概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率1.事件间的关系与运算（1）事件的包含与相等包含：若事件A发生必然导致事件B发生，即A的每个样本点都是B的样本点.记为ACB或者BA相等：若ACB且BCA，即A与B含有相同的样本点，记为A=B.包含Q（2）互不相容事件（互斥事件）互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即A与B没有公共样本点两两互不相容：若事件A,A，,A中的任意两个都互不相容互不相容互斥事件包括：9A发生B不发生：②B发生A不发生：③A与B都不发生，（3）对立事件对立注“事件A不发生”，这一事件称为事件A的对立事件或逆事件，记为A对立事件是互不相容（4）事件的并（或和）事件，互不相容事件不一定是对立事件“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AUB（或A+B）推广：UA,=(A,A2,A,中至少有一个发生).（5）事件的交（或积）并“事件A与事件B都发生”记为AΛB，也简记为AB推广：nA={A,A2,"",A,都发生).k=l交（6）事件的差“事件A发生而事件B不发生”记为A-B，是由属于A但不属于B的所有样本堂点组成的事件：常用结论差①AUΦ=A, A=Φ, AA=,AUQ=Q, AQ=A,AUA=Q,A=A.②若事件ACB,则AUB=B，ANB=A，A-BA-B=AB= A-AB, A=(AB)U(AB),AUB=BUAB=AUBA2.事件的运算律(1）交换律AUB=BUA：ANB=BNA.(2)结合律(AUB)UC=AU(BUC)：(ANB)NC=AN(BNC)-6-
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 6 - 1. 事件间的关系与运算 （1）事件的包含与相等 包含：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，即 A 的每个样本点都是 B 的样本点．记 为 A B 或者 B A 相等：若 A B 且 B A ，即 A 与 B 含有相同的样本点，记为 A B = ． （2）互不相容事件(互斥事件) 互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 A 与 B 没有公共样本点． 两两互不相容：若事件 A A An , , , 1 2 中的任意两个都互不相容． 互斥事件包括： ① A 发生 B 不发生；② B 发生 A 不发生；③ A 与 B 都不发生． （3）对立事件 “事件 A 不发生”，这一事件称为事件 A 的对立事件或逆事件，记为 A ． （4）事件的并（或和） “事件 A 与事件 B 至少有一个发生”，记作 A B （或 A B+ ）． 推广： k n k A =1 ={ A A An , , , 1 2 中至少有一个发生}． （5）事件的交（或积） “事件 A 与事件 B 都发生”记为 A B ，也简记为 AB ． 推广： k n k A =1 ={ A A An , , , 1 2 都发生}． （6）事件的差 “事件 A 发生而事件 B 不发生”记为 A B− ，是由属于 A 但不属于 B 的所有样本 点组成的事件． 常用结论 ① A A = ， A = ， AA =， A = ， A A = ， A A = ， A = A ． ②若事件 A B , 则 A B B = ， A B A = ， A B ． ③ A B AB A AB − = = − ， A AB AB = ( ) ( )， A B B AB A BA = = ． 2. 事件的运算律 （1）交换律 A B = B A ； A B B A = ． （2）结合律 (A B) C = A(B C) ； ( ) ( ) A B C A B C = ． 包含 互不相容 对立 注 对立事件是互不相容 事件，互不相容事件不 一定是对立事件． 并 交 差
