26 系二章群 7.群与对称的关系 1)世界万物，形态各异，但其中有无数大量事物都具有这样 或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又 是最为常见的 由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单 位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性. 2)几何对称。 设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换 (即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的 全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个 图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经 过对称变换保持不变的图形，亦即完成这种变换前后的图形重 合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的 完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该 图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变 换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多. 也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低 与其对称群的阶数密切相关.因此，这就启发人们用群去刻画对称 图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是 研究对称的数学理论. 4: 3)代数对称. 数域F上任何一个n元多项式f(x1,x2,…,xn)总有集合S= {x1,x2,,x:}上的n次置换使f不变，至少恒等变换就是一个 由于使f不变的任二n次置换之积显然仍使f不变，故由教材§3 可知，使f不变的全体n次置换作成一个n次置换群.它是S上n 次对称群S。的一个子群，我们称其为元多项式∫的n次置换 群。 显然，每个n元多项式都有一个确定的：n次置换群例如， n元多项式
$1群的定义和初步性质 27 f(x1,x2,…,xm)=x1十2x2十…十nxW 的置换群是恒等置换，而g(x1,x2··,xn)=a(常数)的置换群是 n次对称群S.,等等. 例3求三元多项式 f（x1x2,x3)=(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3) 的置换群， 解为了书写方便起见，在以下置换中我们把x,简记为i.易 知∫的置换群为由置换 作成的3阶群. 例4求四元多项式g=x1x2一x3x,的置换群， 解易知g的置换群为由置换 33)) 作成的4阶群。 例5求四元多项式h=x1x2十x3x,的置换群， 解易知，h的置换群由8个置换组成.其中4个即上例中的 4个置换，另4个置换为： (G(店(G8让 例6任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群. 很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项 式的对称性越强.反之亦然.因此，我们通常所熟知的多元对称多 项式是对称性最强的多项式 三、习题2.1解答 1.证明：对群中任意元素a,b有 .(ab)=b-1a1
28 第二章群 又问：(ab…c)-1=? 证略. 2.问：自然数集N对运算 ab=a十b+ab 是否作成半群、么半群或群？为什么？ 解可验算N对此代数运算作成可交换的么半群（单位元是 0∈N).但不是每个元素都有逆元，例如1就没有逆元：因若 x1=x+1十x=0,则2x=-1. 从而=一名在N故N对不作成群 3.令O.(R)-{A|A为n阶实正交方阵}.证明：On(R)对于方 阵的普通乘法作成一个群（此群常称为实正交群）. 证设A,B∈O.(R),即 AAT=BBT=E. 由此得(AB)(AB)T=AB·BTAT=E.从而AB∈On(R).又 AI·(A1)T=A-1(AT)-1=A-1.(A-I)I=E, 故A1∈O.(R).从而On(R)作成群. 4.设G是一个群，而“是G中任意一个固定的元素.证明： G对新运算 a°b=aub 也作成一个群 证新运算显然是G的一个代数运算.结合律成立，验算从 略.又因为对G中任意元a有 ula=ulua=a,(uau)-la=u; 故t是(G,)的左单位元，(uau)-1是(G,·)中a的左逆元，故G 对新运算也作成群 5.设G={(a,b)la,b为实数且a≠0}，并规定 (a,b)(c,d)=(ac,ad++b).. 证明：G对此运算作成一个群.又问：此群是否为交换群？
§1群的定义和初步性质 29 证显然G非空.又在G中任取(a,b),(c,d),其中a,b,c,d 是实数且a≠0，c≠0.于是ac,ad十b都是实数且ac≠0，从而 (a,b)(c,d)=(ac,ad+b)EG. 即·是G的一个代数运算. 再任取(e,f)∈G,则有 [(a,6)(c,d)](e,f)=(ac,ad+b)(e,f) =(ace,acf+ad+b), (a,b)[(c,d)(e,f)]=(a,b)(ce,cf+d) =(ace,acf+ad+b), 从而[(a,b)(c,d)](e,f)=(a,b)[(c,d)(e,f)],即G对满足 结合律。 .又易知(1,0)是G的左单位元，且(a,b)的左逆元为 (合-)ec. 因此，G对。作成一个群. 又G不是交换群，因为例如易知 (3,6)=(1,2)(3,4)≠(3,4)(1,2)=(3,10). 6.证明：如果群G的每个元素都满足方程 x2=e, 则G必为交换群. 证法】任取a,beG,由于(ab)2=a2=b=e,故 ab =a(ab)2b=a(ab)(ab)b a'bab-=ba. 从而ab=ba,所以G是交换群. 证法I任取a∈G,由于a=e,故a=a',即G中每个元素 的逆元都是自身，从而 ab=(ab)-1=ba=bu, 即G为交换群
30 第二章群 §2群中元素的阶 一、主要内容 1.群中元素的阶的定义及例子.周期群、无扭群与混合群的 定义及例子.特别，有限群必为周期群，但反之不成立， 2.在群中若|a|=n,则 1)a"=e←→n|m: 2)1*1=2n 3)|a*|=n→(k,n)=1; 4)1al=n=st→a|=t. 3.al,1b与lab1各种关系及例子.特别是： (lal,161)=1,ab=ba=labl=lal.161. 4.若G是交换群，又G中元素有最大阶m,则G中每个元素 的阶都是m的因子. 二、释疑解难 l1.有的书把群中元素的阶称为周期.元素a的阶多用|a表 示，但也有的书用o(a)表示（取英文order的字首）. 2.由元素a的阶可以决定a*的阶. 若引a|=o∞，则当k为非零整数时，|a*|=oo(a°=e阶为I). 若a=n,则la1=n(定理3) 3.a、|bl与|abl的关系. 在群中，由元素a与b的阶一般决定不了积ab的阶，这由 教材中所举的各种例子已经说明了这一点.对此应十分注意.但 是，在一定条件下可以由阶|a|与|b决定阶|ab1,这就是教材中的 定理4：