$2群中元章的阶 31 ab=ba,(al,161)=1=labl=lal.b1. 这两个条件缺一不可，教材中均举有例子，请细查。 4.一个群中是否有最大阶元？ 有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元.无限群中若元素 的阶有无限的（如正有理数乘群或整数加群），则当然无最大阶元； 若无限群中所有元素的阶均有限（即无限周期群），则可能无最大 阶元，如教材中的例4： U=UU,U。为n次单位根群. 下面再举两个（一个可换，另一个不可换）无限群有最大阶元 的例子 例1用Z。表示模n剩余类环（参考教材第四章§5），Z[x] 为环Z。上的多项式环，它是一个无限交换环.但作为加群，记为 (Z[x],十)，它是一个无限交换群，而且有最大阶元，其最大阶是 n(即环Z.与Z.[x]的特征). 例2令S:为三次对称群，C6是6阶循环群.并令G为包含 一切 (x,x1x2,…) 作成的集合，其中x∈S3,x,∈C6,但只有有限个x;≠e.G中元素相 等当且仅当对应分量相等， 现对G规定乘法如下： (x,x1x2,…）(y,y1,y2,…)=(ry,x1y1,x2y2,…). 则G对此运算显然作成一个群，又 ((1),e,e,…) 显然为其单位元且(x,x1,x2,…)的逆元为 （x1,xi',x2',… 由于S:是一个6阶非交换群，故显然G是一个无限非交换群.又 因S与C6中元素的阶均有限，各为1,2,3,6，从而G中元素的阶 也如此.并且G中元素的最大阶为6. ·
32 第二章群 5.利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一 例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群与 混合群.而在周期群中又可分出力一群(p是素数)，从而有2-群、 3-群，5-群等等.再由教材第三章§9知，每个有限交换群（一种 特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环饣-群的直积，从而 也可见研究p-群的重要意义. 三、习题2.2解答 1.证明：群中以下每组中的元素有相同的阶： 1)a,a-I,cac;2)ab,ba; 3)abc,bca,cab. 证1)设la=n,则(cac-1)=ca"c-1=e. 又若(cac-1)"=e,则ca”c1=e,am=e.从而 nm,故|cac-1|=n=|al. 2)ab=b(ba)b. 3)abc=a(bca)a=c(cab)c. 2.在有理数域上二阶满秩方阵作成的乘群中，给出元素α，b 分别满足： 1)|a=o∞，lb|有限，|abl=o∞； 2){a=∞，|b|有限，ab1有限. 解1)设 a(69)6=6-》 则易知：e=(行2)≠09》：故1al=m 又易知|b川=2.但是 6-6-2 的阶无限，即|ab|=o∞
§2群中元素的阶 33 2)例如，设 a=（6)6-(g-) 则易知：|a=∞，1bl=2,ab|=2. 3.设G是一个群，且|G>1.证明：若G中除单位元e外其余 元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限就是一个素数 证若G中除e外其余元素的阶均无限，则结论已对；若G中 非e的元素的阶都是n,且n是一个合数，设 n=mt,1<m,t<n. 则对G中任意元素a有|a"l=t≠n,这与G中非e的元素的阶都 是n矛盾，故n必为一素数. 4.证明： 1)在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数： 2)偶数阶群中阶等于2的元素的个数一定是奇数. 证1)设G是一个有限群，4是G的任意一个阶大于2的元 素，则显然 a≠a1(否则将有a2=e). 但a与a1有相同的阶，即a1的阶也大于2. 又设b也是G中一个阶大于2的元素，且 b≠a,b≠a, 则易知b1≠a,b1卡a1, 这就是说，G中阶大于2的元素是成对出现的.由于G是有限 群，故G的阶大于2的元素的个数必为偶数， 2)设G是一个偶数阶有限群.由于单位元是阶为1的惟一元 素，又由1)知G中阶大于2的元素的个数是偶数，故G中阶数等 于2的元素的个数一定是奇数. 5.设群G中元素a的阶为n.证明： a=a'→nl(s-t). 证 设a=a',则a-‘=e.由于|al=n,故n(s二t).反之，倒
34 第二章群 推回去即得. 6.设群G中元素a的阶是mn,且(m,n)=1.证明：在G中存 在元素b,c使 a=bc=cb,bl=m,Icl=n, 并且这样的元素b,c是惟一的. 证1)存在性.由于(m,n)=1,故存在整数s,t使 ms+nt=1. (1) 令b=a,c=um,则显然a=bc=cb.又 b=(a)=(am)'=e: 若又有b=e,则am=e.但是|a=mn,故 mnrnt,mrt. 又由(1)知(m,t)=1,故mr.因此|b|=m. 同理可证lcl=n. 2)惟一性.设另有b,c1使 a=bic=cb1,bil=m,Icl=n, 则 am=b c=6. (2) 但由(1)知，nt=1-ms,故 b=b1=61(bM)1=61. 从而由(2)知，b1=a=h. 由b,=b又得 c1=6a=a "a=am=am=c. 即b1=b,c1=c 注此题显然可推广到更一般的情形，即若 |a|=n=nn2…n, 其中正整数m1,n2,…,n,两两互素，则a可惟一地表示成 a=41a2"a,, 其中au,=a;a,又a,是a的方幂，且|a,|=n. 其证明方法是对5用数学归纳法
§3子 群 35 §3子 群 一、主要内容 1.子群的定义和例子.特别是，特殊线性群（行列式等于1的 方阵)是一般线性群（行列式不等于零的方阵）的子群. 2.群G的非空子集H作成子群的两个等价条件： 1)a,b∈H→ab∈H,a1∈H(或HH=H,HI=H) 2)a,b∈H=→ab'∈H(或HH1=H). 3.二子群H与K之积HK仍是子群的充要条件为：HK= KH. 4。群的中心元和中心的定义. 二、释疑解难 1.关于真子群的定义. 教材把非平凡的子群叫做真子群.也有的书把非G的子群叫 做群G的真子群.不同的定义在讨论子群时各有利弊.好在差异不 大，看参考书时应予留意 2.如果H与G是两个群，且：H二G,那么能不能说H就是G 的子群？ 答：不能.因为子群必须是对原群的代数运算作成的群.例如， 设G是有理数加群，而H是正有理数乘群，二者都是群，且H二G,但 是不能说H是G的子群， 3.定理5(HK≤G→HK=KH)的反例. 例1在三次对称群S,中（参考第二章$5），显然 H={(1),(12)};K={(1),(13)} 都是S:的子群.但是易知： HK={(1),(12),(13),(132)}