第1章随机事件与概率概率论与数理统计教案(3)分配律AN(BUC)=(ANB)U(ANC);AU(BNC)=(AUB)N(AUC)注（4）对偶律AUB-ANB：ANB=AUB对偶律也称德摩根律例1从一堆产品（正、次品数都多于2件）中任取2件，判断下列事件A，B是否互斥？是否对立？答案：(1)A={恰有一件次品)，B=(恰有两件次品);(2)A={至少有一件次品)，B=(至少有一件正品).例2设A、B、C是同一试验中的三个事件，试用A、B、C表示下列事件：（1）事件“A发生，B、C不发生”；（2）事件“A、B、C恰有一个发生”：（3）事件“A、B、C至少有一个发生”；（4）事件A、B、C至少有两个发生"：（5）事件“A、B、C至多有两个发生”*覌固练司1.指出下列命题哪些成立：(1) AUB=ABUB(V)(2) AB= AUB(x)(3)AUBC-ABC(x)(4) (AB)(AB)=β(v)(v)(6) ACB=BA(V)(5) AcB=A=AB(7) AB=β,且CC A,则BC=（V)·小结事件间的关系与运算关系与运算定义1定义 2文氏图符号表示A的样本点都是BA包含于BACBIBDAIA发生则B发生的样本点OA发生则B发生，A与B含有相同的A=BACB且ADB样本点B发生则A发生.9事件A与B不能同A与B没有公共样AB=O互不相容事件时发生本点A AB=O对立事件事件A不发生A中样本点未出现AUB=Q7-
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 7 - （3）分配律 A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ； A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ． （4）对偶律 A B A B = ； A B A B = ． 例 1 从一堆产品（正、次品数都多于 2 件）中任取 2 件，判断下列事件 A B, 是 否互斥？是否对立? (1) A ={恰有一件次品}， B ={恰有两件次品}； (2) A ={至少有一件次品}， B ={至少有一件正品}． 例 2 设 A 、 B 、C 是同一试验中的三个事件，试用 A 、 B 、C 表示下列事件： （1）事件“ A 发生， B 、C 不发生”； （2）事件“ A 、 B 、C 恰有一个发生”； （3）事件“ A 、 B 、C 至少有一个发生”； （4）事件“ A 、 B 、C 至少有两个发生”； （5）事件“ A 、 B 、C 至多有两个发生”． 注 对偶律也称德摩根律 答案： . *巩固练习 1．指出下列命题哪些成立： （1） A B AB B = （√） （2） AB A B = （×） （3） A BC ABC = （×） （4） ( )( ) AB AB = （√） （5） A B A AB = （√） （6） A B B A （√） （7） AB = ,且 C A ，则 BC = （√） *小结 事件间的关系与运算 关系与运算 符号表示 定义 1 定义 2 文氏图 A 包含于 B A B B A / / A 发生则 B 发生 A 的样本点都是 B 的样本点 A B = A B 且 A B A 发生则 B 发生， B 发生则 A 发生. A 与 B 含有相同的 样本点 互不相容事件 AB = 事件 A 与 B 不能同 时发生 A 与 B 没有公共样 本点 对立事件 A AB = A B = 事件 A 不发生 A 中样本点未出现
第1章随机事件与概率概率论与数理统计教案a事件A与B至少有样本点属于A或者AUBIA+B事件的并一个发生Be事件A与B都发生样本点即属于A又ANBIAB事件的交属于B2属于A但不属于B事件A发生而B不A-B事件的差的所有样本点组成发生的事件。中作业习题1.2—P92，3，4$1.3随机事件的概率$1.3随机事件的概率第2讲、第3讲授课题目教学目的了解概率的统计定义；理解概率的公理化定义：理解概率的性质教学重点概率的公理化定义与性质教学难点概率的公理化定义备注教学过程*复司引入课前复习：样本空间的定义：事件的定义重点提示：1.事件A发生：试验的结果包含在A中：2.交-一都分配率；3.并——至少对偶率
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 8 - 事件的并 A B / A B+ 事件 A 与 B 至少有 一个发生 样本点属于 A 或者 B 事件的交 A B / AB 事件 A 与 B 都发生 样本点即属于 A 又 属于 B 事件的差 A B− 事件 A 发生而 B 不 发生 属于 A 但不属于 B 的所有样本点组成 的事件． *作业 习题 1.2—P9—2，3，4 §1.3 随机事件的概率 授课题目 §1.3 随机事件的概率 第 2 讲、第 3 讲 教学目的 了解概率的统计定义；理解概率的公理化定义；理解概率的性质 教学重点 概率的公理化定义与性质 教学难点 概率的公理化定义 教 学 过 程 备注 *复习引入 课前复习：样本空间的定义；事件的定义 重点提示：1.事件 A 发生：试验的结果包含在 A 中； 2.交——都 分配率； 3.并——至少 对偶率
