得出下列经圆圆周长度的估计,亦即 50×50×100=250,000( Stadia 这就是人类对于其所生存的地球大小的第一次定量估计。 假如要把它和现代测算的地球大小作个比较’当然就要把希腊里 ( Stadia)和公里( kilometer)的长度作一换算。在这里有一个小小的疑案 Stadia者’乃是当年运动场( Stadium)的跑道的长度是也。但是目下馀 留的古希腊运动场的跑道却有两种长短不一的长度。总之·以较长者 来换算则其估计比实测要大些’而以较短者来换算则其估计比实测要 小些,而相去都在10%之内。 如今回顾 Eratosthenes在两千多年前,能够把当时所知道的天文 地理和几何知识’用简朴的图解加以综合分析’一举而得数量上相当 准确的地球大小的估计·它实在是人类以数理分析去理解大自然 个杰出的典范。世世代代理性文明的继承者’不但应该以怀古之情瞻 仰它’而且更要从中学习其用法’获得数理分析的启蒙启发
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导论—一数系和数系的扩张 数理分析是我们由表及里’定量地深入研讨大自然的重要方法,而 分析学( Analysis)也就是为了有效运用数理分析去理解大自然而发展起 来的一门数学。当所要研讨的事物还是相当简单初等者,其相应的各 种各样定量问題往往是初等的代数问题和几何问題,例如复利的计算 平面测量等等。但是当所要研讨的问题逐渐深入’逐步拓展,就自 然而然地超出了初等代数和初等几何力所能及的范畴,例如天体的运 行丶曲线曲面的研究丶弦的振动等等。其实·分析学远是在初等代数 和初等几何为纪元,前三者Er起来,更ato而发展起来的sh是 en各种各样动(事物约数理分析的重要2具,而其76的纪元理 1在n4数的微分丶积分和连所达的成者及其纪7定理。:也就是为 人麼通对前分析学纪元-于地微积分的球由。 代数和几何的纪元’归小研的远是建次在数量和 种纪7E 话说a。估。远是我们和年,万物乃存n其古者,是大自然所希腊的 s而数量1是文类理达後成为了更期中者地定量研讨事物所话心的 「计量A体量,1在说是文的创心。在定量几何学定量地研讨估。7 的讨一说古’前者和後者1自然而然地Er在一起,相书相馆 最球长的数量就是我们用来数个数(他u通n为的自然数量 -na通 ral num bers),然後逐步已由而月蚀数量(sy通m-n递无rs) 有理数量(sm-a通 mal numbers)、实数量(sys递m- <real numbers) 和复数量(ys递m-他m知们 numbers)。通对分住在个、z、而、且、太 表阳a和数量,1a和逐步已由问距)(e们 nsi-ms)就1在用比和亮还 许Z许而许且许太 简多地表倍说
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我们首先将对上述逐步扩张而构造的一连串数系作一次归本究源的 结构分析。唯有对数系结构的来龙去脉了然于心,才能在运用它们作 各种各样定量分析丶探索自然时得心应手 0.1自然数系 自然数系是人类为了数个数( counting)这样一种原始而且基本的 「定量化」而创造的体系。例如有一位牧羊人要知道其羊群的个数 或当古人发现月亮的圆缺变化是一种周而复始的事情·自然就想统计 下其周期的天数等等。虽然各古文明所用的符号和体系不同,但是 其本质都是一串逐一相连的符号体系,例如 二三 4 其中第一个符号表示「单元」,是一只羊,一个人或一棵树的抽象化 而後继符号则表示比前述所表达者再增添多一个单元,亦即 2=1+1,3=2+1,4=3+1,5=4+1 101=100+1,102=101+1,…,如此类推 由此可见’自然数系最为原始丶基本的结构就是「+1」运算。在自然 数系这一串顺序排列的符号体系中,後继者就是前者「+1」之所得 所以任何一个自然数都可以由1起始’逐步「+1」而得之(其实这就 是我们构造自然数系的方法)。 把上述事实改用「数学化」的集合用语来描述,即为 【数学归纳法原理】( Principle of Mathematical Induction):一个自然数 系的子集SCN若满足下述两个条件 (0.1) (i)1∈S,(i)n∈S→n+1∈S S其实就等于N 自然数系之所以有用丶好用是因为它具有满足交换律、结合律和分 配律的加法和乘法运算,这都是大家所熟知常用者。假如有人问你或
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者你自问:「为什麽那些运算律总是成立的呢?」此问显然不能用: 实例的计算从来没碰到不成立的情形’所以应该是成立的」’或者是 人云亦云地:「大家都说它们总是成立,所以我也相信它们是对的 等等作为解释·因为自然数的个数是无限,而实例计算所能验算者只 是很小、很小的 试是我的们这 谂毅柔 算的运算律的以数成立是理析 题定此掣量然深从 第研的讨大自亦然本的重说方定 研的本的法是「而」运算的复Ⅱ定例a「而」表是1「而(」做两 符)“2就所代有的意效重的运用,「而3」表是1「而」做展i的 用,「而来而(。」表是当「而」所事做 论 「而」者也定还此相见 克效 简而来而(°初而一而( 种实表是禾研的样问题效式定所者代述的玉研运Ⅱ律所和述者 残荨 衔而几而一初简而机而 表是对简例作几i「而」然如复利所作 「而(」,种运用也表是 对简作讥而一i「而」,还此相见和研运n律的引数成立是平观面 显的定它改用数但化的用逐渐格式说步拓,则是代样问是我动哪行 缆孩定 三E自和运1律重:衡面雨几而一初而面一定 面:对更at箴几’样问我面h式对更所e自然数一(成立定 我 救一初(约,衔而几而(初简机而(表是和的样问题效式定 还样问2具衔而几而一初简而 崙而几而来而(初[衔而几而一而 研样问题效式在 初「而汎而一而 问2具在 初简而[而一而( 样问题效式在 初简而[几而来而( 样问题效式在微 复利积我们所用样问研来我面研连所律定 三B自禾阡连所律重:简而b初b而简定 我面:例用样问研我面简而(初(而简
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(1)a=1时,1+1=1+1是显然的 (2)由归纳假设a+1=1+a,则有 (a+1)+1=(1+a)+1 归纳假设] 1+(a+1) 结合律 然後再由归纳假设a+b=b+a证明 i)a+(b+1)=(b+1)+a 其证明如下 a+(b+1)=(a+b)+1 结合律] (b+a)+1 [归纳假设] b+(a+1) [结合律] b+(1+a)=(b+1)+a 现在让我们来分析一下乘法的本质。乘法其实是自相加的缩写 「m·a」就是m个a自相加的总和(所以1·a=a) 因此(m+1)·a所表达者就是比m·a再多 a。由此可见,乘法 的归纳定义式就是 1·a=a,(m+1)·a=m.a+a 再者,乘法的左分配律 (0 m·a+n.a=(m+n)·a 就是说把m个a自相加的「总和」和n个a自相加的「总和」再加起 来’其实就等于(m+m)个a自相加的总和。此事亦为直观上极为明显 者’下面我们给它作一次归纳的证明。 注意]:在尚未证明乘法交换律之前分配律是有左、右之分别的。其 实·乘法交换律的证明是要在左丶右分配律都证得之後才能证得者 【定理0.3】(乘法的左分配律):m:a+m:a=(m+m)·a 证明∶对于任给m,a’归纳证明上式对于所有自然者η你自立
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