ; P B( ) 0 ， ( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = ． 乘法公式： P(A) 0 ， P AB P A P B A ( ) ( ) ( ) = ; P(B) 0 ， P AB P B P A B ( ) ( ) ( ) = *作业 习题 1.4- P22—2，4，6