概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率中知识机架柯尔莫哥洛夫基本假设概率的性质概率的公理化定义I. P(Φ)=0II. 0≤P(A)≤1DI.规范性频率方法：I.P(Φ)=0；II.有限可加性II.非负性频率=nsIⅢI.减法公式；IV.加法公式III. 可列可加性nV.对立事件的概率概率=频率的稳定值古典方法：T1.随机试验中只有有限个可能的结果；概率三种计算方法IⅡI，每个结果出现的可能性相同，也简称为“等可能”；-Il.样本空间有n 个结果,A包含m 个结果, P(4)="几何方法：-一维线段的长度；n二维区域的面积；典型问题：抽样、样本放入容器、随机取数三维立体的体积.电讲投新课概率：随机事件的发生具有偶然性，但随机一、概率的公理化定义事件发生的可能性有大小之别.定义在一个随机试验中，用来表示任一个随机事件A发生的可能性大小的实数称为事件A的概率，记为P(A),其中P(A)需满足下面三个公理随机事件发生可能性大小的度量称为该（1）非负性公理：对任一事件A，都有P(A)≥0；事件的概率，也就是说（2）规范性公理：必然事件的概率P(2)=1：随机事件A发生的可（3）可加性公理：对任意可数个两两互不相容的事件A，A，，A，，有能性的大小就是事件A的概率，记之为P(A)P(LA):P(A).i=l1二、概率的性质(1）不可能事件与必然事件的概率：P(Φ)=0，P(2)=1.（2）有限可加性：若事件A,A，",A,两两互不相容，则P(J 4)=Z P(4).i=l-（3）减法公式：对任意两个事件A，B，有P(A-B)= P(A)- P(AB).特别地，若事件BCA，则P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(B)≤P(A)：（4）加法公式：对任意两个事件A，B，有
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 9 - *知识框架 *讲授新课 一、概率的公理化定义 定义 在一个随机试验中，用来表示任一个随机事件 A 发生的可能性大小的实数 称为事件 A 的概率，记为 P A( ),其中 P A( ) 需满足下面三个公理 （1）非负性公理：对任一事件 A ，都有 P A( ) 0 ； （2）规范性公理：必然事件的概率 P( ) 1 = ； （3）可加性公理：对任意可数个两两互不相容的事件 1 2 , , , , A A A n ，有 1 1 ( ) ( ) i i i i P A P A = = = . 二、概率的性质 （1）不可能事件与必然事件的概率： P( ) 0 = ， P( ) 1 = ． （2）有限可加性：若事件 1 2 , , , A A A n 两两互不相容，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = = = ． （3）减法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ． 特别地，若事件 B A ，则 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) − = − ，且 P B P A ( ) ( ) ． （4）加法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 概率：随机事件的发 生具有偶然性，但随机 事件发生的可能性有 大小之别． 随机事件发生可能 性大小的度量称为该 事件的概率，也就是说 随机事件 A 发生的可 能性的大小就是事件 A 的 概 率 ， 记之 为 P A( ) ． 基本假设 Ⅰ. P( ) 0 = Ⅱ. 0 ( ) 1 P A 柯尔莫哥洛夫 概率的性质 Ⅰ. P( ) 0 = ；Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.减法公式； Ⅳ.加法公式 Ⅴ.对立事件的概率 概率的公理化定义 Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加性 概率 三种计算方法 频率方法： 频率= A n n 概率=频率的稳定值 古典方法： Ⅰ.随机试验中只有有限个可能的结果； Ⅱ.每个结果出现的可能性相同，也简称为“等可能”； Ⅲ.样本空间有 n 个结果， A 包含 m 个结果， ( ) m P A n = ． 典型问题：抽样、样本放入容器、随机取数 几何方法：一维线段的长度； 二维区域的面积； 三维立体的体积
