氵6等价关系与集合的分类 21 然是单射，故由上题知，σ是单射 2)设。是满射，则任取b∈B,在A的子集σ1(b)中任意取定 一个元素a,并令 B-A,b-t(b)=a, 其中(a)=b.于是显然对任意b∈B都有 (or)(b)=a(x(b))=g(a)=b. 因此or=1B, 反之，若存在映射x:B→A使x=1g,则由于1B是双射， 当然是满射，故由上题知，σ是满射. 11.设σ是集合A到集合B的一个映射.证明： 1)。是单射←→对任意集合X与X到A的任意映射x1,x, 若有6π1=ot2,必有t1=t2: 2)。是满射←→对任意集合Y与B到Y的任意映射t1,x, 若有t1o=t2o,必有t=t2: 证1)设o是单射，且cπ1=or2,其中t1,t2都是集合X到A 的映射，则任取a∈X,有 (or1)(a)=(cr)(a),c(x1(a))=a(x2(a). 因为c是单射，故x1(a)=t2(a),从而r=t2 反之，设对任意集合X到A的任意映射c1,t2,由oπ=oπ2可 得x1=t2,则o必为单射.因若不然，则在A中存在元素a1≠a2,使 g(a1)=g(a2).今取X=A,并令t1:x+a1与2：x→a2 (x∈X),则 (or1)(x)=g(x1(x))=g(a1), (ar2)(x)=a(x2(r))=c(a2). 但因(a1)=c(a2),故(ar1)(x)=(x2)(x),从而 0t1=or2, 又由于t1(x)=a1≠a:=t2(x),故x1≠x2.这与假设矛盾.因此g必 为单射 2)设c为满射，且To=x2c,其中x1,2是集合B到集合Y的
22 第一章基本概念 两个映射.则对任意b∈B有a∈A使c(a)=b.于是 (r1o)(a)=(x2a)(a),t1(b)=x2(b). 因此x=te: 反之，设对B到任意集合Y的任意映射x1,x2有xa=t2必 有x1=2,则。必为满射.因若不然，则必 B'=B一6(A)≠☑； 再任取一个阶不小于2的集合Y,则在Y中任意取定元素y及 y1≠y,易知 1:b→y,b'→y1与t2:b→y,b+y2 是B到Y的两个不同映射，其中 b∈a(A), b∈B'. 且对集合A中任意元素a都有 (t1o)(a)=t1(a(a))=y, (r2o)(a)=r2(c(a)=y. 从而x10=2.但是1≠t,矛盾. 因此，σ必为满射. 12.设A是一个非空集合，P(A)是A的幂集，即由A的一切 子集作成的集合.证明：在P(A)与A间不存在双射， 证反证法.假设P(A)与A之间存在双射f,令 A,={f(M)IM∈P(A),f(M)在M}. 下面来考察f(A,). 若f(A1)∈A1,则根据A:之定义，A1中无f(A1),矛盾；若 f(A,)在A,,则同样根据A1之定义，又有f(A1)∈A1,也矛盾.因 此，P(A)与A之间不存在双射
第二章 群 §1群的定义和初步性质 一、主要内容 1.群和半群的定义和例子.特别是一般线性群、n次单位根群 和四元数群等例子. 2.群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； ,2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群→方程ax=b与ya=b在G中有解 (Ha,b∈G). 4)有限半群作成群→两个消去律成立. 二、释疑解难 1.关于群的定义. 有资料指出，群有50多种不同的定义方法.但最常用的有以 下四种： 1)教材中的定义方法.简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成右单位元，把左逆元换成右逆元（其余不
24 第二章群 动).简称为“右右定义法”： 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双 边定义法”； 4)半群G再加上方程ax=b与ya=b在G中有解，其中a,b 是G中任意元素.此简称为“方程定义法” “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说.“双边定 义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时 必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续（虽然这层手续 一般是比较容易的)：优点是：①不用再去证明左单位元也是右单 位元，左逆元也是右逆元：②从群定义本身的条件直接体现了左与 右的对称性 在数的运算中，如果ax=b(a≠0)，则x=。,体现了在数中 可以施行除法运算，即乘法的逆运算.如果我们把群的运算也叫做 “乘法”，那么在群中方程ax=b(a,b是群中任意元素，无任何限 制)有解，记为x=名（实为。6）：同时方程=b也有解，也暂 时记为y=b1a(实为加').当然，由于“乘法”不一定可换，与 b/a(即a'b与ba-1)不一定相等.但无论如何这体现了在群中可 以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算.因此，群的“方程定义法” 直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算.于是简言之，可以 施行乘法与除法运算的半群就是群. 为了开阔视野，再给出以下群的另一定义 定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中 任意元素a,在G中都存在元素a-1,对G中任意元素b都有 a(ab)=(ba)a=b. 这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习. 2.在群的“方程定义法”中，要求方程ax=b与ya=b都有解 缺一不可.即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解
§1群的定义和初步性质 25 例1设G为阶大于1的任意集合，规定 a°b=b(Ha,b∈G). 则G对运算·显然作成一个半群，且方程ax=b(这里省略符号·) 在G中有解x=b.但是方程ya=b(a≠b)在G中却无解.实际上， 此时G对·只能作成半群而不能作成群。 同理在G中若规定ab=a(Ha,b∈G),则方程ya=b在G 中有解而ax=b(a≠b)在G中无解， 3.群定义中说：“每个元素都有左逆元”是对同一个左单位元 来说的. 例2设G={e1,e2},规定ab=b(a,b∈G).则G作成半 群，且显然e,与e2都是G的左单位元.又因为 ere=e,eael=e;ze2=e2, ele2=e2, 即对左单位元e1来说，e1有左逆元e及e2;而对左单位元e?来 说，e2也有左逆元e1及e2.就是说，虽然G中每个元素都有左逆 元，但不是对向一个左单位元有左逆元，因此G不作成群. 4.关于结合律。 若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多 项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或 乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦.因此在代 数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否 成立的方法.但无论哪种方法，一般都不是太简单 5.关于消去律. 根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否 成立.而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表 中每行和每列中的元素互异即可.，· 6.在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右” 逆元呢？ 答不可以.例如上面例2就可以说明这个问题，因为是 个左单位元，而e与e2都有右逆元且均为e1.但G并不是群