概率论与数理统计教案第1章随机事件与概率P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，若AB=Φ，则P(AUB)=P(A)+P(B)推广到三个事件，有P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) .(5）对立事件的概率：对任意事件A，有P(A)≤1，且P(A)=1-P(A).例1设事件A,B互不相容，且P(A)=P,P(B)=q，求P(AB)，P(AUB),P(AB),P(AUB),P(A-B).对性质(3)、(5)给出证三、概率的三种计算方法明答案1.频率方法P(AB)=0如果在n次重复试验中，事件A发生了n,次，称"4为事件A在n次试验中发生P(AUB)=p+q的频率，P(A B)=1-p-qP(AU B)=1-p频率的特点：随试验结果的变化而变化，具有随机波动性，当试验次数n逐渐增大时，频率波动的幅度会越来越小，并逐渐向某个常数P靠近，且逐渐稳定在这个常P(A-B)=p.数p上，称p为频率的稳定值.用频率的稳定值来定义概率，并称之为概率的统计定义把用频率去获得概率近似值的方法称为概率的频率计算方法2.古典方法古典概型曾经是概率论发展早期的主要研究对象，是一种最简单、最直观的概率注意模型.试验不能无限次地重①古典概型的定义复，获得频率的稳定值若随机试验E满足下面两个条件：很难.把大量试验中得（1）样本空间包含有限个样本点，即Q={0,02"の）；到的频率作为概率的近似值（2）各基本事件(0),の)（）发生的概率相同.（3）样本空间中共有n个结果，事件A中包含了m个结果，则事件A发生的概率P(4)=㎡=4中包含的样本点的个数nQ中包含的样本点的个数称这类随机试验为古典概型或等可能概型②计算古典概型的预备知识(1)加法原理若做某件事情有k类方法，第i类方法有m.种方法，i=1.2，.*.k，则做这件事情共有m+m+..+m种方法-10-
概率论与数理统计教案 第 1 章 随机事件与概率 - 10 - P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) ． 特别地，若 AB = ，则 P(A B) = P(A) + P(B) ． 推广到三个事件，有 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + ． （5）对立事件的概率：对任意事件 A ，有 P A( ) 1 ，且 P(A) = 1− P(A) ． 例 1 设事件 AB, 互不相容，且 P A p P B q ( ) , ( ) = = ，求 P AB ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) − ． 三、概率的三种计算方法 1.频率方法 如果在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 A n 次，称 A n n 为事件 A 在 n 次试验中发生 的频率． 频率的特点：随试验结果的变化而变化，具有随机波动性，当试验次数 n 逐渐增 大时，频率波动的幅度会越来越小，并逐渐向某个常数 p 靠近，且逐渐稳定在这个常 数 p 上，称 p 为频率的稳定值． 用频率的稳定值来定义概率，并称之为概率的统计定义． 把用频率去获得概率近似值的方法称为概率的频率计算方法． 2.古典方法 古典概型曾经是概率论发展早期的主要研究对象，是一种最简单、最直观的概率 模型． ①古典概型的定义 若随机试验 E 满足下面两个条件: （1）样本空间包含有限个样本点，即 1 2 { , , , } = n ； （2）各基本事件 1 2 { },{ }, { } n 发生的概率相同． （3）样本空间中共有 n 个结果，事件 A 中包含了 m 个结果，则事件 A 发生的概 率 ( ) m A P A n = = 中包含的样本点的个数 中包含的样本点的个数 ． 称这类随机试验为古典概型或等可能概型． ②计算古典概型的预备知识 (1)加法原理 若做某件事情有 k 类方法，第 i 类方法有 mi 种方法， i = 1,2, ， k ，则做这件事情共有 m m m 1 2 + + + k 种方法． 对性质(3)、(5)给出证 明 答案 P AB ( ) 0 = P A B p q ( ) = + P A B p q ( ) 1 = − − P A B p ( ) 1 = − P A B p ( ) − = ． 注意 试验不能无限次地重 复，获得频率的稳定值 很难．把大量试验中得 到的频率作为概率的 近似值．